湖南省长沙市2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷

长部中学2022-2023诊キなるー第一培加给一破适え權俭刚

数学

时量:120分钟满分:150分

中

お得分

後

ー、选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个

选项中,只有一项符合题目要求.）

1.若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A=集,3,6},B={2,3,4},则

An（CO-B）=

圜

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

施2.已知命题公“ヨ。＞。,有。+丄＜2成立”,则命题p的否定为

幽A.V“&0,有。+丄）2成立B.Va＞0,有。+丄＞2成立

aa

K

計C.ヨaく〇,有a~^＞2成立D.ヨ。＞0,有a+丄）2成立

aa

■£

3.已知幕函数尸了（已经过点（3,悟）,则ノ（よ）

然

A,是偶函数,且在（0,十8）上是增函数

ミ報B,是偶函数,且在（0,+8）上是减函数

齡C,是奇函数,且在（0,+8）上是减函数

搦

D.是非奇非偶函数,且在（0,+8）上是增函数

4.若aV6＜0,则下列不等式一定成立的是

1

A.B.a2<Zab

藤a-b>1

4

D.a">b"

|a||aI+1

5.函数ツ=1+よー，1—21r的值域为

A.B.8,2

縣°°'ラ一

册C.^,+8D.传,+8

6.若存在实数№[2,4],使丁—2て+5ー〃V0成立,则か的取值范围为

A.（13,+〇〇）B.（5,+8）

C.（4,+〇〇）D.（—00,13）

数学试题（长郡版）第1页（共8页）

7.若函数/(x)=Jc2-lrax-\-b在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,

则M一相的值

A.与a有关,且与。有关B.与a无关,但与b有关

C.与a无关,且与b无关D.与a有关,但与b无关

8.对于函数ッ=/(イ),若存在松,使/.(融)=一/(ーよ〇),则称点(死,/'(死))

与点(一项),/(ーな))是函数ハよ)的ー对“隐对称点”.若函数イ(ブ=

--「‘、、’的图象存在“隐对称点”,则实数相的取值范围是

し丸r+2,z>0

A.(—8,2—2德］B.［2-272,0)

C.(-<^,2+272］D.(0,2+272］

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得

0分.)

9.下列叙述中正确的是

A,若Q,b,cWR,则“a*+/zr+c>0”的充要条件是"がー4acく〇”

B.若。,仇cGR,则“aび>cb2”的充要条件是、〉c”

C.%V1”是“方程發+i+a=O有一个正根和一个负根”的必要不充分

条件

D.%>ド是“丄くド的充分不必要条件

10.设正实数a,ル满足。+6=1,则

A.丄十す有最小值4B./石有最小值得

c.n十ぜ有最大值倉D.か+び有最小值ラ

11.定义在R上的函数/(よ)满足ア(よ+ッ)=/(z)+/'(y),当てVO时,

/Cr)>0,则函数バ1)满足

A./(0)=0

B./(z)是奇函数

C./(よ)在レ〃,7?］上有最大值f(n)

D./(^-l)>0的解集为{,工<l}

12.已知"r)为奇函数,且/(エ+1)为偶函数,若メ1)=0,则

A./(3)=0B./(3)=/(5)

C./(x+3)=グ(x—1)D./(z+2)+/(z+l)=l

答题卡

题号123156789101112

答案

数学试题(长郡版)第2页(共8页)

三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.）

13.满足{0,1,2}UAU{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是个.

14.已知イ（で）=レゼー5久一6,则ア（て）的单调递增区间为.

15.已知a〉0,6>〇,c>0,且a+6+¢=2,则イj十"ゆ的最小值为

16.若集合A={zGZ|ゼー（”+2）て+2—a<0}中有且只有一个元素,则

正实数。的取值范围是.

四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17.（10分）记关于K的不等式冶く0的解集为P,不等式は一1丨&1的

解集为Q.

（1）若a=3,求Pi

（2）若Q三P,求正数«的取值范围.

数学试题（长郡版）第3页（共8页）

18.（12分）二次函数メ之）满足/Cr+D—二次=2よ,且/（0）=l.

