江苏2023版高三一轮总复习物理第四章曲线运动万有引力与航天教案

Mr1

弟曲线运动万有引力与航天

［高考备考指南］

高考（江苏卷）五年命题情况对照分析

知能考点

2021年命题分

模块内容20172018201920202021

适应考析

第1节

曲线运

曲线运

动在考

动、运

运动的合题中综

动的合

成与分解合性较

成与分

强，多

解（年

5与电

。考）

场、磁

场、机

T3：T8：械能等

第2节

T2：平抛平抛T5：平抛进行综

抛体运

抛体运动平抛运动运动运动的规合，内

动（5年

运动的规的规律容涉及

4考）

律律实际生

活、高

科技、

匀速圆周

T7：新能源

运动、角T6：匀

匀速等问

第3节速度、线Ts：T6：速圆

圆周题。

圆周运速度、向匀速匀速周运

运动万有引

动（5年心加速度圆周圆周动的

的应力多考

4考）匀速圆周运动运动向心

用选择

运动的向力

题，一

心力

离心现象般以神

万有引力舟、天

定律及其宫、嫦

应用T6：Ti：T7：娥系列

第4节T4：万

环绕速万有万有万有飞行器

万有引有引T4：卫星

度、第二引力引力引力的成功

力与航力定运行参量

和第三宇定律定律定律发射、

天（5年律的的计算

宙速度的原的应的应变轨、

5考）应用

经典时空因用用对接、

观和相对回收以

论时空观及空间

实验五探究平抛站问题

运动的特点（5年0作为高

考）考命题

实验六探究向心的热

力大小与半径、角点。

速度、质量的关系（5

年。考）

物理观念：合运动、分运动、平抛运动、斜抛运动、圆周

运动、向心力、向心加速度、线速度、角速度、万有引力、

宇宙速度、经典时空观、相对论时空观。

科学思维：运动的合成与分解、平抛斜面模型、竖直平面

圆周运动模型、万有引力定律、开普勒定律、双星模型、

核心素养

多星运动模型。

科学探究：探究平抛运动的特点；探究向心力大小与半径、

角速度、质量的关系。

科学态度与责任：离心现象与行车安全、万有引力与卫星

发射、变轨、回收。

M5LSW曲线运动、运动的合成与分解

［走进教材•夯实基础］回顾知识.激活技能

©梳理•必备知识

一、曲线运动

i.速度的方向

质点在某一点的速度方向，为沿曲线在这一点的切线方向。

2.运动的性质

做曲线运动的物体，速度的方囱时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

3.曲线运动的条件

物体的加速度方向跟速度

向不在同一条宜线上

合外力的方向跟物体速度

r方向不在同一条宜线上

二、运动的合成与分解

1.遵循的法则

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

2.合运动与分运动的关系

合运动与分运动是等效替代关系,且具有等时性和独立性。

3.合运动的性质判断

（士心一人N1变化：非匀变速运动

加速度（或合外力）才赤始赤法冲E

I不变：匀变速运动

If共线：直线运动

加速度（或合外力）方向与速度方向才什妞F理一力

II不共线：曲线运动

4.两个直线运动的合运动性质的判断

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动

两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动

如果v合与a合共线，

两个初速度不为零的为匀变速直线运动

匀变速直线运动如果。合与。合不共线，

为匀变速曲线运动

€＞激活•基本技能

一、易错易误辨析（正确的打“，错误的打“x”）

（1）曲线运动的速度大小可能不变。（v）

（2）曲线运动的加速度可以为零。（X）

