计数原理综合10大题型

计数原理综合10大题型

命题趋势

排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，

难度基本稳定在中等。二项式定理问题是高考的热门考点，主要考查二项展开式

的通项，二项式系数和及各项系数和等问题，从近几年来看，围绕二项展开式的

通项公式命题，考查某一项或考查某一项的系数较多。

满分技巧

一、排列组合常见问题的解题策略

1、特殊优先法：优先安排特殊元素或特殊位置;

2、相邻捆绑法：相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的

内部排列；

3、不相邻插空法：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面

元素排列的空档中；

4、定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；

5、定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可；

6、间接法：正面分类太多从反面入手；

7、直接法：分排问题直排处理；

8、重排求幕法：可以重复的排列问题实际以元素为研究对象，元素不受位置限

制，可以逐一安排各个元素；

9、多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研

究；

10、分组分配

(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；

(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，

有阳组元素个数相同，则分组后除以〃?！；③完全非均匀分组，只要分

组即可；

(3)分配：①相同元素的分配问题，常用"挡板法"；②不同元素的

分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配

问题，采用分类求解；

11、相同元素隔板法：将〃个相同的元素分成，”份，每份至少一个元素，

可以用m-1块隔板插入〃个元素排成一排的〃-1个空隙中,所有分法

数为第：

二、求二项展开式的特定项的常用方法

1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的

项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于

整数集，再根据数的整除性来求解；

3、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，

求解方式与求有理项一致.

热点题型解读

/I

题型1两种计数原理题型6最短路径问题

题型2涂色问题题型7二项展开式的特定项求解

题型3排序问题题型8二项式系数与项的系数最值

题型4排数问题题型9系数和问题

题型5分组分配问题题型10杨辉三角形

【题型1两种计数原理】

［例1］（2023•江苏连云港•统考模拟预测）现要从A,B,C,D,E这5人中选

出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则

安排的方法有（）

A.56种B.64种C.72种D.96种

【变式1-11（2023.福建漳州・统考二模）2022年10月22日，中国共产党第二十

次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联

欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，

如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为

（）

【变式1-2］（2023.甘肃兰州•校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月

9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值9日，

乙不值IIB,则不同的安排方法共有（）

A.30种B.36种C.42种D.48种

【变式1-3】（2022秋•江西南昌高三校联考阶段练习）2022年9月5日，四川甘

孜州泸定县发生6.8级地震，某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援,

其中男医生3名，女医生2名.要求每个区域至少要有1名男医生，则不同的派

遣法有（）

A.18B.36C.54D.72

【变式1-4］（2023•山东荷泽・统考一模）为了迎接“第32届荷泽国际牡丹文化旅

游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现

需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，

则不同的分工方法种数为（）

A.9种B.U种C.15种D.30种

【题型2涂色问题】

[例2]（2023.内蒙古・校联考模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会

标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区

域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5

种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（）

c1D-7

【变式2-112022秋•四川成都・高三成都七中校考阶段练习废汝口下编号为12,

3,4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色,

则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（）

4

23

1

【变式2-2]（2023•山西临汾统考一模）如图，现要对某公园的4个区域进行绿

化，有5种不同颜色的花卉可供选择,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜

色的花卉，共有种不同的绿化方案（用数字作答）.

【变式2-3]（2023・全国•高三专题练习）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图

是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个

平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块

两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有_____种.

【变式2-4]（2023・高三课时练习）现有五种不同的颜色，要给四棱锥P-ABCD

的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点所涂颜色不能相同，一共有

种涂色方法.

【题型3排序问题】

【例3】（2023•广东广州・统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛

后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排

列方法共有_种.（用数字作答）

【变式3-1]（2023秋•宁夏石嘴山•高三石嘴山市第三中学校考期末）五声音阶是

中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、

商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相

邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为.（用数字作答）.