（1）求/殳）的解析式;

（2）解不等式バオ）＞21+5.

数学试题（长郡版）第4页（共8页）

19.（12分）已知a>Q,b>O,a+b=ab.

（1）求a+b的最小值;

（2）求证:（1+ラ）（1得）与・

数学试题（长郡版）第5页（共8页）

20.（12分）已知函数ハブ=当苫是定义在（一:1,1）上的奇函数.

（1）确定バよ）的解析式;

（2）用定义法证明ノ（才）在（一1,1）上是减函数;

（3）解不等式/（z-i）+f（?）＜o.

数学试题（长郡版）第6页（共8页）

21.（12分）随着城市地铁建设的持续推进.市民的出行也越来越便利.根

据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔”单位:分钟）满

足:4くW15,£N,平均每趟地铁的载客人数Z）（か（单位:人）与发车时

间间隔t近似地满足下列函数关系:/）（r）=

[1800—15（9ーハ2,4くz<9,卄,

11800,9&忘15,Z6N,

（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500,试求发车时间间隔t

的值;

（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q=6p（t）,7920ー]O0（单位:

元）,问当发车时间间隔，为多少时,平均每趟地铁每分钟的净收益

最大?并求出最大净收益.

数学试题（长郡版）第7页（共8页）

22.（12分）对于定义域为I的函数/（攵）,如果存在区间b〃,〃］。人使得

バ7）在区间ルれ,口上是单调函数,且函数メ=ハ7）,7Gレ〃,»］的值域

是レ〃,〃コ,则称区间レ〃,"］是函数バオ）的一个“优美区间”.

⑴判断函数•y=f（zGR）和函数ツ=3—：（7>0）是否存在“优美区

间”,如果存在,写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论,

不要求证明）

（2）如果レ〃,〃］是函数了0・）=（メ+クiT（a六〇）的ー个“优美区间”,

求〃ーア〃的最大值.

数学试题（长郡版）第8页（共8页）

求青中博2022—2023名キ友當ー第一号加第一决竟情性检阅

数学参考答案

ー、选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.）

题号12345678

答案BBDCABDA

1.B【解析】由题可得（:"8={1,5,6},所以A。（Ci；8）={l,6}.故选B.

2.B【解析】存在量词命題的否定是全称量词命题,所以“ヨ”>0,有a+，<2成立’’的否定是“Va>0,有。+チ>2成立'',故

选B.

3.D【解析】设赛数的解析式为メ=ガ,将点（3,禽・）的坐标代入解析式得3«=乃,解得a=4，.\y=j4.函数的定义域为10,+8）,

是非奇非偶函数,且在（0.+8）上是增函数.故选I）.

4.C【解析】（特值法）取a=—2.6=—1."=（）,逐个检验,可知A,B,D项均不正确;

C项'I㈡""（|。|+l）V|aI（|6|+D㈡|a||6|+|6|V|a|网+㈡1“VIM，

•・レ〈6V0,二|田〈レ丨成立,故选C.

5.八【解析】设，1—2よ=へ则2/O,1=’，,所以ッ=1+丄^——メー21+3）=—，（/+1プ+2.因为エ>0,所以メ〈"!".

所以函数ツ=1+ス,ーノ1—2ズ的值域为（—8,彳|,故选A.

6.B【解析】，〃>づー2彳+5,设/（よ）=よ2—2よ+5=（了ー1）2+4,スピ［2,4コ,当x=2时，（ズ）min=5,ヨズ£［2,4］使ズー2イ+5—mV

〇成立,即か〉，（ユ、）min，•••〃05•故选B.

7.D【解析】因为最值在メ0）=ん，⑴=1+。+ム"（ー告）="ー号中取•所以最值之差一定与"无关.选D.

8.A【解析】由“隐对称点''的定义可知.

.的图象上存在点关于原点对称,

见r+2,ズ>0

设函数g（i）的图象与函数ツ=ゼ+2た,7Vo的图象关于原点对称.

