江苏省南京市2022-2023学年高三下学期4月8日周测数学试题含答案

2022/2023学年度第二学期高三周测试

数学试卷

注意事项：2023.04.08

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1

Z=----

1.若复数1T（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

f（x）=—x-sinx

2.函数2的图象可能是

3.已知函数/G）=sinx+sin2x在（0,a）上有4个零点，则实数〃的最大值为（）

48

—71一兀

A.3B.2兀C.3D.3兀

/（x）=Jlnx|,x>0

2

4.已知函数U+2X-1,X<0（若方程/（x）=ax-l有且仅有三个实数解，则实数。的

取值范围为（）

A.B.°<。<2C.D.a>2

5/z=-2是直线+2y+3。=0和5x+（。-3）y+a—7=0平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必

要条件

6.如图，已知等腰梯形/8CD中，"8=2OC=4,'O=8C=是。。的中点，「是

线段8c上的动点，则丽•丽的最小值是（）

_49

A.5B.0C.5D.1

7.已知圆柱的高和底面半径均为4,"8为上底面圆周的直径，点尸是上底面圆周上的一点

且，AP=BP,PC是圆柱的一条母线，则点尸到平面48C的距离为（）

A.4B.2拒C.3D.2及

22

二-匕=1

8.已知双曲线片h2（。>0,b>0）的右焦点为R点8为双曲线虚轴的上端点，A

冗

NABF=-

为双曲线的左顶点，若2,则双曲线的离心率为（）

1+—

A.6B.百C.加D.2

二、多选题

9.已知实数x,y满足方程，+/-4欠-2、+4=（）,则下列说法正确的是（）

y1y

A.X的最大值为3B.X的最小值为0

C./+炉的最大值为石+1D.的最大值为3+0

"x）=cos（2x-g]工（）

10.将函数I3J图像上所有的点向右平移6个单位长度，得到函数町的图

像，则下列说法正确的是（）

A.g（*）的最小正周期为万B.g5）图像的一个对称中心为【12''°）

。+上万,葛+左乃（kGZ）

C.g（“）的单调递减区间为-

y=-sin(2x-^-

D.8（、）的图像与函数

的图像重合

11.下列说法错误的是（）

A.，，a=-1，，是，，直线x-即+3=°与直线"-y+1=°互相垂直,，的充分必要条件

八13万

0,-U,7C

B.直线xcosa-y+3=()的倾斜角e的取值范围是L4J14

C.若圆G：x、V-6x+4y+12=°与圆。2"2+夕2-14乂-2夕+°=°有且只有一个公共点,

贝ija=34

D.若直线y=x+6与曲线y=3-14x-x2有公共点,则实数b的取值范围是口-2&，3]

12.已知幕函数/G）的图象经过点（42）,则下列命题正确的有（）

A.函数/（X）的定义域为RB.函数/（X）为非奇非偶函数

c.过点尸且与/（“）图象相切的直线方程为

/a）+/（%）＞力一+马]

D.若l2＞苍＞0,则2'v2J

三、填空题

71

13.已知a力均为单位向量，且夹角为3,若向量。满足（c-2a）（c—b）=0,贝的最大

值为.

14.命题“*《R,”-4卜+（a+2）x-l"0„为假命题，则实数”的取值范围为.

乃

15.设。（＜5,且cos*+sin"+l=m（cos6+sine+l）3,则实数机的取值范围是

16.己知我国某省二、三、四线城市数量之比为1：3：6.2022年3月份调查得知该省二、三、

四线城市房产均价为0・8万元/平方米，方差为11.其中三、四线城市的房产均价分别为1万

元/平方米，05万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为1°，8,则二线城市房产均价

为万元/平方米，二线城市房价的方差为

四、解答题

17.在A48c中，内角Z,B,C所对应的边分别为a,b,c.己知

（1）求角C的大小；（2）若c=l,求心ye的最大值・

18.已知f（x）=l"+"+|2x-l|

（1）当。=1时，求不等式/（*）＜2x+l的解集:

⑵证明：当""°」），x«0,+oo）时，小）＞1恒成立.

19.已知等差数列｛氏｝满足

4=2,成等比数

列，且公差d＞0,数列

4Bp

也｝的前〃项和为S,.B

图1图2

⑴求S“；

（2）若数列也｝满足4=2,且R+。）+2色+4）+…+〃色+&J=3（〃-1）.2"+|+6,设数

列也｝的前〃项和为7；,若对任意的〃eN*,都有7；2数,，求力的取值范围.

20.如图1,在平行四边形488中，AB=2,AD=y5,/历10=30°,以对角线8。为折

痕把△Z8D折起，使点A到达图2所示点尸的位置，且尸C=J7.

⑴求证：PD1BC.

(2)若点E在线段PC上，且二面角E-8O-C的大小为45。，求三棱锥E-8。的体积.

