湖南省2023届高三月考（六）数学试题（带答案）

雅礼中学2023届高三月考试卷（六）

数学

命题人：刘一波审题人：张鎏

得分:______________

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量

120分钟，满分150分.

料第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

L若复数（2+ai）（l+i）的实部和虚部相等,则实数。的值为

A.-1B.0C.1D.2

2.命题“VR,>一2彳+4<0”的否定为

A.VzGR,/-2z十4>4B.VzGR.f—2a，+444

戴£

C.三才GR，I2—2>r+4>0D.3J-R•^r2—2i+4>0

3.已知向量。=（4,3）"=（1,4）,。=（2,1）,且（2。一3匕）_1原则实数4=

915

怒A.B.0C.3D.

4.已知a/GR.则“1<b<a”是“a-1>16—11”的

鼐

A.必要不充分条件B,充分不必要条件

m至C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在△ABC中,AC=V^,BC=/I^,cos4=竺，则△ABC的面积为

0

A.-|B.5C.10D.印

6.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封

放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封.则不同的方法共有

辂A.12种B.18种C.36种D.54种

卦7.设双曲线，一Al（a>0"〉°）的左、右焦点分别为为坐标

原点.以BK为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF,为直径

的圆与直线PF,相切.若IPB|=8,则双曲线的焦距等于

A.6s/2B.6C.372D.3

8.已知m,n为实数，八z)=e「一〃?？十〃一1,若/(彳)>0对zGR恒成立,

则'的最小值是

A.-1B.0C.1D.2

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.已知满足cV/)Va且acVO,则下列不等式恒成立的是

A.3B,七卫>0

aac

/22

C.->—D.£^<0

ccac

10.如图，在三棱柱ABC-Aic中，侧棱AA|_L底面

ABC,AA1=2,AB=BC=1,/ABC=9O°,三棱柱外

接球的球心为。.点E是侧棱83上的一个动点.下

列判断正确的是

A.直线AC与直线C.E是异面直线

B.AE一定不垂直于AG

C.三棱锥E-AA4)的体积为定值

D.AE+EG的最小值为2&

11.设函数/⑺在R上存在导函数/'(才)，对任意的彳GR有/(1)+

/(一7)=/,且在10,+8)上/"&)>1,若/(2-a)+2a>/(a)+2,

则实数〃的可能取值为

A.-1B.0C.1D.2

12.已知直线Z：cos0*x+sin0•y+3sin9+cos6—5=0,则下列说法正确

的是

A.直线I一定不过原点

B.存在定点P,使得点P到直线/的距离为定值

C.点M(0,-3)到宜线I的最小值为276-3

D.若直线/分别与z轴,？轴交于A,3两点，则(龙的周长可以等

于12

答题卡

题号123456789101112得分

答案

第H卷

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(2—才)(1-3X>的展开式中的系数等于.(用数字作答)

14.点M(3,2)到抛物线C：j/=52(a>0)准线的距离为4,则实数a=

15.若正整数m满足10"'IV2512Vl0%则m=.(1g2^0.3010)

16.在△ABC中，AB=3,sinB=m•sinA(m22),则△ABC的面积最大

值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列匕”｝的各项均为正数.S”为其前〃项和.对于任意.满

足关系&=2%-2.

(D求数列｛斯｝的通项公式;

⑵设数列也｝的前〃项和为T”，且仇=八1求证:当心4时,

总有T„<^.

18.(本小题满分12分)

已知函数/'(①)=cos2(/+奇),g(jr)=l+ysin2彳.

-L乙乙

(1)设直线7=加是函数y=/(i)图象的一条对称轴，求以死)的值;

(2)求函数GO)=/'(jr)+g(i)的单调递增区间.

19.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面AB。。是边长为2的菱形,NA3C=

60°,PA±PB,PC=2.

(1)求证:平面平面ABCD；

(2)若PA=P氏求二面角A-PC-。的余弦值.

20.（本小题满分12分）

为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某

村种植一种草莓.并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里,收到了很好

的经济效益.根据资料显示，产出的草莓的箱数］（单位:箱）与成本y

（单位:千元）的关系如下：

13467

y56.577.58

»与才可用回归方程7+G（其中3/为常数）进行模拟.

