温度应力问题的基本解法

关于温度应力问题的基本解法第1页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引起的应力称为热应力，或温度应力。忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件，按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。第六章温度应力问题的基本解法温度应力问题的基本解法第2页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法第六章温度应力问题的基本解法§6-4按位移求解温度应力的平面问题§6-3温度场的边界条件§6-2热传导微分方程§6-1温度场和热传导的基本概念§6-5位移势函数的引用§6-6轴对称温度场平面热应力问题第3页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三§6-1温度场和热传导的基本概念1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用T表示。不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。即T=T（x，y，z，t）稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。即T=T（x，y，z）平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。即T=T（x，y，t）2.等温面：在任一瞬时，连接温度场内温度相同各点的曲面。显然，沿着等温面，温度不变；沿着等温面的法线方向，温度的变化率最大。T+2△TT+△TTT-△Txoy温度应力问题的基本解法第4页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢量。用△T表示，其大小用表示。其中n为等温面的法线方向。温度梯度在各坐标轴的分量为温度应力问题的基本解法取为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有△T（1）第5页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S的热量。用表示。热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用表示，则有温度应力问题的基本解法其大小为(2)第6页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。即(3)由（1）和（3）可见，热流密度的大小可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度”。称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得△T第7页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三热流密度在坐标轴上的投影可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。温度应力问题的基本解法第8页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。§6-2热传导微分方程xyz

取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时间内由T升高到。由温度所积蓄的热量是，其中是物体的密度，C是单位质量的物体升高一度时所需的热量——比热容。温度应力问题的基本解法第9页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法

在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt，由右面传出热量。因此，传入的净热量为将代入可见：由左右两面传入的净热量为：由上下两面传入的净热量为：由前后两面传入的净热量为：因此，传入六面体的总净热量为：简记为：第10页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。根据热量平衡原理得：温度应力问题的基本解法化简后得：记则这就是热传导微分方程。第11页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三§6-3温度场的边值条件

初始条件：边界条件分四种形式：第一类边界条件已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即其中Ts是物体表面温度。第二类边界条件已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即其中角码s表示“表面”，角码n表示法向。温度应力问题的基本解法

为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件合称为初值条件。第12页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

第三类边界条件已知物体边界上任意一点在所有瞬时的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差成正比的，即温度应力问题的基本解法其中Te是周围介质的温度；称为运流放热系数，或简称热系数。第四类边界条件已知两物体完全接触，并以热传导方式进行热交换。即第13页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三§6-4按位移求解温度应力的平面问题

设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体内各点的微小长度，都将产生正应变（是弹性体的膨胀系数），这样，弹性体内各点的形变分量为温度应力问题的基本解法

但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体总的形变分量是：第14页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三对于平面应力的变温问题，上式简化为温度应力问题的基本解法这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。第15页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法将应力分量用形变分量和变温T表示的物理方程为：几何方程仍然为：第16页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温T表示的应力分量将上式代入不计体力的平衡微分方程温度应力问题的基本解法第17页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三简化得：这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。同理，将应力分量代入无面力的应力边界条件温度应力问题的基本解法（1）第18页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法简化后得：这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。

位移边界条件仍然为：

将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见（2）第19页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三代替了体力分量X

及Y，而：则得到在平面应变条件下的相应方程。代替了面力分量及。

对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力的平面应力问题的温度应力问题的基本解法第20页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三§6-5位移势函数的引用

由上一节知：在平面应力的情况下按位移求解温度应力问题时，须使位移分量u和v满足微分方程：并在边界上满足位移边界条件和应力边界条件。实际求解时，宜分两步进行：（1）求出上述微分的任意一组特解，它只需满足微分方程，而不一定要满足边界条件。（2）不计变温T，求出微分方程的一组补充解，使它和特解叠加以后，能满足边界条件。温度应力问题的基本解法第21页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法

引用一个函数，将位移特解取为：函数称为位移势函数。以和分别作为u和v代入微分方程，简化后得：由于和都是常量，所以取：时，满足微分方程。因此，可以作为微分方程的一组特解。将以及代入位移分量和变温T表示的应力分量表达式第22页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法可得相应位移特解的应力分量是：第23页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

设，为位移的补充解，则，需满足齐次微分方程：相应于位移补充解的应力分量为（注意不计变温，即T=0）：温度应力问题的基本解法第24页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三总的应力分量是：需满足应力边界条件。在应力边界问题中（没有位移边界条件），可以把相应于位移补充解的应力分量直接用应力函数来表示，即其中的应力函数可以按照应力边界条件的要求来选取。温度应力问题的基本解法

在平面应变条件下，将上述各方程中的这样总的位移分量是：需满足位移边界条件。第25页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法例1图示矩形薄板中发生如下的变温：其中的T0是常量。若，试求其温度应力。xyoaabb解：位移势函数所应满足的微分方程为比较两边系数，得代入上式，得取第26页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三将A，B回代，得位移势函数于是相应于位移特解的应力分量为为求补充解，取可得所需要的相应于位移补充解的应力分量：温度应力问题的基本解法因此，总的应力分量为边界条件要求第27页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三显然，后三个条件是满足的；而第一个条件不能满足，但由于，可应用圣维南原理，把第一个条件变换为静力等效条件，即，在的边界上，的主矢量及主矩等于零：将温度应力问题的基本解法代入上式，求得于是矩形板的温度应力为：第28页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三§6-6轴对称温度场平面热应力问题

对于圆形、圆环及圆筒等这类轴对称结构弹性体，若其变温也是轴对称的T=T（r），则可简化为轴对称温度场平面热应力问题。轴对称温度场平面热应力问题，宜采用极坐标求解。不考虑体积力平面应力问题平衡方程

在轴对称问题中得到简化，其第二式自然满足；而第一式成为温度应力问题的基本解法第29页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三温度应力问题的基本解法

几何方程简化为

物理方程简化为

将应力用应变表示第30页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三

将几何方程代入上式，然后将其代入平衡方程，得按位移求解轴对称热应力的基本方程：或写成：

积分两次可得到轴对称问题位移分量：式中A，B为任意常数，积分下限取为a。由上式可得应力分量：温度应力问题的基本解法第31页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三其中常数A，B由边界条件确定。在平面应变的情况下，只需在以上各式中将例2设有一厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b。从一均匀温度加热，内表面增温Ta

，外表面增温Tb，如图所示。试求筒内无热源，热流稳定后的热应力。abTaTb得无热源，热流稳定后的热传导微分方程为解：首先求温度场。由热传导微分方程温度应力问题的基本解法第32页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三对于轴对称温度场有

积分两次得：或

由边界条件：求出A，B后回代，得温度场：温度应力问题的基本解法第33页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三积分后得温度应力问题的基本解法将T代入平面应变问题应力表达式第34页，讲稿共42页，2023年5月2日，星期三练习6.1