河南省商丘市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

2021—2022学年度第一学期期末测试卷（YCCL）

九年级数学（RJ）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.9x2—7x+6B.x2-\-y-3—0C.x2—2yD.x3-3x+8—0

2.下列事件为必然事件的是（）

A.明天是晴天

B.任意掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次

C.一个三角形三个内角和小于180°

D.两个正数的和为正数

3.如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示

该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（）

试卷第1页，共6页

4B3

4.已知——=一，则△/8C与的面积之比为（）

A'B'4

5.如图，已知8c是。。的直径，NZOC=58。，则NZ的度数为（）

A.28°B.29°C.32°D.42°

6.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）

A.x2+x=0B.4x2-4x+1=0C.3x2-4.r+1=0D.4x?-5x+2=0

7.关于二次函数y=（x-3『+5的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.有最大值5C.对称轴x=-3D.顶点坐标（3,5）

8.已知点/（-1,乂），8（1,刈），c（2,外）是函数y=:图象上的三点，则必，y2＞外的大小

关系是（）

A.必<%<%B.乂＜为＜%C.必2VMD.无法确定

9.如图，在“08中，A,8两点在x轴的上方，以点。为位似中心，在x轴的下方按1：2

的相似比作“08的位似图形△/'OB'.设点8的对应点"的坐标是（4,-2）,则点B的坐标

试卷第2页，共6页

A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)

10.如图，RtA/5C中，4c8=90。，48c=30。，BC=2道，绕点C顺时针旋

转得△4AG，当4落在/B边上时，连接48,取8片的中点。，连接4。，则4。的长

度是（）

A.2B.2GC.币D.3

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.与点尸（2,-4）关于原点中心对称的点的坐标为

12.将抛物线y=3/向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的抛物线的

解析式为.

13.一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除分别标有的数字-3,-2,2,5不同外，

其他完全相同.任意从袋子中摸出一个小球不放回，再任意摸出一个小球，则两次摸出的小

球上所标数字之和为正数的概率是.

14.如图，在RtA48C中，乙48c=30。，AC=2,将NIBC绕点C逆时针旋转，点4B

的对应点分别为4，B、,当4玛经过点Z时，交AB于息D,则弧丽，BQ,BD所

组成的阴影部分的面积为.

%

15.如图，在RtA/8C中，乙4=90。，AC=6,AB=8,点D为BC上一个动点,将“8C

绕点。逆时针旋转一定角度（0。至180。之间）得到AEFG,点A,B,C的对应点分别是E,

试卷第3页，共6页

G,F,EF交BC于点、H,若AOFH为直角三角形且C£>=8〃，则CD的长为

三、解答题（共8题，共75分）

16.（1）计算：sin300+cos600-tan450-tan60°.

（2）已知实数x、V、z满足彳=m=彳，试求二2匕z的值.

2342x-y

（3）用公式法解方程：/-2立*-3=0.

17.如图，在△N8C中，B4=BC,点BDLAC于点D,DEL4B于点、E

（1）求证：XAEDs/\CDB,、

（2）如果8C=10,AD=6,求/E的值.

18.某校数学兴趣小组要测量郑州“大玉米''的高度.如图，他们在点A处测得“大玉米”的最

高点C的仰角为45。,再往“大玉米”方向前进至点8处测得“大玉米”的最高点C的仰角为55。,

/8=85m.根据这个兴趣小组测得的数据，计算“大玉米”的高度CD.（sin35°»0.57,

cos35°«0.82,tan350®0.70,结果保留整数）

3k

以如图’在平面直角坐标系xOy中'正比例函数乂=-5、与反比例函数为的图象在

试卷第4页，共6页

第二象限交于点力，且点力的横坐标为-2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)直接写出当必＞为时，x的取值范围.

(3)点8的坐标为(-4,0),若点P在y轴上，且A/IO尸的面积与小08的面积相等，求出

点P的坐标.

