河南省安阳市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题、含答案

2023届高三毕业班第一次模拟考试

数学(理科)

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合4={》|一24%42},3={y|y=3'-l,xeR},则AB=()

A.B.[-2,+oo)C.[-1,2]D.(-1,2]

1+2/-

2.己知复数z=二'，则z在复平面内所对应的点位于()

l-2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知函数/1)满足：①对任意不马£(°，”)且玉。电，都有/区)二,3)>0；②对定义

%一々

域内任意“，都有/(1)=/(-x),则符合上述条件的函数是()

A./(x)=x2+|x|+lB./(x)=--xC./(x)=ln|x+l|D,f(x)=cosx

X

什1+cosacmc•/x

4A.右-----=3,则cosa-2sina=()

sina

22

A.-1B.1C.——D.-1或——

55

5.已知等比数列{〃〃}中,4=1,%+。5=6,则6+%=()

A.12B.10C.12A/2D.672

6.执行下图所示的程序框图，若输入〃=0.99,则输出的n=()

A.6B.7C.8D.9

7.如下图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是()

的视用

371

A.4+27cB.4H—7ic.4+乃D.4+-

22

8.在边长为。的正三角形内任取一点尸,则点尸到三个顶点的距离均大于3的概率是（）

2

A.11-2B.1-<C,1D

12663-;

9.已知｛%｝为等差数列，S〃为其前几项和,若%+7=2%，则无=（）

A.49B.91C.98D.182

】。.已知函数人般皿甘，要得到g*）=8SX的图象，只需将函数⑺的图象（）

A.向右平移三个单位B.向右平移工个单位

63

C.向左平移生个单位D.向左平移三个单位

36

2

X

11.已知的,鸟分别是椭圆=1（。>/?>0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且

PF]（OF]+OP）=0（。为坐标原点），若|PGI=3|Pg|,则椭圆的离心率为（）

A.76-73B.星叵C.76-75D.

22

pxr<（）1

12.已知函数/（%）=<',（e为自然对数的底数），则函数尸（幻=/[<（x）]-4/（x）-l

Jlnx|,x>0e

的零点个数为（）

A.8B.6C.4D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（X--!产）6展开式中的常数项为________.

2y/x

y>0

14.己知向量。=（2,3）,b=（x,y）,且变量满足,yWx，则z=a・b的最大值

x+y-3<0

为.

15.已知43为圆C:V+y2-2y=0的直径，点P为直线y=x—1上任意一点，则

|PA5+1P8『的最小值为.

16.在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过

的空间的体积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知在AABC中，内角所对的边分别为a,b,c,且满足a+2a8sB=c.

(I)求证：B=2A；

(II)若A4BC为锐角三角形，且c=2,求。的取值范围.

18.某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50

天，统计发现每天的销售量x分布在［50,10)内，且销售量x的分布频率

。-0.5,10K10(”+1).为偶数

/«=10

------a/0〃4x<10(n+l),"为奇数

120

(I)求。的值并估计销售量的平均数；

(H)若销售量大于等于70,则称该日畅销，其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机

抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分

布列及数学期望(将频率视为概率).

19.如下图，在空间直角坐标系。-型中，正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶

点A,B,C分别在x轴，y轴，z轴上.

(I)求证：CD//平面。4B；

(II)求二面角C—AB-。的余弦值.

20.如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线4：y=x与直线4：y=-x之间的阴影部分记为

W,区域卬中动点P(x,y)到44的距离之积为1.

(])求点P的轨迹C的方程；

(H)动直线/穿过区域w,分别交直线44于A8两点，若直线/与轨迹c有且只有一个公

共点，求证：铝的面积恒为定值.

2x22

21.己知函数/(x)=-+eJ,g(x)=3elnx,其中e为自然对数的底数.

ex

(I)讨论函数/(%)的单调性.

(II)是否存在实数a,匕，使/。)2分+82g(x)对任意xe(0,+oo)恒成立？若存在，试求出

的值；若不存在，请说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】

V-1_1__f

设直线/的参数方程为2，(f为参数)，若以直角坐标系X0V的原点。为极点，x轴

y=r+l

的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

/?sin2，=4cosd.

(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；

(II)若直线/与曲线C交于A,8两点，求|AB|.

23.【选修4-5：不等式选讲】

已知函数fix')=|x+1|+a|2x-l|.

(I)当“二』时，若/(工)2,+,(〃2,/7>0)对任意恒成立，求m+〃的最小值;

2mm

(H)若/(x)习4-2|的解集包含[-1,2],求实数。的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:DCACA6-10:CDBBD11、12：AB

二、填空题

15_IS___22%

13.—14.—15.616.32H----

1623

三、解答题

17.(I)a+2acosB=c,由正弦定理知

sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

即sinA=cossinB-sinAcosB=sin(B-A).

