设计 郑宗汉郑晓明 第章 近似算法

第15章近似算法0/1背包MMMSTTSP就是货郎担问题第15章近似算法很多问题的输入数据是用测量方法取得的,存在一定的误差,即输入数据是近似的。很多问题的最优解允许有一定程度的近似,只要误差在一个有效范围内即可。采用近似算法可以在很短时间内得到问题的解(与指数时间相比较)。15.1近似算法的性能比1.近似算法的基本要求算法能在问题规模n的多项式时间内完成;算法的近似解满足一定的精度要求。2.近似算法的近似比令表示一最小化问题,I是的一个实例,A是求解的一个近似算法,A(I)是近似解值,OPT是求解的最优算法,OPT(I)是最优解值,则近似算法A的近似比为:

A(I)=A(I)/OPT(I)若是最大化问题,则

A(I)=OPT(I)/A(I)说明:1)对最小化问题,有A(I)OPT(I)

对最大化问题,有A(I)OPT(I)2)近似算法的近似比总大于等于13)近似算法的近似比越小,性能越好A(I)=A(I)/OPT(I)A(I)=OPT(I)/A(I)3.近似算法的相对误差相对误差的定义:相对误差的界(n):近似比与相对误差界的关系:

(n)A(I)-1,即A(I)1+(n)

4.优化问题的近似方案

(approximationscheme)很多难解问题可通过增加近似算法的计算量来改善其性能;优化问题的近似方案把满足A(I,)1+（在误差范围内）的一类近似算法{A|>0}称为优化问题的近似方案,这些算法的性能比率会聚于1。

多项式近似方案

若近似方案中的每个算法A均以输入实例规模的多项式时间运行,则称该近似方案为多项式近似方案(PolynomialApproximationScheme)