20.如图，点P为。。上一点，过点P作。。的切线交弦”8延长线于点C,过点O作的

垂线交。。于点。，垂足为E,连接电)交于点尸，连接P8.

⑴求证：ZCPF=ZCFP；

(2)当8尸〃时，若OE=3,OE=2时，求CF的长.

21.某商场A种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为尽快减少库存，商场决定采

取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.在确

保盈利的前提下，解答下列问题：

(1)设A商品每件降价x元，每天售出A商品的利润为N元，请写出夕与x的函数关系式，并

写出自变量x的取值范围；

(2)为了每天盈利2100元，则每件A商品应降价多少元？

(3)当A商品每件降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

22.已知抛物线了=/+云+。经过点(0,-3),(3,0).

(1)求这条抛物线的顶点坐标和对称轴；

(2)将(1)中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不

试卷第5页，共6页

变，得到一个新图象，若新图象与直线＞=工+团有四个不同公共点，请直接写出机的取值

范围.

23.（1）发现问题：如图1,在等腰直角三角形N8C中，NACB=90。，点、F为BC上一点,

AF

以BF为边作正方形BFED,点E在上，若AC=BC=2,BF=0,贝U==_________；

CF

（2）类比探究：如图2,在（1）的条件下，将正方形BFED绕点、B旋转,连接力E,BE,

CF,求差AJ7的值；

CF

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，当4E,尸三点共线时，直接写出线段CF的长.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】

根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做

一元二次方程，逐项分析判断即可.

【详解】

A.9x?=7x+6,故该选项符合题意；

B.x2+y-3=0,是二元二次方程，不符合题意

C./=2y,是二元二次方程，不符合题意

D.7-3x+8=0,是一元三次方程，不符合题意

故选A

【点睛】

本题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键.

2.D

【分析】

根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义判断.

【详解】

A项，是随机事件，不符合题意：

B项，是随机事件，不符合题意；

C项，是不可能事件，不符合题意；

D项，是必然事件，符合题意；

故选D.

【点睛】

此题考查事件的判断，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事

件是指在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的

事件.掌握其定义是解题关键.

3.A

【分析】

由已知条件可知，主视图有3歹11，每列小正方体的数目分别为2,3,1,据此可得出图形，

从而解题.

答案第1页，共18页

【详解】

解：观察图形可知，该几何体的主视图为

故选：A.

【点睛】

本题考查了由三视图判断几何体，组合题的三视图，解题关键在于：由几何体的俯视图和小

正方体内的数字，可知主视图的列数和俯视图的列数相同，且每列小正方体数目为俯视图中

该列小正方体数字中的最大数字.

4.C

【分析】

根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，直接求得答案.

【详解】

•；AABCs^ABC,定=“

♦，.A/isc与的面积比=—>

⑷16

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

5.B

【分析】

根据圆周角定理：圆周角是同弧所对圆心角的一半；等腰三角形底角相等即可得到答案.

【详解】

解：VZA0C=5S°,

：.ZB=-ZAOC=29°,

2

VOA=OB,

：.4=N3=29。,

答案第2页，共18页

故选：B.

【点睛】

本题考查圆周角定理和等腰三角形性质，掌握这些是本题解题关键.

6.B

【分析】

根据判别式与根的个数的关系，逐项判断即可.

【详解】

解：A、A=/>2-447c=l2-4xlx0=l>0,方程有两个不相等的实数根，故选项错误，不符

合题意；

B、A=h2-4ac=0,方程有两个相等实数根，故选项正确，符合题意；

C、A=62-4ac=(-4)2-4x3xl=4>0,方程有两个不相等的实数根，故选项错误，不符合

题意；

D、A=Z>2-4«C=(-5)2-4X4X2=-7<0,方程没有实数根，故选项错误，不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，掌握判别式与根的个数的关系是解题的关键.

7.D

【分析】

根据函数的解析式依次判断.

【详解】

解：•.•二次函数解析式为y=(x-3)2+5,

...图象开口向上，顶点坐标为(3,5),对称轴为直线x=3,函数最小值为5,

故选D.

