导数与微分21导数的概念22函数的和差积商的求导法则23复合函数的求导法则24隐函数的导数25初等函数的导数﹡26导

第二章导数与微分2.1导数的概念2.2函数的和、差、积、商的求导法那么2.3复合函数的求导法那么2.4隐函数的导数2.5初等函数的导数﹡2.6导数的经济定义2.7高阶导数2.8函数的微分湖南教育出版社下页2.1导数的概念1.导数的定义2.导数的几何意义3.可导与连续的关系首页上页下页2.1导数的概念1.导数的定义例1：求变速直线运动的瞬时速度.设物体作变速直线运动，它的运动方程取从时刻到这段时间间隔，时间的增量为，物体运动路程的增量为瞬时速度v，即可定义首页上页下页2.1导数的概念例2：求曲线切线的斜率.如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.设曲线C所对应的函数为其中是割线MN的倾斜角.首页上页下页2.1导数的概念定义1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处有增量Dx〔点x0+Dx仍在该邻域内〕时，函数有相应的增量如果当

时，两个增量之比的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作：首页上页下页2.1导数的概念即此时，也称函数y=f(x)在点x0处具有导数，或导数存在。如果上述极限不存在，那么称函数y=f(x)在点x0处不可导，如果极限为无穷大，这时函数y=f(x)在点x0处不导，但为了方便，也称函数y=f(x)在点的导数是无穷大。首页上页下页2.1导数的概念注意

上述导数的定义式还有以下几种常用的形式：可以看到，在导数的定义中，比值首页上页下页2.1导数的概念例3：求函数f(x)=x2在点

x=x0处的导数.解：给自变量x在x=1处以增量△x,对应函数的增量是两个增量之比是对上式两端取极限，得首页上页下页2.1导数的概念定义2如果函数y=f(x)在区间I内的每一点x都有导数,那么称函数y=f(x)在区间I内可导,这时,对于区间I内每一点x,都有一个导数值f’(x)与它对应,因此f’(x)是x的函数,称为x的导函数,记作即首页上页下页例4设

,求：解于是2.1导数的概念首页上页下页2.1导数的概念用定义求导数，可分为以下三个步骤：〔1〕求增量给自变量x以增量△x，求出对应的函数增量〔2〕算比值计算出两个增量的比值〔3〕取极限对上式两端取极限首页上页下页例5

求函数f(x)=c(c为常数)的导数.〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取极限即2.1导数的概念解首页上页下页例6求函数f(x)=x3的导数.解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取极限2.1导数的概念首页上页下页2.1导数的概念例7

求函数y=sinx的导数.〔2〕算比值〔3〕取极限即首页上页下页例8求函数的导数.解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取极限即特别地，当a=e时，lne=1,那么2.1导数的概念首页上页下页例9

2.1导数的概念令那么即解〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕取极限首页上页下页2.1导数的概念2.导数的几何意义首页上页下页2.1导数的概念例10求曲线在点〔2，8〕处得切线方程和法线方程。解在点〔2，8〕处的切线斜率为所以，所求切线方程为所求法线斜率为于是所求法线方程为首页上页下页定理3.可导与连续的关系如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么它在点x0处一定连续.注意上述定理的逆定理是不成立的.例如，函数在x=0连续但不可导，因为于是有2.1导数的概念首页上页下页2.2函数的和、差、商的求导法那么1.函数和、差的求导法那么2.函数积的求导法那么3.函数商的求导法那么首页上页下页2.2函数的和、差、商的求导法那么1.函数和、差的求导法那么定理1如果函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，那么函数f(x)=u(x)+v(x)在点x处可导，且由此可得函数和差的求导法那么：两个可导函数的和〔差〕的导数等于这两个函数导数的和〔差〕.例1求的导数.解首页上页下页2.2函数的和、差、商的求导法那么例2设，求解定理2如果函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，那么函数f(x)=u(x)v(x)在点x处可导，且由此可得函数积的求导法那么：两个可导函数积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数.2.函数积的求导法那么首页上页下页2.2函数的和、差、商的求导法那么例3求的导数.解例4求的导数.解例5求的导数.解首页上页下页定理32.2函数的和、差、商的求导法那么如果函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，且那么函数f(x)=u(x)/v(x)在点x处可导，且由此可得函数商的求导法那么：两个可导函数的商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方.3.函数商的求导法那么首页上页下页2.2函数的和、差、商的求导法那么例6求函数的导数.例7求函数的导数.解首页上页下页2.2函数的和、差、商的求导法那么例8求函数的导数.即

解类似地，可以求得余割函数的导数公式首页上页下页2.3复合函数的求导法那么定理如果函数在点x处可导，而函数在对应点处可导，那么复合函数在点x处可导，且其导数为由此可得函数商的求导法那么：两个可导函数的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.复合函数的求导法那么也称为链式法那么，它可以推广到多个变量的的情形.首页上页下页2.3复合函数的求导法那么例1求函数的导数.解例2求函数的导数.解首页上页下页2.3复合函数的求导法那么例3求函数的导数.解例4求函数的导数.解首页上页下页2.3复合函数的求导法那么例5求函数的导数.解例6求函数的导数.解首页上页下页2.3复合函数的求导法那么例7

