新高考I卷（压轴题）（解析版）

2023年全国统一高考数学试卷（新高考I卷）压轴真题解读压轴真题解读7.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C【解后反思】充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．8.已知，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以.故选：B【解后反思】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．11.已知函数的定义域为，，则（）．A. B.C.是偶函数 D.为的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.【解后反思】函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为的球体B.所有棱长均为的四面体C.底面直径为，高为的圆柱体D.底面直径为，高为的圆柱体【答案】ABD【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.【解后反思】“接”的问题处理规律(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．16.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【答案】【解析】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.【解后反思】求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．【思维导引】（1）全概率公式直接求解；（2）设→→构造等比数列求解；（3）求出两点分布的期望→根据题中的结论以及等比数列的求和公式求解．【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，.（2）设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．（3）因为，，所以当时，，故．【解后反思】求离散型随机变量ξ的均值的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．22.在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．【思维导引】（1）设→→化简求解；（2）法一：设矩形的三个顶点，且→分别令，，且→放缩法得→设函数→利用导数求出其最小值→排除边界值即可.法二：设直线的方程为→与抛物线方程联立→弦长公式和放缩法→→换元法和求导→求出周长最值→再排除边界值即可.【解析】（1）设,则，两边同平方化简得，故.（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则,令，同理令，且，则，设矩形周长为,由对称性不妨设，，则.，易知则令令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则，故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证.法二：不妨设在上，且，依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得，，则则，同理，令，则，设，则，令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则，，但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.【解后反思】圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．

压轴模拟专练压轴模拟专练1．（2023秋·安徽芜湖联考）“数列，都是等差数列”是“数列是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列，都是等差数列，则设数列，的公差分别为，所以为常数，所以数列是等差数列，若数列是等差数列，如是等差数列，而此时均不是等差数列，所以“数列，都是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件故选：A.2．（2023·山东临沂·统考一模）已知圆C：，点，，则“”是“直线AB与圆C有公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】圆C：的圆心为,半径R.由点，求出直线AB的方程为：.所以圆心C到直线AB的距离为.充分性：时，有，所以直线直线AB与圆C相交，有公共点，故充分性满足；必要性：“直线AB与圆C有公共点”，则有，即“”，故必要性不满足.所以“”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.故选：A.3．（2023秋·河南郑州二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,所以又因为，所以，对等式两边去括号，并移项整理得，，所以，所以，即，所以.故选：A.4．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意可知，，即，即，得，因为，，所以，即.故选：D5．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称【答案】BC【解析】依题意，上的函数，，则，函数的周期为4，A错误；因为函数是偶函数，则，函数的图象关于对称，且，即，函数图象关于对称，B正确；由得，则函数为偶函数，C正确；由得，由得，因此，函数的图象关于对称，D错误.故选：BC6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（

）A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数【答案】ABC【解析】设，且，，则，而，又当时，恒成立，即，，函数是R上的减函数，A正确；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函数的定义域为R，故函数是奇函数，B正确；令可得，解得，因为函数是奇函数，所以，由，可得，因为函数是R上的减函数，所以，C正确；令，易知定义域为R，因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.故选：ABC.7．（2023春·云南省玉溪第一中学校考期中）正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（

）A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为C．四面体的外接球体积为D．四面体的内切球表面积为【答案】BCD【解析】

由题意，四面体为正四面体，取底面的中心为，连接并延长，交于，则为的中点，且，连接，则平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A错；由四面体的所有棱长为，得，又，，故B正确；设四面体的外接球的球心为，半径为，连接，则，解得，则四面体的外接球的体积为，故C正确；根据对称性，正四面体的外接球和内切球球心均是，设正四面体内切球半径为，则，又，，所以,则四面体的内切球表面积为.故D正确.故选：BCD8．（2023秋·江苏常州·高三校考阶段练习）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（

）A．圆锥底面圆的半径为2cmB．该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为C．该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为D．该圆锥的内切球的表面积为【答案】ABC【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，依题意得，所以，根据圆锥的表面积为，解得cm,所以A正确;如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知，，设由相似关系得,即，解得，则内接圆柱的侧面积等于，当时侧面积最大，等于，所以B正确;内接圆柱的体积等于，，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减,所以当时圆柱体积最大，此时圆柱的高为，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为，所以C正确;设内切圆的圆心为半径为，因为,即所以因为圆锥的内切球的半径等于，所以内切球的体积等于，所以D错误.故选:ABC.9．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为________．【解析】不妨设点为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，设点，其中，易知、，，，因为，则，因为，解得，即点，所以，，所以，，所以，，因此，双曲线的离心率为.10．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆，过点作圆的切线交双曲线的右支于点，点为的中点，且，则双曲线的离心率是___________.【答案】【解析】因为点为的中点，且，可得，设直线与圆相切于点，则且，如图所示，，可得，且，所以，所以，所以，由双曲线的定义，可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），所以双曲线的离心率为.

11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.【解析】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，的所有可能取值为，，，，所以的分布列为：012所以.（2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，则，，，，，，所以.甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.12．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．(1)小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案的概率是，随机猜测的概率是，问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．(2)小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．【解析】（1）记事件A为“该单项选择题回答正确”，事件B为“小明知道该题的正确答案”，，,即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为．（2）由题意知：X所有可