【变式3-2]国龙外校第一届班主任节上，有3名高二学生给3位高二优秀班主

任献花，献花后师生共同合影，要求6人站在一排如果要求老师与学生相间站，

那么站法有（）

A.36种B.72种C.108种D.144种

【变式3-3]（2023秋・广东揭阳•高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测

核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2

位父亲位于队伍的两端,3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（）

A.288B.144C.72D.36

【变式3-4］（2023春•山西晋城•高三校考阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、

丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1

人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前

两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（）

A.680种B.720种C.744种D.768种

【题型4排数问题】

［例4］（2022秋・江苏盐城•高三盐城中学校考阶段练习）用1,2,3,4,5五个

数字组成五位数，则数字2和4不相邻的概率是（）

【变式4-1］（2023•广东汕头•高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互

不相同，且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则

由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为一.

【变式4-2］（2023春•山西忻州•高三校联考开学考试）从1,2,3,0这四个数

中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为.

【变式4-3］（2022.全国•高三专题练习）用0,1,2,3,4这5个数字，可以组

成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？

（1）偶数：

（2）左起第二、四位是奇数的偶数；

（3）比21034大的偶数.

【变式4-4］（2022.全国•高三专题练习）由数字123,4,5组成无重复数字的五位数.

（1）一共可以组成多少个五位偶数?

（2）在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个?

【题型5分组分配问题】

【例5】（2023.陕西铜川.校考一模）将4名新招聘的工人分配到A,B两个生产

车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）

A.36种B.14种C.22种D.8种

【变式5-1]（2023春•江苏南京•高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生

志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方

案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【变式5-212023・重庆・统考一模2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，

现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队

分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目,每支志愿团队只能分配

到1个项目且每个项目至少分配1个志愿团队则不同的分配方案种数为（）

A.36B.81C.120D.180

【变式5-3]（2023秋•福建厦门•高三厦门外国语学校校考期末）长郡中学体育节

中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4

个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）

【变式5-412022秋吉林长春高三长春外国语学校校考期末改今年8月开始，

南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者

先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工

作，现从6名教师自愿者中，选派4人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工

作，要求每项工作都有志愿者参加，不同的选派方法共有（）种

A.90B.270C.540D.1080

【变式5-5］（2023.全国•高三专题练习）某校安排5名同学去A,8,C,。四个

爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被

安排到A基地的排法总数为.

【题型6最短路径问题】

［例6］（山东省泰安肥城市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题）某小

区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（）

A.6种B.8种C.9种D.10种

【变式6-1］（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高一上学期入学考试

数学试题）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目

的地E,这只小虫子的不同走法共有（）

E

A.12种B.13种C.14种D.15种

【变式6-2］（2022秋・广东惠州•高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全

等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从A

到B的最短路径有（）

R

【变式6-3］（上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）有

一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过GD点到达B点的最短

路径有___________种.

【变式6-412022•全国•高三专题练习方形是中国古代城市建筑最基本的形态,

它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善

于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大

正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹棍到

达B点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（)

A.48种B.60种C.72种D.90种

【变式6-5］（上海市向明中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）如图,

在某城市中，/，N两地之间有整齐的6x6方格形道路网，其中A是道路网中的一

点.今在道路网处的甲、乙两人分别要到N,"处，其中甲每步只能向右走

或者向上走，乙每步只能向下或者向左走.

（1）求甲从〃到达N处的走法总数；

（2）求甲乙两人在A相遇的方法数.

【题型7二项展开式的特定项求解】

［例7］（2023・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在二项式ej的

展开式中，常数项为.

【变式7-11（2023春・北京•高三校考阶段练习）在卜的展开式中，第四项为

（）

A.160B.-160C.160x3D.-160x3

【变式7-2】（2022秋.河北唐山.高三开滦第二中学校考阶段练习）［一：-11的展

开式中的常数项为（）

A.-11B.50C.-61D.61

【变式7-3］（2023秋・浙江湖州•高三安吉县高级中学校考期末）（x+y）。-»的

展开式中W的系数是_________.

【变式7-4】（2023湖北校联考模拟预测）在（x+»（1+以展开式中，含xy的项

的系数是_____.（用数字作答）

【变式7-5]（2023秋•河南驻马店•高三统考期末）若

1?1

x+（x—2）1°=a0+a,（x—l）+a2（x—1）~++«9（x—1）+0]0（%—1）0,贝!]%=.