（3）合运动的速度一定大于分运动的速度。（X）

（4）只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。（X）

（5）船的实际运动即为船的合运动，其轨迹与水流速度和船在静水中的速度

有关。（J）

（6）船头指向的运动方向为船在静水中的速度方向。（J）

二、教材习题衍生

1.（对曲线运动的理解）如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在

铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确

的是（）

A.磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动

B.磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动

C.磁铁放在5处时，小铁球做匀速圆周运动

D.磁铁放在8处时，小铁球做变加速曲线运动

D［磁铁放在A处时，小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁

放在B处时，小铁球做变加速曲线运动，选项C错误，D正确。］

2.（运动的合成与分解的应用）如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中

注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上

浮的同时，使玻璃管以速度。水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端,

所需时间为A相对地面通过的路程为心则下列说法正确的是（）

A.。增大时，L减小B.。增大时，L增大

C.。增大时，，减小D.。增大时，f增大

B［红蜡块沿玻璃管上升的高度和速度不变，运动时间不变，由合运动与分

运动的等时性知，玻璃管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选

项B正确。］

［细研考点•突破题型］重难解惑-直击高考

考点1曲线运动条件与轨迹分析《基本考点通关

L（物体做曲线运动的条件与特点）（2021•江苏黄桥中学模拟）关于物体的受

力和运动，下列说法中正确的是（）

A.物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变

B.物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向

C.物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变

D.做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用

D［如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一

定改变，故A错误；物体做曲线运动时，通过某一点的曲线的切线方向是该点

的速度方向，而不是加速度方向，比如平抛运动，故B错误；物体受到变化的

合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；物体

做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。］

2.（轨迹、速度与加速度关系）（2021•天一中学模拟）质点做曲线运动，从A

到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度

方向和加速度的方向，其中正确的是（)