（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的

利润是多少元.（利润=售价一成本）

（2）据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的

箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.

一个运输户拟购置〃辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果,

一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每趟最多只能装载40箱该水

果•满载发车,否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元;若

未发车•则每辆车每天平均亏损200元.试比较〃=3和〃=4时.此

项业务每天的利润平均值的大小.

参考数据与公式:设/=lg”则

55

X（Z,—z）（3»,—y）S（。—7尸

73f

i=\r=l

0.546.81.530.45

线性回归直线&=〃g中石=

O4080120160200箱数

21.（本小题满分12分）

如图•椭圆G：4+月=1（。>6>0）和圆G：/+y2=〃，已知圆c将

crIT

椭圆G的长轴三等分,椭圆C,右焦点到右顶点的距离为3—2匹，椭

圆G的下顶点为E.过坐标原点。且与坐标轴不重合的任意直线/与

圆Cz相交于点A,B.

（1）求椭圆6；的方程；

（2）若直线EA.EB分别与椭圆G相交于另一个交点为点P.M.求证:

直线PM经过定点.

22.（本小题满分12分）

已知函数/（①）=/—"，g（z）=lnJC.

⑴当a=l时，求证•g（x）;

（2）设厂Cr）=/（7）+g（以产），若对任意的。£（1，2），总存在

4，1］，使不等式厂（网）〉晨1一/）成立,求实数£的取值范围・

■乙」

雅礼中学2023届高三月考试卷（六）

数学

命题人：刘一波审题人：张鎏

本试卷分第I卷（选择《£）和第H器（牛选择期）两部分•共10瓦时局120分钟，满分130分.

第I卷

一、选择题:本题共8小地，每小Sg5分，共10分.在每小履给出的四个选项中，只有一项是符合鹿

目要求的.

】.若亚数(2-ai)U+i)的实部和虚部相等•则实数”的值为(B)

A.7B,0C,1D.2

2.命照“VTSR,尸一2l+4•0”的否定为(C)

A.V，£K・/2x+34RV.r£R・/2x+4<4

4

C.ITSR.J-2x”4X)D.2JT•4X)

3.Ll短向或0=*.3).5=(1.$)・。=(2,1),且(2。-3八，部则实数6=(C)

A.B.0C.3D.y

I.已知“MSK.则“是“a—l>g—的(B)

A.必要不充分条件R充分不必要条件

G充要条件D.既不充分也不必要条件

2Va+机

【斛析】因为“一I>1办一I—1—aV〃1<alr

所以当IVYa时皿-1>|6—I成立.

当u-l>人一11成立时.），取/r-：.a-2.此时lVb<a不跟立.

所以“IVYa”是，一1>,一1|”的充力不必要条件.故选K

5.在△ABC中.AC-/5./K-710,cosA-.WIAAZK'的面枳为（A）

A.IH5a10D.季

【解析】由AC4,枚、怖.执'AHJ^A（X-2AC-AH•awA.AH:~L4B-30.解得

AH-5.^isin/JJl-cos^A.itSgX5X/一.故选A.

J434

6.将标号为1.2.3.4,5,6的6张卡片放人3个不同的信封中•若抄个信封放2张，其中标号为1.2

的卡片放人间•信时•财不同的方法共有（B）

A.12种RI8种C.36种11.54种

【解析】标号1.2的卡片放人同一附传有（；一3科•方法,其他四张卡片放人两个信*.每个信封两张

敝学试题（修礼施）11

'7

卡片有A・A-6种方法.共有3X6-18计.故选R

7,没双曲线1苫1储>0.忙>0)的左、右焦点分别为凡.E.()为坐标除点.以RF：为直径的胤

a1tr

与双曲线的行支交于。点,H以OF：为直航的阳与直线PR相切•若PF,=8.则双曲线的焦

距等于(A)

A.6/2H6C.3&1).3

【解析】如图•不妨或点？在第一机偃・逢接PF一依黑4如PF」PF：,设以[

OF：为直径的图与真线"E相切于点N.国心为M.连桂NM.«1、M，PFi.

