江苏省苏州市2022届高三考前模拟试卷数学试题及答案

2021〜2022学年度苏州市高三考前模拟试卷

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合4={工£^1|工2一工一240},B-{-1,1,2,3},则403=

A.{-1,0}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.在复平面内，设z=l+i(i是虚数单位)，则复数Z+z2对应的点位于

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知单位向量a,b,c满足2a+3Z>+4c=0,则ab=

297

A.——B.——C.0

1284

4.已知加sin200+tan200=百，则实数加的值为

A.GB.2C.4D.8

5.为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“10合1检测法’即将10个人的拭子样本合并

检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每

个人再做检测.现对来自重点管控区的100人进行核酸检测，若有2人感染病毒，则随

机将其平均分成10组后这两名感染患者在同一组的概率为

A.—B.—C.—D.—

15121110

6.已知奇函数/(x)=(x2-2x)3+b)540)在点(a,〃a))处的切线方程为y=/(a),则

b=

A.-B.-----回t----C.-2百^2D.-----回t----

3333

r22

7.已知£,每是椭圆一+v」==1(〃?〉1)的左、右焦点，点4是椭圆上的一个动点，若

mm-\

入4月用的内切圆半径的最大值是理，则椭圆的离心率为

1

A.V2-1B.-C.—D.V3-1

22

8.已知x==，2=兀，，则x,y,z的大小关系为

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知投资4,8两种项目获得的收益分别为X,y,分布列如下表，则

X/百万-102修百万012

P0.2m0.6P0.30.4n

A.m+n=0.5B.E(2X+1)=4

C.投资两种项目的收益期望一样多D.投资4项目的风险比8项目高

10.右图是函数/(x)=Zsin(«yx+e)(4＞0,。＞0)的部分图象，则

A.“X)的最小正周期为兀

B.将函数y=/(x)的图象向右平移三个单位后，得到的函数

为奇函数

C.x=*兀是函数y=/(x)的一条对称轴

6(第10题图)

D.若函数y=/(fx)。＞0)在［0,兀］上有且仅有两个零点，贝打€自，勺

63

11.某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一

个六面体(如图)，已知8c=/8=1,现已知三棱锥E-8CD的

高大于三棱锥3。的高，则

A.平面。CE

7

B.二面角/I-8C-E的余弦值小于

9

C.该六面体存在外接球

(第11题图)

D.该六面体存在内切球

12.在数列｛勺｝中，若a；-a3=pp为非零常数)，则称也,｝为“等方差

数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是

A.是等方差数列

B.若正项等方差数列｛%｝的首项q=l,且〃「生，为是等比数列，则端=2〃-1

C.等比数列不可能为等方差数列

D.存在数列｛q｝既是等方差数列，又是等差数列

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在正项等比数列｛q｝中，a2-a4=9,记数列｛勺｝的前〃项的积为7；,若

7；e(1,1000),请写出一个满足条件的〃的值为.

14.已知双曲线［-1=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，马，过石的直线与圆

丫2+必=〃2相切，且与双曲线的左支交于x轴上方的一点尸，当尸耳=耳用时直线尸入

的斜率为.

15.函数〃x)=ln|x|-|x-l|,若函数y=/(x)-〃?有三个零点，则实数朋的值为.

16.如图，已知四面体中，△48。和△8CZ)都是等腰

直角三角形，AB=6,NBAD=NCBD」.若四面体

2

ABCD外接球的表面积为87t,则此时二面角4-BD-C的

大小为______;若二面角力-8。-。为三时，点加为线段

3

(第16题图)

上一点，则的最小值为.(本小题第一空2

分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

在①S+c2T加访8=也相且B>j②几±=儡：③sin8+sinC=q这

241-cos^sin-sinCb-c

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

问题：在△/SC中，角/,8,C的对边分别为a,b,c,且

(1)求8；

(2)若。为边ZC的中点，且q=3,c=4,求中线8。长.

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18.(12分)

如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点。出发，每次等可能地向左或向

右移动一个单位，质点到达位置的数字记为X.

