高考总复习《走向清华北大》精品课件函数的单调性与最大小值

第六讲函数的单调性与最大(小)值回归课本1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当f′(x)<0时,f(x)为减函数.2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M.②存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值结论 M为最大值 M为最小值定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).考点陪练1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A. B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案:A答案:B答案:D答案:C5.设x1,x2为y=f(袜x)的定兆义域挑内的图任意先两个稍变量,有以墨下几垮个命伶题:①(舅x1-x2)[握f(寇x1)-躲f(求x2)]友>0烛;②(悉x1-x2)[依f(滑x1)-涨f(撞x2)]肥<0骆;其中萝能推垒出函溉数y=f(另x)为增凯函数脉的命惜题为__贞__犁__疤__.答案:①进③类型淹一扩函数件单调厉性的浇判定左与证故明解题放准备:判断梯函数桨的单轮调性暮的常沃见方钥法有守三种:定义趁法､直接忽法､图象姿法.1.用定坏义法姻证明惭函数壶单调浪性的拉步骤:(1站)取值:设x1,x2为该死区间今内任朱意的站两个脸值,且x1<x2,则Δx=x2-x1>0名;(2赌)作差嘉变形:作差Δy=f订(x2)-昂f(鄙x1),并通辫过因颤式分垒解､配方､有理驴化等谎方法,向有罪利于墨判断抖差值底符号亦的方婆向变乞形;(3鼻)定号:确定坦差值Δy的符浴号,当符凭号不知确定唉时,可考廊虑分映类讨俗论;(4坚)判断:根据续定义鉴作出吩结论.2.直接渣法:运用极已知龄的结虚论,直接文得到耀函数纹的单纸调性.如一产次函爬数､二次斗函数､反比哈例函答数的狗单调屠性均盲可直妈接说育出.了解扩以下写结论,对直功接判林断函眨数的城单调领性有奔好处:(1庭)函数y=伪-f(卧x)与函拔数y=f(虾x)的单筒调性肾相反;(2泳)当f(沾x)恒为砍正或脆恒为纳负时,函数抄与y=f(粱x)的单统调性静相反;(3刊)在公济共区棒间内,增函漠数+增函施数=增函塌数,增函雪数-减函劣数=增函稿数等;(4缘瑞)复合秧函数篇单调浩性判蒜断,要注狂意掌肠握“同增､异减”的原泛则.3.图象典法:是根饿据函皱数的栋图象术直观肃判断镇函数异在某咬个区削间上尾的单躬调性稻的方兼法.[反思们感悟]利用捆函数阅单调势性的帖定义桶证明f(键x)的单王调性督时,比较f(勒x1)与f(型x2)的大义小常窗用作共差法,有时咱可运萌用作拒商法､放缩拍法等;讨论积函数僻的单牛调性纲值域叛问题信不可复忽视摸函数岛的定静义域.类型爸二缎函数半的奇披偶性半与单窝调性解题粱准备:因为滤奇函惭数的孕图象咳关于物原点执对称,所以蚁结合季图象袍可得巷奇函痒数在(a,判b)与(-榨b,肥-a显)上的更单调羽性相澡同.因为留偶函焰数的话图象室关于y轴对徒称,所以就偶函邪数在(a,蛋b)与(-穴b,离-a兆)上的还单调壤性相柏反.[分析]利用f(萝-x)=若-f(快x)求a,凤b的值.∵x21+1坑>0蛾,x22+1常>0话,x2-x1>0杀,而x1,x2∈[跳0,汽1]时,x1x2-1前<0际,∴当x1,x2∈[纹0,凳1]时,f凶(x1)-敌f(梨x2)<捆0,函数y=f(小x)是增询函数;当x1,x2∈[荷1,著+∞夕)时,f抚(x1)-这f(厕x2)>聚0,函数y=f(名x)是减缺函数.又f(查x)是奇跌函数,∴f(悔x)在[-侦1,鹅0]上是票增函描数,在(-猪∞,拖-1首]上是耀减函遣数.又x∈县[0它,1旬],鼠u∈杂[-盼1,壮0]时,恒有f(庙x)妹≥f感(u),等号馋只在x=杂u=炒0时取伯到,故f(辛x)在[-渡1,巧1]上是爱增函季数.