多项式近似方案中算法的计算时间不随的减少而增长太快。

完全多项式近似方案若近似方案中每个算法的计算时间是1/和n的多项式,则称该近似方案为完全多项式近似方案(FullyPoly-nomialApproximationScheme){满足胡三角院不等山式的匠旅行父商问称题}欧几牢里得穴旅行膊商问番题:给定桥赋权骗无向见图G=贿(V抱,E准),旅行裤商问只题求瞎图中况最短Ha甲mi逼lt颜on回路婚。若止图中盐顶点疯是平疲面上盗的顶庸点,以任断意两通顶点颜之间腿的欧几约里德咱距离作为录它们榆之间隶的距捧离,则为锋欧几专里德旋旅行说商问荒题。15晨.2欧几部里得挽旅行姓商问迹题算法1.最近架邻算搜法(N凳N,贪心)kr环us号ca丝式l任选凝一个巴顶点择作为镜起点,选取最邻未近该起勿点的晴一个坊顶点,关联阴于起凶点和拼该顶扰点的老边作验为初舍始旅航游通绳路;令v表示储刚加姿到旅脂游通孝路上绢的新巡寿顶点鞭。在钓不属放于该带旅游渔通路撞上的条顶点呜中选歌一个最邻钳近顶点v的顶钻点v,将关胳联于v与v的边座加到刷已有单旅游阻通路然上;重复刘执行(2蛛),逐点龟扩充脉旅游乳通路,直到梳所有茅顶点馅都包斯含在亚这条健旅游日通路睬上;将形剖成的催旅游小通路祥的起认点和腔终点合用边摘联结,形成界所求烫的旅漏游回桥路.NN算法:NN=算法2.最小伞生成筹树算洞法(M会ST怠)对旅糟行商鞠问题严任意渡实例交对应则的赋智权图,调用卸最小转生成蒙树算委法,求其胆最小仅生成笔树;pr献imO(n2)或kr圣us岛ca疯lO(nlo唉gn)复制勤最小钥生成巴树的雾每条推边,即沿测每条沙边来攻回走砍两次,形成错欧拉稍图;在这条个欧较拉图涛中寻情找其鞋欧拉墨回路;利用“抄近依路”方法稼将欧还拉回修路变锄成所征求旅田游回盏路(因满妈足三惧角不专等式,故采圆用“殖抄近样路”烧方法慨不会荐增加上旅游嘉回路睁的长悦度)。定理1.对满橡足三惰角不筑等式狮的旅虎行商问题携的任错意实撞例I,有MS摸T<2证明:因最点小生狗成树涝长度<令OP齿T(唐I)羽,AMS法T(I艰)宏<伤2*最小醒生成四树长羊度,故AMS戚T(I锈)仙<叔2*穿OP互T(篇I)即MS粒T(I胜)=铲AMS阅T(I龙)/爪OP婶T(奸I)婶<2MS住T算法费的实犁现步活骤用Pr庆im或Kr娃us屈ka洁l算法唇构造灯给定李赋权总图的德最小先生成狂树;用深度往优先掀搜索算法鼓遍历相最小磁生成伴树,得到裹按先间序遍懂历顺顿序存惩放的细顶点多序号（得贸到序喘列）,则数瓶组中铜顺序虾存放供的顶伯点序衰号即怎为欧代几里水德TS多P的近寻似解秋。算法3.单MM算法对旅任行商今问题饭任意刚实例蚁对应圣的赋牌权图,调用欣最小软生成炉树算朗法,求其临最小启生成矿树T;对最塌小生很成树T中顶胆点的批度数番为奇燃数的占顶点桨集V={专a1,a2,…茎,a2k},调用尚最小茎对集赶（偶数锐个顶叮点的症完全谦图）算永法,在图G中求奖出V的最舍小对扛集M;（度数盛为奇集数的竿点一旷定是并偶数镰个）。在最帮小生粱成树T上添应加V的最居小对四集M,形成碍欧拉压图G;（每个贞点的彩度数养都是咬偶数）在欧套拉图G中寻蚂找其格欧拉族回路辨（找到版定点弦序列）;利用“抄近弟路”方法欧将欧排拉回迷路变略成所街求的祝旅游吉回路林。定理2.对满牲足三筛角不茎等式棵的货贵郎问题的夹任意舍实例I,有MM<3允/2证明:(1最)最小观生成倍树T的边呆长之弟和小于最短况旅游辽回路;肾d(税T)呼<O斑PT李(I薄)(2寺)因实编例满霞足三昼角不绣等式,故赋滑权图G中经榨过V中顶点的最重短旅乐游回蜓路长池度必小裁于经过奥图G中所羞有顶痛点的唇最短临旅游爸回路义长度西。d(材ep榨)<托=1注/2彼op砍t(郑i)在经卫过V中顶糕点的胶最短忙旅游偶回路缘瑞中,每隔泼一条敲边删氧除一劣条边,得到V的对恼集M,而步狡骤(2完)找出冶的是V的最作小对景集M。它寄们之榨间的晨关系症为:最小冈对集M中边蕉长度券之和对集M中边探长度树之和V中最蜂短回切路长欢度的根一半实例I中最故短回权路长士度的觉一半因此,步骤(2半)中求朗出的V中最室小对守集M的边隆长度喝之和不会柔超过实例I中最恭短回赛路长压度之卵和的盲一半;(3述)欧拉扶图G的所腥有边田长度新之和小于实例I中最炎短回夏路长膝度之疾和的3/剩2倍;(4礼)因满钉足三字角不葡等式,故采限用抄吃近路勉方法辫在欧咱拉图G中找抓出的公旅游谦回路殿长度AMM(I逐)小于实例I中最亚短回翻路长狗度的3/余2倍.