-6-5-4-3-2-10123456x

(第18题图)

(1)若该质点共移动2次，位于原点。的概率；

(2)若该质点共移动6次，求该质点到达数字X的分布列和数学期望.

19.(12分)

已知数列｛为｝满足gq+Ja,+T-卜*a,="("eN")，｛—｝的前n项和为.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设=log3a„,数列｛—!—｝的前n项和为7；,证明：T„<-S„+l.

她+也,+22

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20.（12分）

如图，在四棱锥P-45CD中，已知侧面尸CD

为正三角形，底面/8C。为直角梯形，AB//CD,

ZADC=90°,AB=AD=3,CD=4Y、M,N

分别在线段43和尸。上，且

AM=2MB,DN=2NP.

(1)求证尸A/〃平面/CN；

(2)设二面角尸的余弦值为且，(第20题图)

3

求直线PC和平面PAB所成角的大小.

21.(12分)

已知。cR,函数f(x)=er-asinx(xe[0,—]).

(1)讨论/(x)的导函数/'(x)零点的个数；

(2)若/(x)2与1。，求。的取值范围.

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22.（12分）

在平面直角坐标系xQy中，已知尸（1,0）,点“到直线x=-3的距离比到点尸的距离

大2,记阴的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）过尸的直线/交C于/，8两点，过点/作C的切线，交x轴于点P,直线8尸交

C于点。（不同于点8）,直线/。交x轴于点N.若SMNF=2S&NQ，求直线/

的方程.

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2021-2022学年度苏州市高三考前模拟试卷

数学试卷参考答案

316.J叵

13.4（答案不唯一）14.--15.-2

424

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.（10分）

解：(1)若选①：(a2+c2—Z>2)sinB=-^-ac,S.a2+c2-b2=2accosB>

所以2accos8sin8=@ac,所以sin28=@

4分

22

又〈兀，所以W<28<2兀，所以28=4,所以8=三...............6分

4233

若选②：由正弦定理得sm'sm"=JJsin/,因为sinAxO,

1-cos8

sinB=y/3—VJcosB>即sin(5+§)=・.........................................................4分

由0<8<兀，^<S+y<y,所以8+1=当，所以8=g..............................6分

若选③：由正弦定理得±=4,即/+。2一/=",

a-cb-c

由余弦定理得COS8='+C2-'=££■=]■,..................................................4分

2aclac2

又0<3〈兀，所以5二3・..............................................................................................6分

3

（2）在△NBC中，由余弦定理得〃=。2+/-2accos8=9+16-12=13,所以6=2百,

................................................................................................................................................8分

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2

_______________2AC

又BA,BC=（BD+DA）•（BD+DC）=BD--------,

4

所以3-4-。5工=而2-»，所以中线8。长为叵.

......................10分

342

18.（12分）

解：（1）记“质点位于原点。的位置”的事件为4

则P(A)

2x22

答：质点移动2次后位于原点。的概率为1............3分

2

（2）随机变量X可能取得的值为6,4,2,0,-2,-4,-6,

则尸(X=6)=q=L,尸(X=4)=3=9,P(X=2)=&=",

266426642664

”=。）母喘，尸”7）《嗜，尸―等哈尸（丫一）亨磊

.......................................................................10分

随机变量X的分布列如下:

X6420-2-4-6

1615201561

P

64646464646464

r

£(A)=6x—+4x—+2x—+0x—+(-2)x—+(-4)x—+(-6)x—=0•…，12分

64646464646464

19.（12分）

解:(1)当〃=1时，《=3,

当〃?2时，+…+=〃①,

1111

铲|+承2+尹。3+…+正％="-1②’

由①一②得（=1,即q=3"（〃22）........................3分

当〃=1时也成立，所以数列｛%｝的通项公式为4=3"（〃eN*）...............4分

（2）证明：由（1）知。“=3"，所以S=3口（3）1.（J」）,............6分

1—

3

z,

因为6〃=log3a7:=log33=n,

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所以大”("+D(〃+2)=?〃5+l)(〃+1)(〃+2)

］，8分

T1r1111]

所以T=_[--------+---------+…+(〃+1)5+2)1(«+lXn+2)]

21-22-32-33-4成〃+1)

1o

所以2骞=一[1-------------]................................................