【题型8二项式系数与项的系数最值】

【例8】（2023秋浙江宁波•高三期末）若二项式（l+2x）"（〃eN，）的展开式中第6

项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（）

A.448/B.11201C.1792/D.1792x6

【变式8-1]（2023春•河南新乡•高三校联考开学考试）若二项式Jx-%）（〃eN*）

的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中炉项的系数为（）

A.-1120B.-1792C.1792D,1120

【变式8-2]（2022.全国•高三专题练习）已知[五+引的展开式中，第3项的系

数与倒数第3项的系数之比为A,则展开式中二项式系数最大的项为第（）

项.

A.3B.4C.5D.6

n

【变式8-3]（2022•全国•高三专题练习）设（1+力”=a^+a]x-\Fanx,若

at+a2+-+an=63,则展开式中系数最大的项是（）

A.15FB.20x3C.2lx3D.35?

【变式8-4］(2023•全国•高三专题练习)定义函数/(x，〃)=(l+x)"(〃eN),若

“i,〃)=32i(i为虚数单位)，则［+志］的展开式中系数最大项为()

.3252105y,u6f^.45Y

A.—xBD.—x3C.15x6D.—x3

484

【题型9系数和问题】

323

【例9】(2023,全国•高三专题练习)(2x+>/3)=a()+atx+a2x+a3x,则

3+a2)~(ai+)-的值为()

A.-1B.1C.0D,2

【变式9-1］（2022秋・江苏常州•高三校考阶段练习）（多选）已知

82

（2-x）=an+a1x+a2x++gx8,贝［］（）

8

A.«0=2B,a,+a2++%=1

C.k|+|w|+|4|++|aj=3'D.q+2a2+3%++84=—8

【变式9-2】（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）（多选）设

（X?+1）（3x—I）14=4+4（x+2）+a,（x+2）-++qo（x+2）”>,贝J（）

A.4=i

17

B.«（,+a,+a2++%+al0=2

J

C.—at+a2——ag+ain-10

a+a++a179

D.（a0+a,++«io）~（i3v）~=2xlO

【变式9-3］（2023秋・湖南长沙•高三校考阶段练习）若

2

（2x-l）'°=00+01（%-1）+41,（%-1）++a|0（x-l）”>,xeR,则4+“2++%>=.

【变式9-4](2023•甘肃兰州•校考一模)若(1)4=%+平+〃2*2+41+廿4,贝I」

%+%+。4的值为

【题型10杨辉三角形】

【例101(2022.全国•高三专题练习)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之

-，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中，

欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年，“杨辉三角”

在数学史上具有重要的地位.若将杨辉三角中的每一个数C：都换成由%，就

得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形同“杨

辉三角”一样，具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”

两个数之和等.现有关于莱布尼茨三角形性质的4个描述，则其中正确个数为

()

毒。行

(・♦忙…(/i)u

①当〃是偶数时，中间的一项取得最小值；当«是奇数时，中间的两项相等，且

同时取得最小值；

11_______i_

②(〃+i)C「(〃+i)C•五；

(3)---k——=---------(reN,0<r<n)•

④7--------+----——=----reN,1<r<n)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式10-1]（2023春・山西晋城•高三校考阶段练习）我国南宋数学家杨辉在他

所著的《解析九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉

三角“，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第〃行从左

至右的数字之和记为《一如：4=1+1=2,/=1+2+1=4,,也｝为各项非零的等差

数列，其前〃项和为S“，且S2“_产她用，则数列图的前〃项和K

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【变式10-2】（2022•全国•高三专题练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261

年所著的《解析九章算法》一书中被记载.它的开头几行如图所示，它包含了很

多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数C；都换成分数

篇无：彳导到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，

甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形"第10行第5个数是

杨辉三角莱布尼茨三角形

第0行11第0行

第1行11jj第1行

第2行121j1|第2行

第3行13311212第3行

第〃行1比…1

【变式10-3】（2022.全国•高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线/的上方

从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：L3,3,4,6,5,10,…，记此数列

的前”页之和为5“，则5发的值为.