求函数的导数.解例8证明幂函数的导数公式：证首页上页下页2.4隐函数的导数我们把由方程所确定的函数叫作隐函数.例1求由方程所确定的隐函数的导数解自变量x和函数y之间的函数关系用明显的表达式给出的函数,叫做显函数.利用复合函数的求导法那么，方程两端同时对x求导数,得在方程中，将y看作x的函数，那么是x的复合函数.首页上页下页2.4隐函数的导数例2求由方程所确定的隐函数的导数解方程两端对x求导数，得例3求椭圆在点处的切线方程.解所求切线斜率为方程两边对x求导,得首页上页下页2.4隐函数的导数将代入上式，得于是所求切线方程为即例4求幂指函数的导数.解

两边取对数，得两边对x求导，得先取对数,再利用隐函数的求导法求导的方法叫做对数求导法.对数求导法首页上页下页2.4隐函数的导数例5的导数.解例6求函数的导数.解两边取对数，得两边对x求导数，得首页上页下页例7求函数2.4隐函数的导数的导数.解两边对x求导数，得首页上页下页例8求函数的导数.解类似地，可求得2.4隐函数的导数两边对x求导数，得首页上页下页2.5初等函数的导数1.导数的根本公式2.函数的和、差、积、商的求导法那么3.复合函数的求导法那么首页上页下页2.5初等函数的导数1.导数的根本公式首页2.5初等函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法那么3.复合函数的求导法那么首页上页下页例1设，求解例2设，求解2.5初等函数的导数首页上页下页2.5初等函数的导数例3设，求解例4设，求解首页上页下页﹡2.6导数的经济意义1.边际分析2.函数的弹性首页上页下页﹡2.6导数的经济意义1.边际分析一般地,设函数可导，那么导数叫作边际函数.本钱函数的导数叫作边际本钱，收入函数的导数叫作边际收入，利润函数的导数叫作边际利润.“平均〞“边际〞首页上页下页例1某产品生产x个单位的总本钱C为x的函数求:〔1〕生产1000件产品时的总本钱和平均单位本钱〔2〕生产1000件产品时的边际本钱解〔1〕生产1000件产品的总本钱为每件产品的平均本钱为〔2〕﹡2.6导数的经济意义首页上页下页﹡2.6导数的经济意义例2某企业每月生产的总本钱C〔千元〕是产量x〔吨〕的函数如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润.

解首页上页下页2.函数的弹性定义设函数可导，函数在x处的增量为，自变量的增量为，那么比值分别称为在点x处函数y的相对改变量及自变量x的相对改变量.当时，两个相对改变量之比的极限﹡2.6导数的经济意义首页上页下页﹡2.6导数的经济意义表示在点x处函数y的相对变化率,称为函数y=f(x)在点x处的弹性,记作经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性.例3某部门对市场上某种商品的需求量Q与价格P之间的关系进行研究后，建立了下面的函数关系试求在、、2〔元〕的价格水平下，需求的价格弹性.首页上页下页﹡2.6导数的经济意义解首页上页下页﹡2.6导数的经济意义例4某商品的需求函数为〔1〕求需求的价格弹性.〔2〕讨论当价格为多少时，需求是单位弹性、低弹性和有弹性的？解〔1〕〔2〕首页上页下页2.7高阶导数如果函数的导函数仍然可导，那么我们把的导数叫作函数的二阶导数，记作即一般地，的阶导数的导数叫作的阶导数，分别记作首页上页下页例1求函数(a,b,c,为常数)二阶导数.解对依次求导，得例2设，求解2.7高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.首页上页下页例3证验证函数〔C1,C2为常数〕的二阶导数满足关系式例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数解2.7高阶导数首页上页下页例5求的阶导数.解一般地，可得例6解求的阶导数.2.7高阶导数一般地，可得首页上页下页例7求的阶导数.解例8求(为任意常数)的阶导数.解一般地，可得2.7高阶导数一般地，可得首页上页下页例9物体作直线运动的方程是(都是常数),求物体运动的加速度.解2.7高阶导数速度加速度首页上页下页2.7高阶导数例10物体运动的方程为，其中都是常数。求物体运动的加速度.解首页上页下页2.8函数的微分1.微分的定义2.微分的几何意义3.微分公式与微分运算法那么4.微分在近似计算中的应用首页上页下页2.8函数的微分1.微分的定义定义设函数在点处可导，那么叫作在点处的微分，记作此时，也称函数在点处可微.例1求函数当，时的增量及微分.解即微商首页上页下页2.微分的几何意义的纵坐标对应于的增量.2.8函数的微分

PTNM〕函数在点的微分就是曲线在点处的切线首页上页下页3.微分公式与微分运算法那么

I.微分的根本公式2.8函数的微分首页上页下页II．函数的和、差、积、商的微分法那么2.8函数的微分其中u，v都是x的