高中物理解题方法11之5：极值法（原卷版）

高中物理解题方法之5：极值法（解析版）江苏省特级教师戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。二次函数求极值二次函数，当时，y有极值，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。由公式得当时，有极小值，若，此时极小值为2。同理，的极大值为。求弹性正碰中m1所传递给m2的动能最大或最小的条件。设一个质量为m1，动能为Ek的物体与一个质量为m2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m1传递给m2动能最大或最小的条件。三角函数求极值：三角函数，当时，取最小值0，当时，取最大值1，（在0到范围内），同理，时，取最大值1，时，取最小值0。例3在倾角=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？设所加的外力F与斜面夹角为，物体受力情况如图所示。NFfG四、导数法求极值：一般的函数，求一阶导数，令其为零时的值，即为取极值的条件；再求二阶导数，当时，若，则上述极值为极小值；若，则为极大值。在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。RIgRxGG除了上述四种基本方法以外，还可以用不等式求极值，也可以根据物理中的临界条件求极值，等等。从上述例题可以看出：用求极值方法解决物理问题的关键在于：把物理问题转化为数学问题，首先要正确地分析物理过程，建立正确的物理模型或物理图景，恰当地运用物理规律和物理公式，正确地把物理问题转化为数学问题，然后才能用极值方法去解。五、平抛运动中的极值问题例1．一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知：山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求此人落到坡面时的动能；此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？例2.在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角=，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度，，求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；若绳长=2m,选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力，平均阻力，求选手落入水中的深度；若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。例3.如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g）

（1）求小物块下落过程中的加速度大小；

（2）求小球从管口抛出时的速度大小；

（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于

例4.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接（设经过B点前后速度大小不变），起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m．一质量m=50kg的运动员从滑道起点A无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1．（取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，运动员在运动过程中可视为质点）（1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a；（2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小；（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水