【变式10-4】（2022.全国•高三专题练习尸杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大

成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第〃（”€^,〃22）行

的数字之和为,去除所有1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,

5,10,10,5,…，则此数列的前28项和为

（建议用时：60分钟）

1.（2023秋・江苏•高三统考期末）把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小

朋友都能分到小球的分法有（）

A.4种B.6种C.21种D.35种

2.（2023・全国.模拟预测）导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为

导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提

高负责.已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科

任教师负责，则不同的分配方法的种数为（）

A.90B.15C.60D.180

3.（2023・全国•模拟预测）1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数

的个数为（）

A.4B.12C.24D.64

4.（2023秋•河北衡水•高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生

家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅

导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1,则有（）种安排方法

A.335B.100C.360D.340

5.（2023春・广东•高三统考开学考试）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假

期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲

座8和C必须相邻，问不同的安排方法共有（）

A.34种B.56种C.96种D.144种

6.（2023春・湖北•高三统考阶段练习）六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙

三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（）

A2BC-D,

八,5°-5J15U,10

7.（2023.全国.模拟预测）某大学生在刚开学时制订了一个季度的读书计划：从

4本不同的哲学书和6本不同的心理学书中选4本阅读，且至少要选1本哲学书

和1本心理学书.则该大学生这个季度不同的选书方法有（）

A.672种B.210种C.194种D.336种

8.（2023・全国•高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种

颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色相邻区域颜色不相同，

则不同的涂色方案种数为（）

A.72B.48C.36D.24

9.（2023.山东潍坊.统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中

航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环

境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲

击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安

排在相邻两天测试,超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试

的安排方案有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

10.（2022.北京.统考模拟预测）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，

两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种.

A.20B.40C.60D.80

11.（2023・广东深圳•统考一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只

去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习

的概率为（）

1-C-D9

A•5B-10-25”•25

12.（2023.云南.高三云南师大附中校考阶段练习）口+?］（》-»展开式中犷的

系数为（）

A.4B.2C.-2D.-4

13.（2023春・广西柳州•高三统考阶段练习）已知

23456

（2-x）（2x+1）5=aH+axx+a2x+a3x+a4x+asx+a6x，贝［j《＞+4,=（）

A.34B.30C.-34D.-30

14.（2023•全国•模拟预测）已知二项式（x+a）6,aeN*的展开式中第四项的系数

最大，则。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

15.（2023春・天津红桥高三统考期末）街道上有编号1,2,.3,....10的十盏路

灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相

邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有

__________种.

16.（2023.陕西榆林.统考一模）自然对数的底数e,也称为欧拉数，它是数学中

重要的常数之一,和"一样是无限不循环小数，e的近似值约为2.7182818若用

欧拉数的前6位数字2,7,1,8,2,8设置一个六位数的密码，则不同的密码共有

__________个.

17.（2023河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测）（1+&『（1-五『的展开式中

元的系数为一.

18.（2023秋・云南德宏•高三统考期末）二项式。-：）心+1）的常数项为

19.（2023秋・天津•高三统考期末）在。五-胃的展开式中，常数项为

.（结果用数字表示）

20.（2022.北京.统考模拟预测）已知（》-1）“（3犬+2）3=%+即;+出/++%丁，贝ij

a2+a3++%=

参考答案

【题型1两种计数原理】

［例1］（2023.江苏连云港.统考模拟预测）现要从A.B,C,D,E这5人中选

出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则

安排的方法有（）

A.56种B.64种C.72种D.96种

【答案】D

【解析】由题意可知：根据A是否入选进行分类：

若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有C；=3种，

再给剩下三个岗位安排人有A：=4x3x2=24种，共有3x24=72种方法；

若A不入选：则4个人4个岗位全排有A：=4x3x2x1=24种方法，

所以共有72+24=96种不同的安排方法，故选：D.

【变式1-1］（2023福建漳州•统考二模）2022年10月22日，中国共产党第二十

次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联

欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，

如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为

（）

A2.RXQ1£）1

A-6B-7C-30-7

【答案】D

【解析】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法,

再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，

故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有6/7"（种）情况，

其中这两个教师节目恰好相邻的情况有2x6=12（种），所以所求概率为

于家故选D

【变式1-2]（2023.甘肃兰州.校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月

9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值9日,

乙不值11日，则不同的安排方法共有（）

A.30种B.36种C.42种D.48种

【答案】C

【解析】若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选I人在11日值班，有C种

选法，

9日、10日有GC种安排方法，共有C；C：C；=24（种）安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，

余下的4人有C；C；C；种安排方法，共有12种安排方法；

若甲、乙都在10日值班，则共有C；C：=6（种）安排方法.