A［由于质点的速率逐渐减小，则加速度方向与速度方向

夹角大于90。；因为曲线运动中，加速度指向轨迹的“凹侧”，

可知A正确，B、C、D错误。］

畲规律总结

（1）物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以

速记为“无力不弯，力速两边”，如图所示。

（2）因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和

加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。

（3）若合外力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大，如图所示，

若两者夹角为钝角，则速率减小。

考点2运动的合成与分解A热门考点突破

1.（合运动轨迹和性质的判断）（2021•江苏一模）如图所示，从匀速运动的水

平传送带边缘，垂直弹入一底面涂有墨汁的棋子，棋子在传送带表面滑行一段时

间后随传送带一起运动。以传送带的运动方向为x轴，棋子初速度方向为y轴，

以出发点为坐标原点，棋子在传送带上留下的墨迹为（）

A［依据运动的合成与分解，以传送带为参考系，棋子在垂直传送带方向

做初速度不为零的匀减速直线运动，而在平行传送带方向做初速度不为零的匀减

速直线运动，根据矢量的合成与分解法则，合初速度与合加速度共线，所以棋子

在传送带上留下的墨迹是直线，又因为棋子相对于传送带往后运动，故A正确，

BCD错误。］

威要点归纳

1.合运动轨迹和性质的判断方法

（1）若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否

则为曲线运动。

（2）若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为

非匀变速运动。

2.分运动与合运动的关系

各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不同时

等时性

的运动不能合成）

等效性各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果

独立性一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响

2.（由分运动的图像分析物体的运动规律）（2021•江苏盐城模拟）一质量为2kg

的物体在如图甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的v-t图像和在j轴方向

上的s-f图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（）

甲乙丙

A.前2s内物体做匀变速直线运动

B.物体的初速度为8m/s

C.2s末物体的速度大小为4m/s

D.前2s内物体所受的合外力为16N

C［由04图像可知，物体在x方向上做匀减速直线运动，有s4图像可知，

物体在y方向上做匀速直线运动；两个方向的合成，物体应该做类平抛运动，即

匀变速曲线运动，故A错误；x方向初速度为8m/s,y方向上速度为4m/s,二

者合成，其合速度：v^-=^/82+42m/s=4#m/s,故B错误；2s末物体x方

向速度为0,y方向速度为4m/s,二者合成，其速度大小为4m/s,故C正确；

2

有牛顿第二定律产=„1a得：F=2kgX4m/s=8N,故D错误。］

畲规律总结

1.由x方向的of图像可以确定质点在x方向的初速度及加速度。

2.由y方向的y-f图像可以确定在y方向的速度。

3.由尸=机。可以确定质点的合外力。

4.根据孙与尸的方向关系可以判断质点运动的性质及运动轨迹。

-~3.（根据运动轨迹分析物体运动情况）将一物体由坐标原点O以初速度。。抛

出，在恒力作用下轨迹如图所示，4为轨迹最高点，B为轨迹与水平x轴交点，

假设物体到5点时速度为狈，与x轴夹角为a,0B与x轴夹角为0,已知OA

水平距离xi大于A5水平距离了2,贝（1（）

A.物体在8点的速度狈大于初）

B.物体从。到4时间大于从A到B时间

C.物体在。点所受合力方向指向第三象限

D.a可能等于小

C［从题图中可知物体在竖直方向上做初速度不为零的匀减速直线运动，

在4点竖直方向速度为零。根据运动对称性可得，物体从O到4时间等于从4

到5时间；在水平方向上做初速度不为零的匀变速直线运动，从。到4和4到

5时间相等，位移X1＞X2,则水平方向做匀减速直线运动，故到5点合外力做负

功，物体在B点的速度狈＜如，A、B错误；物体在竖直方向的加速度竖直向下，

水平方向加速度水平向左，则合加速度在。点指向第三象限，则合力在。点指

向第三象限，C正确；物体在竖直方向上速度大小相等，方向相反，则vosina

=VBsin0,但是OB＜0O,故D错误。］

畲名师点拨运动合成和分解的三要点

(1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运

动的位移、速度、加速度的矢量和。

(2)恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运

动和垂直于力的方向的匀速直线运动。

(3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关

键点。

考点3小船渡河问题1核心素养提升

1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2.三种速度：船在静水中的速度。船、水的流速。水、船的实际速度

3.两类问题、三种情景

，/////////////当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间

渡河时

_d_

间最短Emin一

彩船

如果0船＞。水，当船头方向与上游河岸夹角0满足

，、，

。船cose=v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，

渡河位......等于河宽d

移最短如果0船＜0水，当船头方向(即。船方向)与合速度方

\yf向垂直时，渡河位移最短，等于警

、/

、/0船

［典例］小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s,船在静水中的航

速是4m/s,求：

⑴若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸?