【点睛】

本题考查了顶点式函数解析式的性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质.

8.B

【分析】

因为左=1>0,所以在每个象限内，y随x的增大而减小，即可求得.

【详解】

答案第3页，共18页

•：k=l>0

在每一象限内y随x的增大而减小

：.1<2

二当x<0时，y<0,当x>0时，y2>y}>0

:.yt<y}<y2

故选B

【点睛】

本题考查反比例函数的图像与性质，掌握k的值与反比例函数图像的关系是解题的关键.

9.C

【分析】

根据位似的性质即可求解.

【详解】

解：：点8’的坐标为(4,-2)

二点8的横坐标为4x(-g)=-2

点B的纵坐标为-2x(-；)=1

二点8的坐标为(-2,1)

故选：C.

【点睛】

本题考查了位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相

似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比为k或次.

10.C

【分析】

由旋转的性质可证△/◎/、△SC氏是等边三角形，从而//8。=90。，再利用勾股定理即可

求出答案.

【详解】

解：：△48C绕点C顺时针旋转得△48/C,点小落在AB边上，

：.ZACAi=ZBCBi，CB=CBi,CA=CAi,

".'ZAC8=90°,ZABC=30°,

：.4=60°,

答案第4页，共18页

...△/C4是等边三角形，

，N/C4=NBCBi=60°,

...△8C8/是等边三角形，

:.NCBBi=6Q°,BB尸CB=2后,

，N/BD=90°,

：88’的中点为。，

:.BD=y/3,

'：ZABC=30°,8c=2石，

・••力C=2,48=24。=4,

:.BAi=2,

.'.A/D--^22+（^/3）2=V7>

故选：C

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，含30。角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾

股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.（-2,4）

【分析】

根据平面直角坐标系中任意一点PG,y）,关于原点的对称点是（-x,-y）即可得出答

案.

【详解】

根据中心对称的性质，点P（2,-4）关于原点中心对称的点的坐标为（-2,4）.

故答案为：（-2,4）.

【点睛】

题目主要考查中心对称的坐标变换，解题的关键是熟知点在坐标系中中心对称的特点.

12.y=3（x+2）2-5##y=3x2+12x+7

【分析】

根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【详解】

解：将抛物线夕=3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2.

答案第5页，共18页

再向下平移5个单位为：y=3(x+2)2-5.

故答案为：y=3(x+2)2-5

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

13.y

【分析】

列表得出所有等可能结果，从中找到两次摸出的球所标数字之和为正数的结果数，再根据概

率公式求解可得.

【详解】

或画树状图如解图:

开始

第一个球

第二个球-2

和-5

由列表或画树状图可知共有12种等可能的结果，两个小球上所标数字之和为正数的有6种,

则摸出两个小球上所标数字之和为正数的概率是纭=，.

【点睛】

答案第6页，共18页

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;

解题时要注意此题是不放回实验.

14.2^--—

2

【分析】

由旋转的性质可知=C1=C4,可得是等边三角形，ZDCB=60°,

NBDC=90。,进而可求BC,CD,8。的值，根据“影=S弱形8cBi-S4BCD，计算求解即可.

【详解】

VZABC=30°,AC=2,：.50=273.

由旋转的性质可知NC/8=60°=N4，CA=CA]f

・・・△/C4是等边三角形，

.・.Z,ACA,=60°,

/.ZJCD=30°,

・•・ZDCB=60。,

：.NBDC=90。,

,CD=-BC=y[3,

2

:.BD=3,

S阴影=S扇形8c遥-S^BCD

60〃

3602

故答案为2%-述.

2

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形，扇形的面积等知

识.解题的关键在于对知识的灵活运用.