2(”+1)5+2)」

+,n+,+|

因为3">2=(1+1)"N《7+C；,+l+C3=1+(〃+1)+("+D；"+2),

所以北=；口-(〃+；〃+2)】＜S"=太-5)

20.(12分)

解：(1)证明：连接MD,交AC于E.

因为把=2,AB=3,所以/〃=2,MB=1.

MB

因为所以匹=型=2.

EMAM

又器=2,所以普=等，所以PM〃NE.

NPEMNP

又NEu平面ACN,《平面NCM所以PM〃平面/CM................4分

(2)取CD中点F,连接MRPF.

因为△「(?£)为正三角形，所以尸F_LCZ),且P/=26，DF=-CD=2=AM.

2

又AM〃DF,所以四边形"MED为平行四边形.

又N/£)C=90。，所以四边形/用尸£＞为矩形，所有MF_LC。，且加F=3.

又PFLCD,MFCPF=F,加/，PFu平面尸例尸，所以CD平面PA/F.

又CDu平面ABCD,所以平面PA"_L平面ABCD.

过尸作MF的垂线交MF于点。，

过。作直线平行于CD交BC于点G,

则OW,OG,O尸两两相互垂直，则以。M,OG,OP分别

为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一

xyz,......................................6分

又M/LLC。，且MF=3,PFLCD,MFCFM=F,

所以NA/人尸为二面角P-CD-A的平面角.

于是cos/MFP=竺^=—.

PF3

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因为尸尸=2石，所以0^=2,且0P=2jI,所以P(0,0,JI),

因为C(-2,2,0)，所以方=(2,-2,2五)................................8分

又4(1,一2,0),8(1,1,0),尸(0,0,2),则通=(0,3,0),AP=(-1,2,272).

m±AB,nt•AB=0，

设加=(a,6,c)为平面BIB的一个法向量，则｛一即《一

m±AP,［〃八AP=0,

38=0,_

所以Ia+2b+2旧-0令c=l'则。=2&，所以/"=......10分

设直线AC与平面PAB所成的角为0(0<。W9，

„..II,CP..6-^2.5/2

则sindn=|cos<CP,m>|=|-~1=|--1=—,

IwI-ICPI4x32

ITTT

因为0<ew］,所以直线4C与平面处8所成角的大小为：..............12分

另解：(2)设点C到平面48的距离为力，

结合点C到平面P/B的距离等于点F到平面的距离，

而为等腰三角形，MP=MF,

所以点尸到平面PAB的距离等于点尸。=2&,

所以sin。=豆,故

424

21.(12分)

解：(1)g(x)=f\x)=ex-acosx,gf(x)=ex+asinx.

若。<1,则/'(x)=ex—4cos%>l—l=0,所以/'(x)的零点个数为0；

若a=l,g'(x)=e'+sinx>0,所以/'(x)在［0，自上单调递增，

又/'(0)=e°—cos0=1-1=0,所以/'(x)的零点个数为1；

若a>l,g，(x)=e、+asinx>0,所以/"(x)在［0,今上单调递增，

又/(0)=1_0<0，/，9=->0，所以/'(X)的零点个数为L............4分

(2)由(1)知:

若aWl,/'(Me-cosxM,故/⑴在［。勺上单调递增’

所以/(x)N/(0)=l>*°与与L;,所以aWl满足题意；..............6分

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若。〉1,存在唯一/KO,］),使得/'(%)二炉)-acos%=0,..............7分

且当xw(0,/)时，f\x)<0,当xwC%,今时，/'(x)>0,

所以/(x)在(0,/)上单调递减，在(/$上单调递增.

^3-1

所以/(x)min=/(Xo)=e'。—〃sinx。=QCOSX°—Qsinx。》---a,............................9分

化简得cos(x0+；)2约旦cos浮又X°€(0,»所以毛€(0中，……10分

易证y=2在(0/)上单调递减，所以』=丝人［正，1),

e、6a

解得。€(1,平丁］.

综上所述，”的取值范围为(-8,平一］.................................12分

22.(12分)

解：(1)因为点M到直线x=-3的距