因此RtAPF.F^RtANF.M.所以一|“入厂1•解得y<LA*

VI-,由勾殴定理可阳PFI—、IF.FJT'^TPFI-，⑵>一停了-

1・〃.所以V-8.得，，3J2.故双1曲线的绿距为6/2.故连儿

•5J

8.t_!,知加."为实数J(.r)—<"，一,"-「+〃一】.若/(上)>0对/£R恒成立•则”的依小值是(B)

"1

A.1B.0C.1I).2

【解析】/(])=——“11I/'(/)=L—/〃•

当冲40时恒成立•则/(.r)单调递增•/(*»()不恒成立.

当〃00时./6《一8」!1/“)时・/")<0,的41人力单词递成MS(ln小，»8)时./G)>0,国

ft〃.r)单调通地.

：•/(x)・*=/(Inm)=mmln，〃+〃1・

V/(,r)/0恒成JL•，，〃mlnmYn120.

/•n^mhimm*-1♦

•n.mlnm-，力+1।.I.

••2=»Inmt】,

mfnm

令/i(〃n=lnm—^一1•m；*0•

m

//(m)--k在区间(0.1)上单调避减,在区间(1・+、)上单词递增.

mnrnr

：.h(m)nu,-h(])-Q.故选K

二、选择题：本题共】小题，短小题；分，共20分.在每小18给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得,；分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知a",.c满足cVYaRauVO.则下列不等式忸成/的是(ABD)

儿6>£>0匚柠>"D、ivo

aacccac

It学试题(修礼线)12

】0.如图.在三校注ABCA出。中.侧校AA」底面ABC.AAL2・A3-HC

一l./AB(-90,，三楼柱外接球的球心为”,点E是侧梭B以上的一个动

点.卜列判断正确的是(ACD)

A.克线AC与直戊gE是片面直线

KAE-•定不垂自于Ag

C.三棱惟£AA")的体枳为定值

D.AE+EC的最小侑为2&

【解析】对于A.因为点.AW平面BBGC.ACR'E,所以交线人(’与壶线。£是异面北线•故A

正碉；

时于B.A|E_LAB1蚊AE_4面ABC：•府戌AiEJ_AC.itB错畏,

甘于C.球心O是真线Ag.AC的交点.底面(MA面积不支.直段3从〃平面AA”.所以点E

到底面距舄不叟.体糕为定值.故C正确；

时于1)・将短彩AA,Bdi和褪寿84CC展开到一个平面内.当点E为.4('与8性交点时.AE+

£门取得最小值2y/2.故D正璃.故选ACD.

11.设函数人才)住K上存在今函数/(])・对任意的i£R有/(l>+，(一1)一二.||.在M+a

上/(工>>]・若/(2-G」为>/(公+2.则实数。的可能取向为(AB)

A.-1KOQ1D.2

1解析】八,「)+/(—r>(一^~一。，奴工)=/《工>一多=<(.，)为寿鼻

敕・上20时./(/)=，(l)l>0".*(上)在区间[0,+c，)上单刑递增.

由分函数，性质知》=*《I)=/《工》二在R上单调遽增.

原不等式可以更给为/<2-«)--2^>；>/(a)-y->2-a>a->a<1.故选AR

£•£»

】2.已知|![线/，《>“・工+sin0•y+34n0+<w5Ho.则F列说法正确的是(ABD)

A.在线,一定不过原点

K存在定点产・使得点P到1*1线/的距寓为定值

C.点M(0・一3)到在线/的最小值为2、后-3

D.若在线/分别。/轴,j轴交于A・3两点，则△八。〃的周氏可以等于12

【*析】取/=0.丁二0♦即3stn/bcozQ3-0无解.A项正确，令点P(x.y)•

4I•小+血空*±怨?七-"51.令一

-0汨0>Z(/HrNwj•

为定值・B，。正确；由B可知克理/为圆〃：CrID2(yf3>一25的切段Me-

RIMH=4.(/错谩：在都H上取一点(3・0)作切线.记为八(3l)(.rM)I

(0+3)(y+3)=25・/：Lr+3NI2.A(3.O>.B(O.D.C^MB12・D项正碉.故选ABD.

敕学试题(修礼版)-13

答题卡

题号123456789101112

答案BCCBAB\BABD/\CDABABD

第II卷

三、填空题：本题共I小题，每小题3分.共20分.