答案第7页，共18页

-25

15.3或一

7

【分析】

设CD=BH=x,由勾股定理求出8c的长度；A。"H为直角三角形时分别讨论N，”F=90。和

NFDH=90°,由/尸=/C,利用正弦三角函数和正切三角函数建立方程求解即可；

【详解】

解：设CD=BH=x,

在R.UABC中由勾股定理得：BC=ylAC2+AB2=762+82=10>

则。〃=10—2x,

由旋转的性质可得：DF=CD=x,NF=NC,

若△£>"为直角三角形，

NDHF=90°时,smZF=^-=~~~—=sinZC=—,解得尸”(符合题意)；

DFx107

/尸。〃=90。时，tan/Q—=10_2x=tanZC=-,解得x=3(符合题意)；

DFx6

故答案为：3或亍25

【点睛】

本题考查旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用三角函数值建立方程是解题关

键.

16.(1)1-^/3；(2)4；(3)占=&+石，x2=42-45.

【分析】

(1)代入特殊角的三角函数值，然后进行计算即可；

(2)设［=?=：=，*0,得到x=2f,y=3t,z=4f,代入后计算即可；

234

(3)按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可.

【详解】

国军：(1)sin300+cos60°-tan450-tan60°

=---1-----1Xy/3

22

=1—y/3.

(2)设

答案第8页，共18页

/.x=2tfy=3r,z=4tf

.x+2y-z

「2x-y

_2t+6t-4t

4/—3t

=4.

(3)/_2岳-3=0，

・4=1,b=-,c=-3,

AA=/?2-4ac=(-2V2)2-4x1x(-3)=20>0,

.-b±yjb1-4ac2>/2±2-75

••x=-------------------=---------------'

2a2

X]=-J?.+V5,x2=5/2—y/5.

【点睛】

考查了特殊角的锐角三角函数，换元法求代数式的值，公式法解一元二次方程等知识，熟练

掌握方法是解题的关键.

1o

17.(1)见解析；(2)y

【分析】

(I)由BA=BC,BD±AC,得至Ij/8DC=9O°,ZA=ZC,由DELAB,得至ljNOE/=N8DC=90。，

由此即可求解；

ApAD6q

(2)由三线合一定理可以得到4>OC=6,由相似三角形的性质可以得到====弓=，

CDBC105

由此即可求解.

【详解】

解：(1);BA=BC,BD±AC,

：.ZBDC=90°,ZA=ZC,

,：DELAB,

：.NDEA=NBDC=90°,

:.AAEDs/\CDB；

(2)'：BA=BC,BDLAC,

：.AD=DC=6,

'：AAEDs/XCDB,

答案第9页，共18页

.AE_AD_6_3

*CD-SC_10-5

AE=-CD=—

55

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌

握相关知识进行求解.

18.283m

【分

由题意知NO=C£>BD=AD-AB=CD-85m,在R9CD中，ZBCD=90°-Z.CBD=35°,

tan/8CO=岩，可得Cntan35°=C£>-85,计算求解即可.

【详解】

解：由题意知/。45。，ZCBD=55Q,AB=85,

在RtAJCO中，ZACD=NCAD=45°,

AD=CD.

'：AD=AB+BD,

；.BD=AD-AB=CD-85m.

•.,在RtZ\8C。中，ZBCD=90°-ZCBD=35°,tanZBCD=—

CD

.♦.8tan350=8-85,

85

.cP-“283,

••1-tan3501-0.70

“大玉米”的高度约为283m.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形的应用.解题的的关键在于找出线段之间的数

量关系.

答案第10页，共18页

19.(1)y=--；(2)x<—2或0<x42；(3)点P的坐标为(0,6)或(0,-6)

X

【分析】

(1)将/的横坐标代入必=-二》，得到/的纵坐标，求出力的坐标，把/的坐标代入%=工

即可得到人的值：

(2)先求出C点坐标，再根据图像即可求出解集；

(3)点8的坐标为(-4,0),点N的坐标为(-2,3),求出S/O8,再根据△力。尸的面

积求出O0的长即可.

【详解】

解：(1):正比例函数y=的图象经过点4,且点力的横坐标为-2,

二点/的纵坐标为34点坐标为(-2,3).

反比例函数y=&的图象经过点”(-2,3),

X

.\3=—.