(3嘱)由(2邀)知函露数f(剪x)在(0屈,1歼)上递踩增,在[1榴,+暮∞)上递偏减,则f(背x)在x=铸1处可络取得给最大姻值.∴f阅(1款)=，∴函玩数的砍最大仇值为,无最允小值.类型疤三世求函缎数的遮最值解题瓶准备:(等1)若函校数是胳二次屿函数俊或可覆化为烛二次模函数倚型的暖函数,常用稼配方脖法.(2疾)利用咐函数竟的单洲调性般求最制值:先判拖断函阳数在抢给定绸区间剪上的肯单调珠性,然后划利用茂单调夫性求发最值.(3湾)基本染不等岗式法:当函穷数是炸分式绒形式准且分徐子分看母不芦同次拢时常跌用此昨法.(4扁)导数投法:当函再数较乎复杂(如指､对数敞函数谦与多桐项式贵结合)时,一般永采用命此法.(5尖)数形沉结合浪法:画出危函数沸图象,找出穷坐标番的范寇围或欺分析士条件敌的几国何意辨义,在图剂上找仙其变金化范把围.[分析]在解蛋决该晨类型裳函数佛的最页值时,首先诵考虑巴到应薄用均雷值不默等式酱求解,但须映逐一决验证锋应用呆均值叶不等灾式所成具备达的条榆件.若条绍件不豆具备,应从牲函数祝单调诊性的悬角度举考虑.类型情四碑抽象幼函数漫的单蹦调性怒与最孟值解题某准备:抽象弱函数缘瑞是近酒几年塑高考陡的热咬点,研究谅这类悟函数捉性质横的根信本方艇法是“赋值”,解题眠中要懒灵活者应用日题目徒条件阻赋值欲转化搞或配肝凑.【典例4】函数f(谊x)对任锹意的a、b∈汤R,都有f(卸a+菜b)=门f(狼a)库+f甲(b随)-灭1,并且伙当x>性0时,f(乐x)>腹1.(1割)求证:f(喊x)是R上的仰增函棋数;(2桌)若f(浓4)津=5那,解不筒等式f(棵3m2-m驼-2窑)<挪3.[分析]舌(滔1)是抽唱象函是数单驾调性嫂的证悠明,所以票要用敏单调浴性的羡定义.(桐2)将函宿数不岔等式君中抽贺象的淋函数难符号“f”运用备单调谊性“去掉”,为此躬需将摊右边企常数3看成映某个悦变量皇的函蝴数值.[解]勾(剑1)设x1,x2∈R俩,且x1<x2.∴x2-x1>0深,则f(得x2-x1)>异1.∵f(汤a+益b)=慈f(咬a)瓶+f锈(b衫)-参1,∴f冷(x2)=亏f[孕(x2-x1)+膀x1]=后f(盾x2-x1)+怪f(呀x1)-傲1又f(宝x2-x1)-蠢1>食0,因此f(氧x2)>验f(论x1),故f(定x)在R上是栽增函幻玉数.(2烦)令a=姨b=鼓2,则f(搅4)稍=2外f(赏2)浪-1态.又f(孕4)滩=5蔬,∴提f(厉2)鸟=3真.原不因等式检即为f(捕3m2-m碗-2堤)<状f(炭2)长.由(1捏)知f(启x)在R上是嘉增函次数,∴3喝m2-m役-2仙<2寸.[反思氧感悟]族(秤1)若函吓数f(巷x)是增堆函数,则f(侍x1)<会f(手x2)⇔x1<x2,函数嘉不等杂式(或方拜程)的求占解,总是滥想方筛设法联去掉督抽象晶函数配的符铅号,化为引一般悠不等姨式(或方忧程)求解,但无踏论如雨何都舒必须母在定广义域俭内或铲给定辛的范留围内背进行.(2巨)在解需答过球程中盖易出廉现不摆能正庄确构秩造f(症x2-x1)的形司式或通不能恐将不较等式跃右边3转化抹为f(现2)从而宾不能惯应用牧函数烘的单阴调性备求解,导致说此种鞋错误总的原愧因是常没有虽熟练楼掌握肃单调浮性的滚含义昨及没顽弄清屈如何壤利用阿题目塑中的估已知雨条件奥或者死不能萄正确冰地将烘抽象卖不等戒式进框行转阿化.错源浩一惑不注惩意分俯段函跟数的捉特点[剖析]本题乐的错亲误在倡于没微有注饼意分再段函如数的毕特点,只保赚证了泡函数等在每眠一段窄上是腾单调画递减胀的,没有厨使函允数f(裂x)在(-触∞,喷1]上的冷最小妥值大究于(1威,+蝇∞)上的胶最大龄值,从而事得出幼错误崇结果.[答案]璃C错源竭二划判币断复屯合函巩数的浙单调罩性时,未弄佛清内､外函酱数的脆单调婶性而血致错技法惨一植复合今法[方法脚与技选巧]复合循函数豆求单种调区榆间是杏一个蒸难点,我们静应明眨确单挣调区泼间必障须是缝定义投域的振子集,当求芬单调到区间随时,必须迹