反比例函数与一次函数相结合常见大题简单题型

反比例函数与一次函数相结合常见大题简单题型

1.求反比例函数y=的解析式，使得其与一次函数y=2x-4的图像经过点A(a,2)。解析：由题意可得，反比例函数的解析式为y=k/x，代入点A(a,2)得到2=k/a，因此反比例函数的解析式为y=2x/a。2.已知直线y=-2x经过点P(-2,a)，点P关于y轴的对称点P'在反比例函数y=(k≠0)的图像上。（1）求a的值；（2）直接写出点P'的坐标；（3）求反比例函数的解析式。解析：（1）由直线y=-2x经过点P(-2,a)，可得a=-4；（2）点P'关于y轴的对称点为P'(-(-2),a)=(2,a)，因此P'的坐标为(2,a)；（3）由于点P'在反比例函数y=k/x的图像上，代入点P'得到a=k/2，因此反比例函数的解析式为y=k/x。3.在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图像分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=1/2，OB=4，OE=2。（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式。解析：（1）由题意可得，反比例函数的图像与x轴和y轴均有交点，因此反比例函数的解析式为y=k/x；又因为反比例函数的图像经过点C和D，代入得到k=2，因此反比例函数的解析式为y=2/x；（2）由题意可得，直线AB的斜率为k=tan∠ABO=1/2，且经过点B(-4,0)，因此直线AB的解析式为y=(1/2)x+2。4.已知一次函数y=x+2与反比例函数y=k/x，其中一次函数的图像经过点P(k,5)。①试确定反比例函数的表达式；②若点Q是上述一次函数与反比例函数图像在第三象限的交点，求点Q的坐标。解析：①由题意可得，一次函数的图像经过点P(k,5)，代入得到5=k/x+2，解得k=3x；因此反比例函数的表达式为y=3/x；②点Q在第三象限，因此x<0，代入反比例函数和一次函数的表达式得到3/x=x+2，解得x=-3/2；代入一次函数的表达式得到y=(-3/2)+2=-1/2，因此点Q的坐标为(-3/2,-1/2)。5.如图，已知反比例函数y1=1/(kx)（k>0）与一次函数y2=kx+1（k≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C。若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2。（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？解析：（1）由题意可得，反比例函数的解析式为y1=1/(kx)，一次函数的解析式为y2=kx+1；由题意得到tan∠AOC=2，因此AC=2OC，代入△OAC的面积为1得到OC=1/2，因此OA=3/2；代入点A(x,y1)得到y1=1/(3x/2)，代入点B(x,y2)得到y2=kx+1，联立解得k=6；因此反比例函数的解析式为y1=2/(3x)，一次函数的解析式为y2=6x+1；（2）由题意可知，点B的坐标为(x,6x+1)；当y1>y2时，即2/(3x)>(6x+1)，解得x<1/6或x>1/2；因此当x在(0,1/6)或(1/2,+∞)时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值。6.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，m）的图像与反比例函数y=1/(x+1)的图像交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点C、D，且S△DBP=27，CA²=2。（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图像写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？解析：（1）由题意可得，ABCD为菱形，因此AC和BD垂直且相等，代入得到AC=BD=2；又因为CA²=2，代入得到CB=√6；由题意可得，反比例函数的解析式为y=1/(x+1)，代入点P(x,y)得到y=1/(x+1)，联立解得x=-1/2，因此点P的坐标为(-1/2,-2)；由题意可得，PA和PB分别垂直x轴和y轴，因此点A的纵坐标为4-2=2，点B的横坐标为-3+√6，因此点D的坐标为(-3+√6,0)；（2）由题意可得，一次函数的图像经过点D(-3+√6,0)，代入一次函数的解析式得到0=k(-3+√6)+b，又因为一次函数的图像经过点P(-1/2,-2)，代入一次函数的解析式得到-2=k(-1/2)+b，联立解得到k=4-2√6，b=-1-2√6；因此一次函数的解析式为y=(4-2√6)x-1-2√6，反比例函数的解析式为y=1/(x+1)；（3）由题意可知，当x在(-1/2,-∞)时，一次函数的值小于反比例函数的值。7.如图，一次函数y=kx+3的图像与反比例函数y=1/(mx)的图像交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且AP=2，BP=3。求k和m的值。解析：由题意可得，反比例函数的解析式为y=1/(mx)，代入点P(x,y)得到y=1/(mx)，联立解得到x=1/3，因此点P的坐标为(1/3,3)；由题意可得，PA⊥x轴于点A，因此点A的纵坐标为3-2=1，PB⊥y轴于点B，因此点B的横坐标为1/3-3=-8/9；代入一次函数的解析式得到3=k(1/3)+3，解得k=6；因此反比例函数的解析式为y=1/(2x)，一次函数的解析式为y=6x+3。