设〇,则ーhVO,/（一1）=（ーI）2+2（ース）=レー2处

.・・g（i）=—彳ユT-2I,E>0,

故原题意等价于方程〃しr+2=一パ+2ス（よ>0）有零点,

解得m=~x一"-+2,

由于ーエー5+2=—（よ+-1）+24一2Mエ.看+2=2—2笈,

当且仅当マ=点・时•取得等号,即有加&2—2笈,

即实数m的取值范围是（一8,2—2笈1.故选A.

二、选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分.

有选错的得0分.）

题号9101112

答案CDACDABDABC

9.CD【解析】A错误.当a=0,〃=0,rV0时,满足けー4ar40.但此时aバ+/xr+c>0不成立.故若a.仇cCR.则“aガ+/»+<・ユ。”

的充要条件是“がー4acW0”错误;

B错误.若a.b.cCR,当a>c且。=0时,推不出a3>c歩,故错误;

C正确.若方程ア+#+a=0有一个正根和一个负根.则△=1ー妬>0,nめ=a<0,则a<0.又“aく「'是"a<0”的必要不充分条

件.故正确;

D正确.“a>l"=>“丄<1”但是“丄VI”推不出“a>l”.故正确.故选CD.

aa

数学参考答案（长郡版）一!

10.ACD【解析】正实数。,ル满足a+〃=1,即有a+ム>2Jあ,

可得,

即有丄+ア=)>4,

abab

即当a=。时,丄+J取得最小值4,无最大值;

ab

由。く/石，可得X/ab有最大值キ.B错误?

可得当a=う时,"7+"取得最大值夜;

由/+ガ》2"可得2(諸+が)2Q+6)2=],

则メ+ダ〉チ・故当。=み=ナ时.び+び取得最小值よ.

综上可得ACD均正确.

11.ABD【解析】令1=ツ=0,则イ(0)=2f(0),故ハ0)=0.选项A正确;

令ッ=ーワ,则f(0)=f(x)-hf(—JT)=0,

即/(1)=—/(一/),

故函数ハブ为奇函数,选项B正确;

设X\<ZX29则め~X2V0,

由题意可得,/(カー12)>0，

即f(門)+/(ール)=/(め)一ア(N2)>〇,

即/(力)〉，(小),故函数ハズ)为R上的减函数,

1・f(1)在[，レル]上的最大值为f(〃か.选项C错误;

/(jr-l)>0等价于/(JT-1)>/(0),

又，(彳)为R上的减函数,故スー1V0,

解得ユー<1,选项D正确.

故选ABD.

12.ABC【解析】因为函数ハズ)为奇函数"(尤+1)为偶函数,所以バース)=ーハス),バス+1)=バ1ーズ)，

所以バス+2)=バース)=—ハス),バス+4)=ーハス+2)=バス),所以ハス)的周期为4,

又・•・パ1)=0,バ3)=バー1)=ーハ1)=0,バ5)=バ1)=0,故A,B正确；

ハス+3)=ハよ+3—4)=パスー1),・・・C正确;

バ2)=バ2—4)=/(—2),同时根据奇函数的性质得/(2)=—/(—2),・・・f(2),/(—2)既相等又互为相反数,故/(2)=0,

所以パ2)+バ1)=0ナ1,即バス+2)+ハス+1)=1对于ス=0不成立,故D不正确.故选ABC.

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.8

14.[6.+8)【解析】••,/(ズ)=Jズ2—5スー6，,ズ2—5ズ—6)0,求得ス1,或ス>6,

故函数的定义域为《ズ|スくー1或ズ>6〉,

由题即求函数»=ズ2—5スー6在定义域内的增区间.

由二次函数的性质可得函数ル=ズ2—5スー6在定义域内的增区间为[6,+8).

15.2+2夜【解析】・・・&+厶+c=2,a+〃=2—c>0,

.4।a+ら4.2-c_4,2,

a-\~b'c2~cc2~cc'

[2ー。=〃2,

设《则"?+た=2,

=—+—(—+—)=3+—+—>3+2A/—X—=3+2笈,

厶一ccmnしヽmn/mnvmn

当且仅当川=2が.即c=2セー2时,等号成立,

/.リ:T~~--1?3+2々一1=2+2夜,

即.・シ十‘"；‘’的最小值为2+2".