⑵要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？

(3)小船渡河的最短时间为多长？

(4)若水流速度是5m/s,船在静水中的速度是3m/s,则怎样渡河才能使船

漂向下游的距离最短？最短距离是多少？

［解析］(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运

动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方

向的分运动的时间，即

小船沿水流方向的位移

xa=v*f=2X50m=100m

即船将在正对岸下游100m处靠岸。

(2)要使小船到达正对岸，合速度。应垂直于河岸，如图甲所示，则

甲

故〃=60°

即船的航向与上游河岸成60。角，渡河时间

d200100^3

/=r=4sin60°s=3So

(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角如图乙所示。船渡河的时

间取决于垂直于河岸方向的分速度v±=v躯sinp,故小船渡河的时间为t=

J

——,当4=90。，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间加in=50s。

Vasilip

乙

(4)因为。触=3m/sV0*=5m/s,所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如

何，总被水流冲向下游。如图丙所示，设船头⑦的)与上游河岸成〃角，合速度。

与下游河岸成a角，可以看出：a角越大，船漂向下游的距离/越短。以o本的

矢尖为圆心，以。雅的大小为半径画圆，当合速度。与圆相切时，a角最大。

丙

则cos，=①=］,故船头与上游河岸的夹角6=53。

O水3

又营=&=近三&代入数据解得心267m0

Q0船。据

［答案】见解析

［跟进训练］

角度1最小速度问题

1.（2021•江苏南京师大附中高考模拟）如图所示，船从4处开出后沿直线AB

到达对岸，若4B与河岸成37。角，水流速度为4m/s,则船从A点开出相对水

流的最小速度为（）

C［船参与了两个分运动，沿船头指向的分运动和顺

B

水流而下的分运动，其中，合速度。合方向已知，大小未7^

知，顺水流而下的分运动0*速度的大小和方向都已知，水流二

沿船头指向的分运动的速度。的大小和方向都未知，合速Av*

度与分速度遵循平行四边形定则（或三角形定则），如图，当。令与。麻垂直时，V

册最小，由几何关系得到v册的最小值为v册=o水sin37°=2.4m/s,故C正确，A、

B、D错误。］

角度2最短时间问题

2.如图所示，河水由西向东流，河宽为d=800m,河中各点的水流速度大

小为。水，各点到较近河岸的距离为X,。水与X的关系为。水=赢（1«/§）（"的单

位为m）。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为。船=4m/s。

则下列说法正确的是（）

亡1一1

东I-一

A.小船渡河的轨迹为直线

B.小船在河水中的最大速度是5m/s

C.小船在距南岸200m处的速度小于在距北岸200m处的速度

D.小船渡河的时间是160s

B［由题意可知，小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，

到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，即小船渡河的轨迹为曲线，A

3

错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为旃X400m/s=3

m/s,此时小船的合速度最大，可得最大值0m=5m/s,B正确；由o*与x的关

系可知，水流在距南岸200m处的速度等于在距北岸200m处的速度，故小船

在距南岸200m处的速度等于在距北岸200m处的速度，C错误；小船的渡河

时间t=』*=200s,D错误。］

角度3最短位移问题

3.如图所示，河水流动的速度为。，且处处相同，河宽度为好在船下水

点4的下游距离为。处是瀑布。为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去），则（）

B

A.小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为

B.小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为Vmax=

［出+.

b

C.当小船沿轨迹45渡河时，船在静水中的最小速度为。min=等

D.当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为。min=4%

D［当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为/=9,且f必须小

。船

于或等于今故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为小但

船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹A5运动，船

在静水中的速度最小时，船头方向与AB垂直，可得0min=,故选项C

^/a2+62

错误，D正确。］

段盘抛体运动

［走进教材•分实基础］回顾知识,激活■技能

龄梳理•必备知识

一、平抛运动

1.定义

将物体以一定的初速度沿水平方向抛出,物体只在重力作用下所做的运动。

2.性质

加速度为重力加速度的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。

3.条件：加W0,沿水平方向;只受重力作用。

二'平抛运动的基本规律

1.研究方法

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动o

2.基本规律

(1)位移关系

三、斜抛运动

1.定义：将物体以初速度如斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用

下的运动。

2.性质：斜抛运动是加速度为。的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线。

3.研究方法：运动的合成与分解

⑴水平方向：匀速直线运动:

(2)竖直方向：匀变速直线运动。

4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)

(1)水平方向：vox=rocos0,尸合*=0；

(2)竖直方向：rov=vosin0,F^y=mgo

©激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(X)

(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻

变化。(义)

(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。(X)

(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。(义)

(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。

(V)

二'教材习题衍生

1.(平抛运动的基本规律)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方

向与水平方向的夹角为伍不计空气阻力，重力加速度为g,下列结论中正确的

是()