因此,芒AMM(I雀)<厉3/捆2O拥PT岗(I透),即MM<3展/2有些防问题亮存在著性能学比会告聚于1的近旧似算胖法,只要双增加狼算法克的运邮算时芝间,可使姥算法勒的性绞能比谦接近杨于1。15骆.5多项术式近念似方义案1.土0/冶1背包鲁的多泉项式欣近似打方案背包凉问题:输入:质U=哪{u1,u2,…爬un}（物差体）,析V=询{v1,v2,…视vn}（质弄量）,均P=购{p1,p2,…漫pn}（价延值）,C（背蚕包容腥量）输出:子集SU,使得ui构SviC纲,ma穗xui命Spi按pi/vi降序蹈排序,并依独次填件入背层包。分数绸背包候问题:最优恒解0/绝1背包济问题:近似厦解0/追1背包挨问题泰贪婪炕算法逐的性举能比拿可能翁无界。例如,骄U=筋{u1,u2},萌v1=1阅,折p1=2伪,v2=p2=C>泥2算法遭所求途解为{u1},最优赴解为{u2}C可能单任意度大,故性令能比监可能威无界.对算真法做在简单芒修改震可使追性能坊比为2.修改政算法口的步膝骤:对物蔽体按pi/vi降序励排序,并依差次装竭入背您包,得到最价值剩为pr的解;挑选一个怎价值废最大的物稳体装榜入背忙包,得到痛价值唤为ps;选择pr和ps中较心大者皇作为要输出腥。算法Kn稠ap牙sa颤ck贿-P泽ro绣bl睛em近似因算法输入:喝U=针{u1,u2,…腐un},音V=舒{v1,v2,…铃,vn},P=消{p1,p2,…勒,pn},暴C输出:价值粪最大扫的子性集SU排序耳使p1/v1p2/v2…换pn/vni0;v0;p0;S{}走;姐//初始惜化wh苹il霸ei<维nan罗dv<运C蒙{if览vi剥C-赔v{SS妈{闪ui};vv敢+vi;pp灿+pi};ii粗+1川;}令S={返us},其中us为价师值最绕大物库体;Ifp诱psre应tu阻rn拥S醒;梳el境se州r存et垃ur巧n况S盟.0/驼1背包数问题鹅的多插项式哈近似钳方案算法蹦步骤:n个物称体按价值年体积拜比递减例排序;k=所1/;i=盗0;fo雀r(遣i=涨0;督i<最=k抚;i票++绝)fo批r(培j=死1;当j<怪=Cni;j素++站)2)j=储1;3)从n个物只体中椅选取i个物罪体放进钟背包,这种暗选择潜共有Cni组,选择第j组i个物戒体,其余遥物体竖的选桂择按悬贪心潮算法测执行;令结唯果背次包中备物体劳总价营值为vj,保存箭背包马中物春体序教号的蛋数组炉为kpj;4)若j<润Cni,j圆=j神+1偷,则转3)芒,否则抗转5)券;5)从Cni组结陷果中,选取vj最大街的一妙组结挂果,令其印价值虑为svi,保存童相应厘背包剪中物锅体序瞧号的衔数组川为sk愧pi;6)炕i够=i歼+1纪;若ik,则转2)驻,否则粘转7)询;7)从k+群1组结忧果中,选取svi最大怨的一虎组结蛾果,令其悔价值恼为v,保存糊相应略背包傻中物榴体序描号的台数组凉为kp求,则v及kp为算牲法的盏最终丙输出哈结果跃。多项灭式近骂似方饰案的性能身分析:定理15稿.4对某趟个k1,令=1论/k,算法煌的运躺行时烛间为O(knk+施1),性能吨比为1+。证明:1)时间谁复杂拌性的坊证明对每使个确仔定的i,共需浴进行Cni组选安择,执行Cni次kn春ap补sa蒸ck惹_r种ee育dy算法;声i由0递增梢到k,共需字执行梯的循歇环次糕数为:物体闸排序叶在算板法第见一步从完成,执行尘时无冤需重军复执跨行;每一铅轮循厌环中,把物像体装栏入背赠包的年工作蔬量为O(猪n)菌;因此,算法乐的总隆运行气时间劲为O(神knk+纠1)。2)性能粮比的归证明令I是背卡包问伐题的驰一个背实例,X是相佣应于最优涛解的物室体集昏合。有抵两种浮情况:若|X债|k,则算法也第3步Cni组选掏择中败必有造一组碑选择践是最彻优解娇（遍裁历了哈所有俘种情垮况）闯。此不时,算法仪的性吩能比谨为1。若|X迷|>k,令Y=蔽{u1,u2,…夹,uk}是X中k个价抱值最套大的浆物体模集合,令Z=侵{uk+去1,友uk+乒2,冒…,吗ur}是X中其余殊物体关的集盏合。平均