13.（2一］）（1一山厂的展开式中・丁的系数等于120.（用数字作答）

II.点M（3・2）到抛物战gy=aIa>0）准线的距离为4.则实数a-|•

【收析厂・•点M（3.2）到极物段Gy=aM（a»）泡线的距为为I.，2+，=1.・•・a=；.

15.若正整数m满足10-y“yg则/«=155.（1g2*0.3010）

16.住中.八8-3.sinBnt•sin八（E22）.则/MBC的面枳最大值为3.

【解析】曲正弦定理］sinB-m•sin，〃•a.以及段A/，所隹it我为/n•以AH的中点。为

坐标原点建立平面直角坐标系.则.4（-:J.o）.川;・o）.r《i・.v）.可以求出点c的轨连方程.且可

化为二'+、：：：：”+：一仇由此肛如点r的轨法是以（2：：」；），0）为《1心•以，一〃jt］为

半径的田.所以当做c在圆上运动时.点（•利/用的最大距鸟为事径，一5^.所以八八/1的面

家5—［乂3）<3~7—?x'〒在,”2上单调连发.所以S“LUx」-r=3.

，”-1/1IOI

m一—2一不

mZ

四、解答题：本题共6小国,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应胃出文字说明、证明过

程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列a"的各项均为正数•利为北前”项和,对于（1意nW、，,涓足关系5.2a.-2.

（1）求数列U的通项公式:

⑵设数列”的前”项和为T..II乩（kJ声求证:当“24时•总有T.V1|.

【解析】《1）YS・=24-2（"W、），①

:•SJ-2«・_L2《42,”£N・）,②....................................................】分

①②♦捋凡=2.加公1（〃22.”£、•）♦

•••”・力0.；・4=2（“22.”€、.）.

%•

即it列”是不比就列.........4分

**»ii—S|»*»ui—2a>一2.即U）—2.

敕学试题（修礼版）-14

5分

（2）证明：•.•对任意正如it”•总有心一7分

・・・多〃"I时…Twi+Z+I+----------(Jl)n

..1.11111611761

1I93In1/;36rt、36"

18.（本小满分12分）

已知函数/5）—cos?（i-三），41）-1+4七in2.r.

（1）设直线上=，是函数y=/（i）图象的一条对称轴.求的值，

（2）求函数力（1）=八］>+g（r）的单调递增K问.

【解析】⑴由题设如/（工…3J-2*（21+/：.

因为直我1一工，是函数》一/（，）图象的一条•时林轴，所以2i+1A**£Z）.

t>

即2J■严"

o

fff«(.r.»)-1-**1sinZt*1+1MII(kn：)・

441O

当k为倜盘时.屋4)7+[in卜f)^1-44-

4、b44

与k为奇做时《(公)—1+4sin：—1+J—.........................6分

£,O44

(2)ft<x>=/(x)4-g(x)=r\1-cos(2_r—彳)]+1+1sin2x

-9[«»(214-)sin2J:一；(、,cos2.rf；sin2x)♦j

-1sin(2JT+；)+J.

与2—:2J+：、；2Ax-z),即停rgir+/aez)时.

4w4I£It

函数人力二枭武匕十等)+,是地图4t•一..一..—

Cil(

故的做做］）的单调遽增区间是12分

，乙，乙，

19.（本小题满分12分）

如图.四核锥PAHCD中.底的八段'/）是边长为2的菱形.

ZABC-60°,PA1PB,PC=2.

（】）求证：平面PAHL平面AUCDi

（2）若/X/"，求.面向APCQ的余弦值.

敕学试题（修礼版）-15

【解析】(1)证明：取A3中点O.连持AC.CO.PO,

•・•四边形八状7)是边长为2的更形M-2,

丁/A*=60\.\AABC是等边三角形.

；・a)lAb.OC-6・

VPA±Pli,：.P()=1AB=1.

,.•PC-2.Af)r•.,.CIOIPO.

•••AbD/">-()・・・.(Y)斗面PAH,

YOJC*面AUCD./.平面PAB平面ABCD..................................................................6分

(2)7PAPB,O为AB的中点.AP(XLA«.