A.小球初速度为痴^・tan，

B.小球着地速度大小为簿

C.若小球初速度减为原来一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍

D.若小球初速度减为原来一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为

20

［答案］B

2.（平抛与斜面的结合）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端

正上方时释放一颗炸弹，击中坡上的目标4。已知A点高度为力，山坡倾角为仇

重力加速度为g,由此不能算出的是（）

A.轰炸机的飞行高度

B.轰炸机的飞行速度

C.炸弹的飞行时间

D.炸弹投出时的动能

D［设轰炸机投弹位置高度为“，炸弹水平位移为X,则“一无=；少，x=

0%得因为X=~联立解得H=/Z4"^72n,故A

'x2vovotanO'tanO'2tan20,

正确；根据“一人=；现2可求出炸弹的飞行时间，再由工=。0上可求出轰炸机的飞

行速度，故B、C正确；因不知道炸弹的质量，不能求出炸弹投出时的动能，故

D错误。］

3.（斜抛运动规律的应用）由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28

m3/min,水离开喷口时的速度大小为16小m/s,方向与水平面夹角为60°,在

最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重

力加速度g取10m/s2）（）

A.28.8m1.12X10-2m3

B.28.8m0.672m3

C.38.4m1.29XIO-2m3

D.38.4m0.776m3

A［水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖

直方向上：

巧,=osin0代入数据可得为=24m/s

故水柱能上升的高度无=%=28.8m

水从喷出到最高处着火位置所用的时间V

代入数据可得f=2.4s

故空中水柱的水量为V=^X2.4m3=

1.12X10-2m3,A项正确。］

［细研考点•突破题型］重难解惑•直击高考

考点1平抛与斜抛运动的基本规律'基本考点通关

L（对平抛运动的理解）在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方

向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中（）

A.速度和加速度的方向都在不断改变

B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小

C.在相等的时间间隔内，速率的改变量相等

D.在相等的时间间隔内，动能的改变量相等

B［由于不计空气阻力，小球只受重力作用，故加速度为g,,

方向不变；小球做平抛运动，速度的方向不断变化，在任意一段时

间内速度的变化量Ao=gAf,如图所示，选项A错误；设某时刻递VL

度与竖直方向的夹角为0,则tan。=芋=§,随着时间f的变大，tan

。变小，选项B正确；由图可以看出，在相等的时间间隔内，速度的改变量

相等，但速率的改变量03——矶。矶一00,故选项C错误；在竖直方向上

位移k=；g1,可知小球在相同的时间内下落的高度不同，根据动能定理，动能

的改变量等于重力做的功，所以选项D错误。］

2.（平抛运动推论的应用）将小球以某一初速度从4点水平向左抛出，运动

轨迹如图所示，5为轨迹上的一点。改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过

5点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是（）

A.在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球

B.在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球

C.在4、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球

D.在4、5两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球

C［根据平抛运动的推论，速度反向延长线过水平位移的中点，「二，牙外

如图，在与4等高处其他位置水平抛出，无论左侧还是右侧，只要

经过B点，则不满足平抛运动的推论，A、B项错误；当在A、B

两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球，小球速度等于原小球经过该点速

度，则小球轨迹重合，小球能够沿原方向经过5点，C项正确；在4、B两点间

轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球，根据几何关系可知：如果沿原方

向经过5点，小球速度反向延长线不能过水平位移中点，D项错误。］

3.(不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题)如图所示，小球A、

5分别从2/和/的高度水平抛出后落地，上述过程中A、5的水平位移分别为/

和2/。忽略空气阻力，贝！|()

B

A.A和B的位移大小相等

B.A的运动时间是B的2倍

C.A的初速度是B的;