所以总共有24+12+6=42（种）安排方法.故选：C

【变式1-31（2022秋・江西南昌高三校联考阶段练习）2022年9月5日，四川甘

孜州泸定县发生6.8级地震，某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援,

其中男医生3名，女医生2名.要求每个区域至少要有1名男医生，则不同的派

遣法有（）

A.18B.36C.54D.72

【答案】C

【解析】3名男医生各去一个区域，有A；种去法，2名女医生有3,种去法，

共有32=54种.故选：C.

【变式1-4]（2023•山东荷泽•统考一模）为了迎接“第32届荷泽国际牡丹文化旅

游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现

需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，

则不同的分工方法种数为（）

A.9种B.11种C.15种D.30种

【答案】C

【解析】若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工,

然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C；C：=12种

分工方法；

若丙不是美工，则丙一定是总负责人，

此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，

剩余三人是文案，共有亡种分工方法；

综上,共有12+3=15种分工方法，故选：C.

【题型2涂色问题】

[例2](2023・内蒙古・校联考模拟预测)如图，这是第24届国际数学家大会会

标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区

域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5

种颜色可供选择,则恰用4种颜色的概率是()

【答案】C

【解析】若按要求用5种颜色任意涂色：

先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.

再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；

若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选

择.

则共有5x4x(lx3x3+3x2x2)=420种方法

若恰只用其中4种颜色涂色：

先在5种颜色中任选4种颜色，有C；种选择.

先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.

再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择，

为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；

若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1

种选择.

则共有C；.4x3x(lx2xl+2xlxl)=240种方法,

故恰用4种颜色的概率是言=:故选：C.

【变式2-112022秋•四川成都.高三成都七中校考阶段练习明及口下编号为1,2,

3,4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择,要求相邻格子不同色,

则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是()

【答案】A

【解析】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可；

若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，

同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2种选色方案，

即1号格子涂灰色的方案总数为3x3x2=18种；

若1号格子和4号格子同时涂灰色，

则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选方案，

即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为3x2=6种；

所以在1号格子涂灰色的条件下,4号格子也涂灰色的概率是P=白=1

1o3

故选：A.

【变式2-2]（2023.山西临汾统考一模）如图，现要对某公园的4个区域进行绿

化，有5种不同颜色的花卉可供选择,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜

色的花卉，共有_______种不同的绿化方案（用数字作答）.

【解析】如图：

B

AD

C

从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，

B有4种颜色花卉摆放方法，。有3种颜色花卉摆放方法；

由。区与B,C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不

同色，

则。有3种颜色花卉摆放方法.

故共有5x4x3x3=180种涂色方法.故答案为：180

【变式2-3]（2023・全国•高三专题练习）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图

是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个

平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块

两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有种.

【答案】72

【解析】由题意，一共4种颜色，板块A需单独一色,

剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.

又板块BCD两两有公共边不能同色，故板块A,BCD必定涂不同颜色.

①当板块E与板块C同色时，

则板块EG与板块反。或板块。,8分别同色，共2种情况；

②当板块E与板块8同色时，

则板块F只能与。同色，板块G只能与C同色，共I种情况.

又板块4,BCD颜色可排列，故共（2+l）xA：=72种.故答案为：72

【变式2-4]（2023.高三课时练习）现有五种不同的颜色,要给四棱锥P-ABCD

的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点所涂颜色不能相同，一共有

_________种涂色方法.

【答案】420

【解析】五个顶点涂五种不同的颜色，有6=120（种）涂法；

五个顶点涂四种不同的颜色，其中4C同色或B、D同色，有2归=240

（种）涂法；

五种顶点涂三种不同的颜色其中AC同色且8、。同色，有代=60（种）

涂法.

综上，共有120+240+60=420（种）涂色方法.

故答案为：420

【题型3排序问题】

【例3】（2023•广东广州・统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛

后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排

列方法共有一种.（用数字作答）

【答案】144

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有A；A；=12

种情况，

②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有叱=12种情

况，

则有12x12=144种排法,

故答案为：144.