8.如图，已知A（4，a），B（－2，－4）是一次函数y=kx+b的图像和反比例函数y=1/(mx)的图像的交点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积。解析：（1）由题意可得，一次函数和反比例函数的解析式分别为y=kx+b和y=1/(mx)，代入点A(4,a)和B(-2,-4)得到a=1/16，m=-1/4，代入点B得到k=-1/2，b=0；因此反比例函数的解析式为y=1/(-4x)，一次函数的解析式为y=-1/2x；（2）由题意可得，△AOB的底边为6，高为a+4-1/(-4)=a+17/4，因此△AOB的面积为1/2*6*(a+17/4)=3a+51/8。9.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=1/(mx)相交于点P，且P在y轴上方。（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OPQ的面积。解析：（1）由题意可得，一次函数和反比例函数的解析式分别为y=kx+b和y=1/(mx)，代入点P(0,p)得到p=1/(mb)，因此b=1/(mp)；由题意可得，点P在y轴上方，因此k>0，代入点P得到p=kp+b，解得k=1/p，代入b=1/(mp)得到b=m/p；因此反比例函数的解析式为y=1/(mx)，一次函数的解析式为y=x/p+1/m；（2）由题意可得，点Q在y轴上方，因此Q的坐标为(0,1/n)，△OPQ的底边为p，高为1/n，因此△OPQ的面积为1/2*p*1/n=p/2n。1.已知点A（2，3）、B（-3，m）两点，求一次函数和反比例函数的解析式，以及m的解集。解析：首先，我们可以根据两点求出一次函数的解析式：$$y=\frac{m-3}{-3-2}x+\frac{2m-9}{-3-2}=\frac{3-m}{5}x+\frac{9-2m}{5}$$然后，我们可以根据两点求出反比例函数的解析式：$$y=\frac{3m}{x+3}$$接下来，我们需要求解m的解集。由于反比例函数的定义域为$x\neq-3$，因此我们可以将一次函数代入反比例函数中，得到：$$y=\frac{3(\frac{3-m}{5}x+\frac{9-2m}{5})}{x+3}$$化简得：$$y=\frac{3(3-m)x+9-2m}{5(x+3)}$$由于反比例函数的值域为$y\neq0$，因此我们可以令分母和分子都不等于0，得到：$$\begin{cases}x\neq-3\\3-m\neq0\\3(3-m)x+9-2m\neq0\end{cases}$$解得$m\in(-\infty,3)\cup(3,\frac{9}{2})\cup(\frac{9}{2},\infty)$。2.已知一次函数$y=x+b$的图象经过点B（-1，n），且与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限交于点A（1，n），求一次函数和反比例函数的解析式，以及当$1\leqx\leq6$时，反比例函数$y$的取值范围。解析：首先，我们可以根据点B求出一次函数的解析式：$$n=-1+b\Rightarrowb=n+1$$然后，我们可以根据点A求出反比例函数的解析式：$$n=\frac{k}{1}\Rightarrowk=n$$因此，反比例函数的解析式为$y=\frac{n}{x}$。接下来，我们需要求解反比例函数在$1\leqx\leq6$时的取值范围。由于反比例函数的定义域为$x\neq0$，因此我们可以将其化为$y=\frac{n}{x}$，并考虑$x$的取值范围。由于$1\leqx\leq6$，因此：$$\frac{n}{6}\leqy\leqn$$因此，反比例函数$y$的取值范围为$[\frac{n}{6},n]$。3.已知一次函数$y=-3x$与双曲线$y=\frac{1}{x}$相交于点A（1，-3）和点B（-1，3），求：（1）双曲线的参数方程和顶点坐标；（2）点C（x，y）在双曲线上，且$x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$，求$y$的最大值。解析：（1）我们可以根据点A和点B求出双曲线的参数方程：$$\begin{cases}x_0=0\\y_0=0\\a=\sqrt{(x_1-x_0)^2-(y_1-y_0)^2}=\sqrt{10}\\b=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\end{cases}$$因此，双曲线的参数方程为：$$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\sec\theta\\y=\frac{1}{2}\tan\theta\end{cases}$$其中，$\theta$为参数，$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$。另外，顶点坐标为$(0,0)$。（2）点C在双曲线上，因此可以表示为$(x,\frac{1}{x})$。又由于$x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$，因此可以将$y$表示为：$$y=\frac{1}{x}=\frac{-1}{-x}$$由于$-x\in(0,1)\cup(-\infty,-1)$，因此可以将$y$表示为：$$y=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x-1}-1$$因此，$y$的最大值为$y_{\max}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$。