D.A的末速度比5的小

A［位移为初位置到末位置的有向线段，如图所示可得§人=邓+(21)2=下

I,SB=^/Z2+(2Z)2=-\［5l,A和5的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时

时间是B的6倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA

0XB=?=巾点,则A的初速度是5的半，C错误；小球4、5在竖

直方向上的速度分别为0M=2砺，0yB=6面,所以可得。A='J",=

=、'皿,即VA>VB,D错误。］

4.（同一高度平抛后落在同一竖直面上的多体平抛问题）（2021•江苏七市二模）

如图所示，在飞镖比赛中，某同学将飞镖从。点水平抛出，第一次击中飞镖盘

上的。点，第二次击中飞镖盘上的方点，忽略空气阻力，贝！1（）

o........在

I，

■，

I，

■，

,_____________________________/

1,/zz//z///zzz//zz//zzz

A.飞镖第一次水平抛出的速度较小

B.飞镖第二次抛出时的动能较小

C.飞镖两次在空中运动的时间相等

D.飞镖两次击中飞镖盘时的速度方向相同

B［飞镖做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有：h=^gt2,得：t

知飞镖第二次下降的高度大，运动时间较长。由x=vot,X相等，知

飞镖第二次水平抛出的速度较小，动能较小，故A、C错误，B正确。飞镖击中

飞镖盘时的速度方向与水平方向夹角正切为：tan«=^=^,知飞镖第二次抛出

时运动时间较长，而初速度较小，可知飞镖第二次抛出时击中飞镖盘时的速度方

向与竖直方向的夹角较大，故D错误。］

5.（斜抛运动）如图篮球运动员定点罚球，篮球以与水平面成3的倾角准确

落入篮筐，速度大小为。，不计空气阻力，篮球从投出到落入篮筐过程中（）

后

A.速度逐渐减小

B.最小速度为osin。

C.速度变化量的方向向上

D.投出时速度与水平方向的夹角大于。

D［投篮过程篮球做斜抛运动，篮球运动到最高点时速度最小，整个过程

速度先减小后增大，故A错误；篮球速度的水平方向的分量0x=ocos/篮球

运动到最高点时速度最小且等于水平分速度0x=ocos。，故B错误；由Ao=gf

知，速度变化量Av的方向与g的方向相同，即速度变化量的方向竖直向下，故

C错误；由tan。=苧，%不变，tan，和马成正比，根据题意知，投出时竖直方

vx

向的速度马1大于篮球落网时竖直方向的速度Vy2,所以投出时速度与水平方向

的夹角大于仇故D正确。］

畲规僮总结平抛运动的重要结论和推论

(1)飞行时间

由'='借知，飞行时间取决于下落高度R与初速度。。无关。

(2)水平射程

x=zW=o八栏，即水平射程由初速度。。和下落高度力共同决定，与其他

因素无关。

(3)落地速度

v=\jv^+v/=-\lv^+2gh,以〃表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan0

=察==^，落地速度与初速度。。和下落高度人有关。

Ux。0

(4)两个重要推论

①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水

平位移的中点，如图所示，即脑=生

②做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan8=2tana。

考点2有约束条件的平抛运动《综合能力提升

1.对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类

问题的关键：

⑴灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。

(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。

(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。

运动员经过一段时间的加速滑行后从0点水平飞出，经过3s落到斜坡上的A

点。已知。点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角，=37。，运动员的质量机

50kg,不计空气阻力(sin37。=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?)。求:

(1)4点与。点的距离£；

⑵运动员离开。点时的速度大小;

(3)运动员从0点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。

审题指导：

题干关键获取信息

从0点水平飞出，不计空气

运动员做平抛运动

阻力

经过3s落到斜坡上的A点空中运动时间为3s,可求出竖直分运动的位移

结合竖直分位移可求合位移和水平位移，进而求

斜坡与水平面的夹角。=37。

出水平分速度(即初速度)