【变式3-1］（2023秋•宁夏石嘴山•高三石嘴山市第三中学校考期末）五声音阶是

中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、

商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相

邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为.（用数字作答）.

【答案】24

【解析】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有与，

然后与宫、商、角进行全排有A：,考虑到顺序问题，

24

则可排成不同的音序的种数为警AA=24.

故答案为：24.

【变式3-2］国龙外校第一届班主任节上，有3名高二学生给3位高二优秀班主

任献花，献花后师生共同合影，要求6人站在一排如果要求老师与学生相间站，

那么站法有（）

A.36种B.72种C.108种D.144种

【答案】B

【解析】根据题意，分3步进行分析:

第一步，将3名学生全排列，有A；=6种排法;

第二步，将3名老师全排列，有A；=6种排法；

第三步，老师与学生相间站，有2种排法；

所以老师与学生相间站，那么站法有2、人；＞＜人；=72种，故选：B

【变式3-3]（2023秋・广东揭阳•高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测

核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2

位父亲位于队伍的两端,3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（）

A.288B.144C.72D.36

【答案】C

【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为A；,2位母亲的排队方式种数为A；,

3个小孩的排队方式种数为A；,将3个小孩当成一个整体，

放进父母的中间共有A；种排队方式，所以不同的排队方式种数为

A；A：A闺=72.

方法2:2位父亲的排队方式种数为A"

将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为A；,

3个小孩的排队方式种数为A；所以不同的排队方式种数为A；A；A；=72.

故选：C.

【变式3-4]（2023春・山西晋城•高三校考阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、

丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1

人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前

两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（）

A.680种B.720种C.744种D.768种

【答案】C

【解析】当甲乙丙中有1人参加时：C；C.A：=288种顺序;

当甲乙丙中有2人参加时：C；y[A：=432种顺序;

当甲乙丙中有3人参加时：CiA；.A；+2=24种顺序;

综上所述：共有288+432+24=744种顺序.故选：C

【题型4排数问题】

［例4］（2022秋•江苏盐城•高三盐城中学校考阶段练习）用1,2,3,4,5五个

数字组成五位数，则数字2和4不相邻的概率是（）

—g—Q—£）-

A-10B,10C,5D・5

【答案】D

【解析】设事件A为2和4不相邻的情况则其对立事件N为2和4相邻的情况；

首先1,3,5进行排序，共有A；=6种，而形成4个空，使用捆绑法，将

2,4看成整体，

则2和4相邻总共有A；C・A”48种，所有的情况共有6；=120种，

.­.P（A）=1-P（A）=1-^=|,故选：D.

【变式4-1】（2023・广东汕头•高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互

不相同，且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则

由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中,奇数的个数为一.

【答案】44

【解析】若尾数为1,前三位的数字为2,7,0,或0,3,6,或0,4,5时，0放在百位或

十位上，

剩余两个数进行全排列，故共有3C；A；=I2个完美四位数，

若前三位数字为2,3,4时，则有A；=6个完美四位数；

若尾数为3,前三位的数字为0/，6,或025时，。放在百位或十位上，

剩余两个数进行全排列，故共有2C；A；=8个完美四位数，

若前三位数字为124时,有A；=6个完美四位数；

若尾数为5,若前三位数字为。，1，4或023时，。放在百位或十位上，

剩余两个数进行全排列，共有2C；A；=8个完美四位数，

若尾数为7,若前三位数字为01，2时，。放在百位或十位上，剩余两个

数进行全排列，

有C困=4个完美四位数；

综上所述：共有12+6+8+6+8+4=44个完美四位数.

故答案为：44

【变式4-2](2023春・山西忻州•高三校联考开学考试)从1,2,3,0这四个数

中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为.

【答案】3864

【解析】分三种情况：

(I庇所有不含。的三位数中百位上的所有数字之和为(1+2+9x2=12,

十位上的所有数字之和为(1+2+3)X2=12,百个位上的所有数字之和为

(l+2+3)x2=12,

所以所有不含0的三位数的和为12x(100+10+1)=1332;

(2)在含。且0在十位上的三位数中，百位上的所有数字之和为

(1+24-3)x2=12,

个位上的所有数字之和为(1+2+3)X2=12,

所以含。且0在十位上的三位数的和为12x(100+1)=121