数学参考答案(长郡版)-2

16.（:，告］【解析】/（工）=發一（a+2）了+2—a<0,\J/

即メー2工+1〈<1-1,VL=（x-W2

分别令シ=ザー27+1,2=a（工+1）—1.易知北过定点（一1,—1）,）./，

在同一坐标系中画出两个函数的图象.如图所示,•,・Rノ・・

若集合A={zezけ（外<0}中有且只有一个元素,结合图象可得•即点（0,1）和点（2,1）在・a（*+；）一］，琲'234

直线上或者在直线上方,点（1,0）在直线下方,"/-21

fa—lく1,

•20—1>0,解得"!~<々《母•

13〃—141,

四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.）

17.【解析】（1）由争<0,得尸=ほ|一1<工<3}............................................................................................................................4分

（2）Q=〈エ|はー1|41）={エ|04エく2》...............................................................................7分

由a>0,得P=H|—10<a},又客P,所以a>2,

即a的取值范围是（2,+8）............................................................................................................................................................10分

18.【解析】（1）设イ（.r）的解析式为ハオ）=a.，+/w+c（aWO）.

V/（O）=1,.,.<•=1.

把/（よ）的表达式代入，（ヱ+1）—/（才）=2工,有

a（i——I）2+。（ユ、+1）+1——（ax2+みユ、+1）=2マ.

•••2。ズ+。+〃=2ズ.•=2。=2,。+6=0.

/.a=l,Z>=—1.

A/(x)=J-2-jc-r1............................................................................................................................................................................6分

(2)由x2—よ+1>2よ+5,得ar—3Nー4>0.解得ズ>4或ス〈一1.

故原不等式的解集为｛3ゼ>4或エV—1)....................................................................................................................................12分

19.【解析】(1)'ス+仁aK(华);

.•.a+Z>>4(書且仅当a=6时取等号)...............................................................................6分

(2)マ。+〃=心2依,

.•.心4,...............................................................................................................................................................................................8分

••.(1+チ)(1+チ)=1+チ+卷+£=1+祟+£=2+£&2+チ=キ........................................12分

20.【解析】（1）由于函数，（才）=責苦是定义在（一1,1）上的奇函数,则，（ーオ）=一イ（了），

即（二总i=一吉・化简得『=0,因此，ハつ=号•........................................................4分

（2）任取カ,/2e（—1，1），且ー门〈ヰ・即—1012V1，

川If（f（ゝ_q________a、2_ル0ー1）ーズハ»ー1）_（心一力）（1|心+1）

‘ハ""ハユ2ノ曷ー1»ー1—（4ー］）（内ー1）（めー］）（め+］）（とー］）（れ+］）.

V—1<ZJ：］くス2V1，—力>0,ハス2+1>〇,不一1V0,力+1>0,あ—1VO,%2+1>0.

・・・/（©）-/（め）>0,・・・/（め）>/（ズ2）,因此,函数ツ=/（ズ）在区间（一1，1）上是减函数................................8分

（3）由（2）可知,函数ツ=ハズ）是定义在（一1,1）的减函数,且为奇函数,

/_］>一£,

由/a—1）+/（か〈o得/（上一1）<一/（，）=/（一t）,所以《一i<,一ivi.解得ラ<yi.

I-1</<1.

因此,不等式/（LD+/（かく0的解集为（4,り..................................................................12分

21.【解析】（1）当9M£415时,1800>l500.不满足题意,舍去.

当4Q<9时,1800—15（-1500,

即啓-1双+61》〇,

解得。9+2用（舍）或W9-2斯・，

V4<r<9,zeN.

Az=4................................................................................................................................................................................................6分

数学参考答案（长郡版）一3

一（90，+^^^）+1520,4W，<9,/CN.

（2）由题意可得Q=j

^-^-100,9<z<15,/6N,

当4</<9时,%ー2790X4410+1520=260（元）（当且仅当90/=サ”,即（=7时等号成立），

当94W15时,收ユ響一100=220（元）（当，=9时