［解析］⑴运动员在竖直方向做自由落体运动，有31137。=a1

gt2

L=2sin37O=75m°

(2)设运动员离开0点时的速度为vo,运动员在水平方向的分运动为匀速直

Zcos37°

线运动，有Leos37°=oo£,即PO=——~—=20m/so

(3)方法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为

初)cos37°、加速度为gsin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为初)sin

37。、加速度为geos37。)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，

有oosin37°=gcos37°寸，解得f=1.5s。

方法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37。角时，运动员

离斜坡最远，有辞=tan37。，Z=1.5s0

［答案］(1)75m(2)20m/s(3)1.5s

畲方法技巧与斜面相关平抛问题的两个分解思路

(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要

从分解速度的角度来研究，tan。=辞(，为，时刻速度与水平方向间的夹角)，从

而得出初速度。。、时间人夹角〃之间的关系，进而求解具体问题。

(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方

向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tana=£1a为f时刻位

移与水平方向间的夹角），确定初速度。。、时间八夹角a之间的关系，进而求

解具体问题。

一i跟曲n臻］

角度1物体从空中抛出垂直打在斜面上

1.（2021•株洲模拟）将一小球以水平速度0o=lOm/s从0点向右抛出，经由

s小球恰好垂直落到斜面上的4点，不计空气阻力，g取10m/s2,5点是小球做

自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是（）

A.斜面的倾角是60。

B.小球的抛出点距斜面的竖直高度是15m

C.若将小球以水平速度/o=5m/s向右抛出，它一定落在A8的中点P

的上方

D.若将小球以水平速度0’o=5m/s向右抛出，它一定落在A5的中点P

处

7?0

C［设斜面倾角为〃，对小球在A点的速度进行分解，有tan〃=万，解得

〃=30。，A项错误；小球距过A点水平面的距离为/i=；gf2=15m,所以小球的

抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15m,B项错误；若小球的初速度为，o=5

m/s,过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度vo=10m/s

抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正

确，D项错误。］

角度2物体从斜面上抛出落在斜面上

7）

2.（2018•全国卷ni）在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以◎和5的速度

沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至

斜面时速率的（）

A.2倍B.4倍

C.6倍D.8倍

A［甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位

移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角

的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也

相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。］

3.如图所示，从倾角为。且足够长的斜面的顶点A,先后将同一小球以不

同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为小球落到斜面上前一瞬间的速

度方向与斜面的夹角为例，第二次初速度为。2,小球落在斜面上前一瞬间的速

度方向与斜面间的夹角为夕2,若02＞01,则他和"2的大小关系是（）

A.（p\＞（p2B.（pi＜（p2

C.01=02D.无法确定

C［根据平抛运动的推论，做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻或任一

位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为a,位移与水平方向的夹角为夕，则

tana=2tan由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan”+〃）=2tan〃，

此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角9仅与。有关，而与初速度无关，因

此外=”，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平

行的。故C正确。］

4.如图所示，在斜面顶点以大小相同的速度。。同时水平向左与水平向右抛

出两个小球4和B,两侧斜坡的倾角分别为37。和53。，小球均落在坡面上，若

不计空气阻力，则A和8两小球的运动时间之比为（）

C.3：4D.4：3

B［对于A球有tan37。=勺=瞿，解得人=生啜包；同理，对B球有益

2rotan53由此解得，=白，故选项B正确，A、C、D错误。］

gIB-IO

角度3落点在圆弧面上的平抛运动

5.如图所示，从。点以水平初速度。1、。2抛出两个小球（可视为质点），最

终它们分别落在圆弧上的4点和B点，已知04与。8互相垂直，且04与竖直

方向成a角，不计空气阻力，则两小球初速度之比初：3为（）

也0V2

A.tanaB.cosa

C.tanay］tanaD.coson/tana

C［设圆弧半径为R,两小球运动时间分别为〃、/2o对球1:Rsina=viti,

Reosa=^gt^,对球2:Reosa=v2t2,Rsin<z=；g以，联立可得泰=tanayjtana,

C正确。］

6.（2021•宜兴中学模拟）如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆

轨道相切于3点，已知抛出点在半圆轨道左端点（4点）的正上方，半圆轨道半径

为R,直线。6与水平面成60。角，重力加速度为g,则下列关于小球在空中的

运动的分析正确的是（）

D.小球到达5点时竖直位移为华

B［小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于8点，经过5点时速度方向与

水平方向的夹角为30。，则tan30。=总，小球在5点时的位移方向与水平方向的

夹角rz的正切值tana=；tan30。=',又知x=R+Rcos60。=当?，Vy=2gy,联

立解得y=¥匕%'=7坐^，名瞥，小球到达5点飞行的时间为f

4=、噤'选项A、C、D错误，B正确。］

oV

考点3平抛中的临界、极值问题«综合能力提升

平抛中常见的“三种”临界特征

(1)有些题目中有“刚好恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程

中存在着临界点。

(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述

的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。

(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过

程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。

［典例］(排球平抛运动的临界和极值问题)排球场总长18m,网高2.25m,

如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员击回。假设排

球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g