4.如图，一次函数$y=kx+b$的图象经过点P（-1，n），且与反比例函数$y=\frac{m}{x-1}$的图象在第一象限交于点A（1，n），点B（5，-1）在一次函数图象上，且$x_1<x_2<5$，$y_1<y_2$，求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）$k$和$m$的值；（3）$y_1$和$y_2$的大小关系。解析：（1）我们可以根据点P求出一次函数的解析式：$$n=-k+b\Rightarrowb=k+n$$然后，我们可以根据点A求出反比例函数的解析式：$$n=\frac{m}{1-1}=0$$因此，反比例函数的解析式为$y=0$。（2）由于点B在一次函数图象上，因此可以代入一次函数的解析式，得到：$$-1=5k+b=5k+k+n=6k+n$$因此，$k=-\frac{1}{6}-\frac{n}{6}$。又由于点A在反比例函数图象上，因此可以代入反比例函数的解析式，得到：$$n=\frac{m}{1-1}=0$$因此，$m=0$。（3）由于$x_1<x_2<5$，因此可以将一次函数代入反比例函数中，得到：$$y_1=\frac{m}{x_1-1}=0$$$$y_2=\frac{m}{x_2-1}=-\frac{1}{4}$$因此，$y_1<y_2$。5.如图，已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点A（3，2），点B（5，-2）在反比例函数$y=\frac{m}{x-1}$的图象上，且$x_1<x_2<5$，$y_1<y_2$，求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）$k$和$m$的值；（3）$y_1$和$y_2$的大小关系。解析：（1）我们可以根据点A求出一次函数的解析式：$$2=3k+b\Rightarrowb=2-3k$$然后，我们可以根据点B求出反比例函数的解析式：$$-2=\frac{m}{5-1}=\frac{m}{4}$$因此，反比例函数的解析式为$y=\frac{m}{4(x-1)}$。（2）由于点B在反比例函数图象上，因此可以代入反比例函数的解析式，得到：$$-2=\frac{m}{4}\Rightarrowm=-8$$又由于点A在一次函数图象上，因此可以代入一次函数的解析式，得到：$$2=3k+b=3k+2-3k=2$$因此，$k=0$。（3）由于$x_1<x_2<5$，因此可以将一次函数代入反比例函数中，得到：$$y_1=\frac{m}{4(x_1-1)}=-\frac{2}{3}$$$$y_2=\frac{m}{4(x_2-1)}=-1$$因此，$y_1<y_2$。17.反比例函数$y=\frac{k}{x^{2m-1}}$的图像如图所示，$A(-1,b_1)$，$B(-2,b_2)$是该图像上的两点。（1）比较$b_1$和$b_2$的大小；（2）求$m$的取值范围。18.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=2x-4$的图像都经过点$A(a,2)$。（1）求反比例函数$y$的解析式；（2）当反比例函数$y$的值大于一次函数$y=2x-4$的值时，求自变量$x$的取值范围。19.如图，已知反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$（$k_1>0$）与一次函数$y_2=k_2x+1$（$k_2\neq0$）相交于$A$、$B$两点，$AC\perpx$轴于点$C$。若$\triangleOAC$的面积为$1$，且$\tan\angleAOC=2$。（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出$B$点的坐标，并指出当$x$为何值时，反比例函数$y_1$的值大于一次函数$y_2$的值？20.如图，函数$y_1=k_1x+b$的图像与函数$y_2=\frac{k_2}{x}$（$x>0$）的图像交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于$C$点，已知$A$点坐标为$(2,1)$，$C$点坐标为$(0,3)$。（1）求函数$y_1$的表达式和$B$点的坐标；（2）观察图像，比较当$x>0$时，$y_1$与$y_2$的大小。21.一次函数$y=kx+b$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像交于点$A(2,1)$，$B(-1,n)$两点。（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）求$\triangleAOB$的面积。22.如图，已知$A(-4,n)$，$B(2,-4)$是一次函数$y=kx+b$的图像和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像的两个交点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线$AB$与$x$轴的交点$C$的坐标及$\triangleAOB$的面积；（3）求方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解$x$；（4）求不等式$kx+b-\frac{m}{x}<0$的解集。23.如图，一次函数$y=kx+2$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像交于点$P$，点$P$在第一象限。$PA