因为AIKO/),

所以B—Ac(—肛乃)，且A+(g—A)=Be(0,i),所以A+(3—4)。乃，

所以A=B—A,B=2A.

(II)由(I)知/4=巨，C=7T—A—B=7C-^-.

22

BTV

0<—<—

22

由AABC为锐角三角形得,o<B〈工，

2

八3B冗

22

得三<Bv三.

32

,2

由。+加cos3=2得。=---------£(1,2).

l+2cosB

18.【解析】(I)由题知P°〃*50解得54〃49〃，

10(«+1)<100

〃可取5,6,7,8,9,

--0.5,10〃Vx<10(〃+1),〃为偶数

代入〃x)=[l°中，得

—-1On<x<10(??+1),〃为奇数

(---0.5)+(----0.5)+(—―〃)+(----〃)+(----〃)=1,6Z=0.15.

1010202020

销售量在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,

销售量的平均数为55x0.1+65x0.1+75x0.2+85x0.3+95x0.3=81.

(II)销售量在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2:3:3,所以各组抽取的天数分别为

2,3,3.

X的所有可能值为1,2,3,且

P(X=3)=^^=!|£，

199

P(X=2)=1---------.

282814

X的分布列为

X123

P199

281428

19916

数学期望£X=]J+2x=+3x=—

2814287

19.【解析】(I)由AB=3C=C4,易知。4=O3=OC.

设Q4=a,则AB=&“，A(a,O,O),8(0,〃,0),C(0,0,a),

设D点的坐标为(x,y,z),则由ZM=O3=£)C=0a,

可得。一々)2+y2+z2=尢2+(y_〃)2+z2=/+丁2+Q—々)2=2",

余举得x=y=2=a

所以CO=(aM,0).

又平面。钻的一个法向量为OC=(0,0,4),

所以CO-OC=0,所以CD//平面Q4B.

(II)设尸为AB的中点，连接CQOF,

则C户，AB,DF±AB,NCFD为二面角C—AB—。的平面角.

由(I)知，在△CTO中，CF=DF=42ax—=—a,CD=®,

22

222

则由余弦定理知cosZCFD=C-F---+--D--F----C-D-=一I，即二面角C一AB-。的余弦值为L1

2CFDF33

D

20•【解析】(I)由题意得与亚.叵/=1,|(x+y)(x—y)|=2.

J25/2

因为点尸在区域W内，所以x+y与同号，得(x+y)(x-y)=x2一J?=2,

9?

即点P的轨迹C的方程为三-匕=1.

22

(H)设直线/与x轴相交于点。，当直线/的斜率不存在时，|0。|二五，\AB\=2V2,得

SAOAB-^\AB\-\OD\^2.

当直线/的斜率存在时，设其方程为y=卮+m,显然左片0,则。(-',0),

k

把直线/的方程与。:一一丁=2联立得伏2一］口2一2A如+/+2=0,

由直线/与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4A：2加-4(产-1)(*+2)=0,

得〃/=2(公一］)>。，得2>1或女〈一1.

If同i与

设5(%,火)，由，

LilcL八〜，,1,m„inm,,m2,公

所以邑0钻=3l00ly-%I=TIvll-j―r-77rl=l--RI=2.

22k\-k1+K\-k

综上，八。3的面积恒为定值2.

21.【解析】(I)/(幻=虫—£■=£?,令/(力=0得x=4.

ex'ex~v4

当x<=且xwO时，/'(x)<0；当时，/'(x)>0.

x/4V4

所以/(X)在(YO,0)上单调递减，在(()，,)上单调递减，在(京,+00)上单调递增.

(II)注意到/(e)=g(e)=3e,则ae+/?=3e,b=3e-ae®.

于是,ax+h>g(x)即a(x—e)-3e(l—\nx)>0,iCh(x)=a(x—e)+3e(l—Inx),

h\x)=a--(x>0),

x

若a«0,则"(x)<0,得"(%)在(0,+8)上单调递减,则当时，Wh(x)<h(e)=0,不合

题意；

若a>0,易知林r)在(0,年)上单调递减，在(应,+00)上单调递增，

aa

得h(x)在(0,4w)上的最小值/?(—)=3e(2-In—)-^e>0.

aa

记m(a)=3e(2-In—)-ae,则m\a)=-----e,得m(a)有最大值m(3)=0,即m(a)<m(3)=0，

aa

又tn{a}>0,故a=3,代入①得匕=0.

当a=3/=0时，f(x)>ax+h即

2x2/2x3—3ex2+/~__3、八

------1—23x------------------N0(x>0)2x3—3er2+cN0.

3xex

记夕(x)=2/一3ex?+/,则夕(x)=6x(x-e),得以x)在(0,+oo)上有最小值°(e)=0,即

(p(x)>0,符合题意.

综上，存在Q=3,Z?=0,使/'(幻20¥+〃2抵工)对任意工£(0,+00)恒成立.

22.【解