曲(1)%.平面？八3,牛而AHCD,平面PAHD平面AliCD=AB.

工网)_1_平面八BCD.

/.iiilOC.OB.OP两两电机

.•.以()为原义虚立空间贪角也标系()」3y.如图.

H(XO.O.O).A(O.1,0)./«(),1.0).(X^3.0.0).IK^,2,0)J*(0.0.1).

.,.AP-(0.1.D.PC-F.0.-1),Zx*=(0.2.0).

该平面IPC的法向"为0=(Z,»,z),

ni•AP=O.|3»4-Z=0.

曲一得取上=1•得加=(1,内.43).

m•PC-0・!V3JS-0.

般平面PCD的法向量为“=(i.y・：)・

"•P(0./3x—彳=0・

由4_»得一取1=1,得M=(1・0・、/3),

n•D('-0,2>-0,

•••COS〈/»».1«>=一•处

m•n]7

由图可乐二面角A-PC-D为税二面角.

.・.二面角APC/)的余弦值为?J.................................................................................12分

20.(木小圈满分12分)

为战制中共中央、国务院2023年号文件.某常位在当地定点用扶票村种植种草花,并把这

种蹋天种植的禁侮搬到「大幅中.收到了很好的经济效益.根据资料M示.产出的Q海的箱数，

(单位，箱)与成本y(单位，千元)的关系如下।

.r13467

y56.577.58

y与.r可用回归力样z卜黄其中为常数)进行模拟.

敏学试题(!!!礼簸)-16

（1）7；农户支出的饭簟电的价格为150元箱.试他测该水果100箱的利润是多少元.（利润一位

价一成本）

（2）据统计.1月份的连续16天中农户海天为甲地可配送的该水

果的箱数的媒率分布直方图加图•用这16天的情况来估计相

应的概率.一个运输户拟购黄”辆小货车G门运输农户为甲

地配送的该水果•一辆货车每天只能达背一附•每辆车每图被

多只能装我40箱淡水果•满故发乍.否则不发乍.柠发车•则

每辆车每趟可获利500元;若未发车,娟M辆车川天平均亏损

200元.试比较”-3和n-l时.此项业务倔天的利润平均值的大小.

参考数据与公式:设，一小八则

tyT“y—3)，)'

0.546.81.530.45

'(，.•一i)(yy)

线性同日出线j'=Alg.r+«中.〃=~~~;-----------、a.yT»I.

S

Z37》(yW....

【解析】(1)根据题毒出—3—一：；；？2分

S(r,-7)«0,45

所以G-.yA/-6.83.4X0.54-1.%4,

所以3.4/+1.964.

叉,一IRI♦所以0-3.4值i+4.964............4分

所以工=100时.夕=6.8+4.964—11.764(千元).

即读水果100箍的成.本为11764元.

故该水果100箱的利河150()011764=3236(元).6分

（2）根据X率分布克方图•可知试农户专天可配送的试水果的覆教的概率分布表为:

箱微[40.80)[80.120)[120,160)[)60.200]

1111

8T28

谩谆运嫌户由3科车和*4场车时每天的利洱分别为、1・丫元.

射Y的可能取值为1300.800.100.其分布列为e

1500s，：，100

511

P

818

敕学试题（修礼版）-17

故E(K)-JX1500+!x8004-^X100-1150................................................................................9分

o4o

y：的可能取值为2OOO.13OO.6OO.100,其分布列为：

20001300600-100

111

P1

8248

E(y,)-'X2000\X1300I!X6001JX(-lOO)-1037.5............................................11分

0440

轴不重件的任意宜线/与憾C相交于点八・凡

(1)求确黑仁的方程：

(2>9直线兄1.EB分别与椭圆G相交于另一个交点为点P.M.求证।在线PM经过定点.

【解析】(1)依题意・2。一!・加.如“一3尻

W

：・c=VVT=2族.乂«-c=3-2,2，：.b1.则a=»3.

工椭团a的方作为:+y-i...................................................................................................................5分

(2)由题意知宜HIPE.ME的斜率存在且不为。.谈皮伐PE的耕率为人财皮我kj1.

.„/世9贮一八

8分

二・人8为国G的兑径.点上:在我「