_E：5+e=—

2=1r

21.已知椭圆abCa>b>0)的离心率2,四个顶点组成的菱形面积为842,

O为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程；

0)0:x2+j2=--.―>

(2)过'3上任意点「做的切线/与椭圆£交于点M,由求证PMPN为

定值.

参考答案

1-5AACBA6-8CDD9ABD10.ABC11.AC12.BC

-372-4

a-2<a<^

~2~

13.214.15.16,229.9

17.解：(1)因为2cos2(^y^)-2sin/sin8=1,

所以1+cos(4—8)-2sin4sin8=1———,

B|J1+(cosAcos5+sinsin5)-2sin74sin5=1———,

整理得：l+cos(4+3)=l———,即cos(4+8)=--—,

桓

即cos(^-C)=-cosC=一一—,

所以cosC=——，因为。£（0,万），故。=工.

24

(2)

由（1）可知，C=-

4

由余弦定理和基本不等式可得，c2=a2+〃--J2ab^2ab-\Flab,

即1》（2-伪",

即HW—区，当且仅当a=b=

时,等号成立.

2-V22

Rr-|1|C1,>V2>/2+1

所以SMBC=]absinC=彳ab4———

即BA血)蚪=”・

18q=l时/(x)<xo|x+11+12x-11<2x+1

,1

x<-\22

-x—1+1-2x<2x+1,或x+1+1—2x<2x+1x+1+2x—1<2x+1

或r

11

=—<x<一-<x<l«-<x<l

32或23

x||<x<l

所以,原不等式的解集为

(a—2)x+2,0<x—

/(x)=ax4-14-|2x-l|

/C、1

(a+2)x,x>—

(2)由题意得:

正)在(4i)是减函数，在1"2J是增函数.

/(X)min=/I=5+1"(X)而n=W+1>1

□J2,2成立

19.答案：(1)S,=〃(〃+l).

(2)2<1.

解析：(1)因为数列｛《,｝为等差数列，q=2,g,%,%成等比数歹U，

所以(2+d)(2+7d)=(2+3d>,

因为">0,所以d=2,

所以S,=2〃+x2=«(«+1).

⑵因为仙+4)+2(电+4)+…+”色+6向)=3(〃-1)2”+6,

所以(A+&)+202+4)+-.+(〃-1)0,I+2)=3(“-2A2"+6,

两式相减得n(h„+bn+l)=3n-2",所以〃+6用=3・2".

n+l

所以bn+i-2=-但-2")=…=(-1)"由-2)=0,

所以6“=2",

2(1-2")

所以7；=：2忆2"1_2.

因为对任意的”eN*,都有7；2/IS,,,

所以2向—2之力z(〃+l),所以/~N/l.

n(n+1)

令/(〃)=丝必(〃eN*),

n(n+1)v7

则/(〃+1)_/(〃)=2"厂2_与匕=(〃-2>*+4

(”+1)5+2)n(n+1)«(«+1)(H+2)

所以当〃22时，/(〃)=二二2递增，

n(n+1)

而/⑴=/(2)=1,所以/(〃)而„=1

所以241.

20(1)

证明：在中，由余弦定理可得BO,=182+ZD2-2/5-/OCOSNB/。

77

=4+3-2x2x73x—=1

2,

所以，AD2+BD?=AB?,ADLBD,

又因为四边形/8CO为平行四边形，所以，BCLBD,

在APC。中，PC=5,PD=#>,CD=2,：.PD2+CD2=PC2,则PO_LCZ),

因为PDLBD,8Z)cCD=D,PO_L平面3CZ),

;BCu平面BCD,:.PDLBC.

(2)

解：因为8C_L8°,PCI平面BC3,以点B为坐标原点，前、而、丽的方向分别为工、

>、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则5(0,0,0)、C(/3,0,0)0(0,1,0)尸(0」,6)，

设PE=APC=入(和,-1,一、m)=(、⑶1,一4一、/52),其中0W文1,

而=丽+方=(0,1,避)+(y/3A-A-y/3A)=(群尢1一九遂一平为

设平面BDE的法向量为而=(x,y,z),BD=(0,1,0),

f__mBD=y=0

贝ijW屣=p&+(l-Qy+(那一Wz=0,取x=2-l,可得而=(4-1,0,4),

易知平面88的一个法向量为7=(0,0,1),

I।I布'彳1R|*.1

由已知可得I1同同业乃_22+12,因为0W条1,解得2,

.r,..J__..‘E-BCD=T^P-BCD=3TX7S^BCD‘P"=TXTX^X出XG=T

所ce以，E为PC的中点，因此，223624.

21.(1)

_C_>[1

由题意得2a6=8&，a2,a2^b2+c2

可得。=2&,b=2,

---+-----=I

所以椭圆的标准方程为84

(2)

工=±辿

当切线/的斜率不存在时，其方程为3

2>/61…城

X-----

当3时,将3代入椭圆方程84得3

(2瓜20

.PMPN=~

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