-2

；・k=-6.

...反比例函数的解析式y=".

X

3

y=-^x(

(2)联立｛1,解得x=2，

X

；.C点坐标为(2,-3).

由图可得当乂>为时，x的取值范围为xM-2或0<x42；

•e•=3义20P—OP,

答案第11页，共18页

...OP=6,

...点P的坐标为（0,6）或（0,-6）.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数图象的交点坐标是解题的关犍.

20.⑴见解析

【分析】

（1）连接OP,CP与0O相切于点P,得到NOPZ）+NCPF=90。，OP=OD,得到

ZOPD=ZODP,又NODP+NCPF=900,由已知QD_L48,得到/DE/=90°,

NODP+NDFE=90°,故ZCPF=NDFE,即可求证；

（2）先证明4P为。。的直径，由勾股定理得==4,再证明△的s△陋,

CFAF1S

得至4芸=笠，求得CP=；，即可求得CF的长.

CPAP2

（1）

证明：如图1,连接OP,

ffll

TCP与。。相切于点P

...AOPC=90°

NOPD+NCPF=90。

'：OP=OD

二ZOPD=NODP

：.NODP+NCPF=90。

"：OD1AB

：.NDEF=90°

答案第12页，共18页

NODP+/DFE=90°,

：./CPF=Z.DFE,

又「NCFP=NDFE,

：.ZCFP=ZCPF；

(2)

图2

BP//ODtODVAB,

：./PBA=90。,

：.力尸为。。的直径

・.・0E=3,DE=2,

/.OA=OD=3+2=5,AP=2OA=10

•*-AE=NO#-OE2=4

VZOEA=ZCPA=90°fNOAE=/CAP,

：.AOEAS&CPA,

•.一,R|J一~~,

CPAPCP10

解得：CP=2，

2

V/CFP=/CPF

：.CF=CP=".

2

【点睛】

本题考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是一道难

度适中的综合题，熟练掌握上述知识是解题的关键.

21.(l)y=-2x2+70x+1500(0<x<50)

(2)20元

答案第13页，共18页

(3)当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元

【分析】

(1)根据题意，列出V与x的函数关系式；

(2)将数据代入(1)的函数关系式中，即可得到结果；

(3)应用二次函数的性质，判断出最值.

(1)

(1)y=(50-x)(2x+30)=-2x2+70x+1500(0<x<50),

答：了与x的函数关系式为y=-2x2+70x+1500(04x<50).

(2)

2)当y=2100时,-2x2+70x+1500=2100,

整理得X2-35X+300=0,解得%=15，X2=20.

♦.•要尽快减少库存，，玉=15不合题意，舍去，，工二？。.

答：每件商品降价20元时，商场每天盈利可达到2100元.

(3)

(3)^=-2x2+70x+1500=-2(r-17.5)+2112.5,

'：a=-2<0,抛物线开口向下，V有最大值.

当x=17.5时，丁最大=2112.5.

答：当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，及最值的判断；根据题意准确写出二次函数的表达式是解题

的关键.

13

22.(1)顶点对称轴为工=1；(2)\<m<—

4

【分析】

(1)根据题意将点(0,-3),(3,0)代入解析式中，待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)根据题意作出图象，平移直线卜=工+机可知，当直线位于4,4时，与新图象有三个交

点，则位于这两直线之间的直线与新图象有4个不同公共点，分别求得切的值，进而求得〃?

答案第14页，共18页

的取值范围.

【详解】

(1)•••抛物线y=%+6x+c经过点(0,-3),(3,0)

J-3=c

[o=9+36+c

\b=-2

解得“

[c=-3

y=x2-2x-3=(x-1J-4

，顶点(1,-4),对称轴为x=l

(2)翻折后的新图象，如图所示，

h

y=-x^+2x+3(-l<A:<3)

平移直线歹=工+机可知，当直线位于4,4时，与新图象有三个交点，则位于这两直线之间的

直线与新图象有4个不同公共点