一维波动方程的有限差分法

#学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学院数统年级2013专业班信计02班学生姓名学号开课时间2015至2016学年第2学期总成绩教师签名数学与统计学院制

实验项目名称一维波动方程的有限差分法实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师曾芳成绩是开课学院、实验室：数统学院实验时间：□□□□□□通过该实验，要求学生掌握求解一维波动方程的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。2016年2016年6月20日考虑如下的初值问题:Su(X,0)=sin兀x,一u(X,0)=0⑴St1.在第三部分写出问题（1）三层显格式。2.根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。3.取h=0.1,T=0,1h，分别将t=051.0,152.0时刻的数值解画图显示。4.该问题的解析解为u（X,t）1.在第三部分写出问题（1）三层显格式。2.根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。3.取h=0.1,T=0,1h，分别将t=051.0,152.0时刻的数值解画图显示。4.该问题的解析解为u（X,t）=cos兀tsin兀X，将四个时刻的数值解的误差画图显示，对数值结果进行简单的讨论。□□□□□□□□□□□□□、步骤、三层显格式建立由于题中h=0.1,t=0.1h,xe(0,1),te(0,2),取N=10,M=200，故令网比r=T=0.1,

hx=>h,j=0,1,2,10,t=k-t,k=0,1,,200,在(x,t)内网个点处，利用二阶中心差商得jkjk到如下格式：……

uk+1-2uk+uk-1()uk一2uk+uk()Tjj—+O12)=[j+jH+O\h2/略去误差项得到:TOC\o"1-5"\h\zT2h2略去误差项得到:uk+1=r2uk+2G-r2)uk+r2uk-uk-1

jj+1jj-1j其中j=1,2,9,k=1,2,,199，局部截断误差为o12+h2)o对于初始条件u(x,0)=sin兀x，建立差分格式为：••••••/Xu0=sinLx)=sin(兀jh),j=0,1,2,10对于初始条件〜G,0）=o,利用中心差商，建立差分格式为:j=j=0,1,2,10u1-u-1Tj-=0,即u1=u-12Tjj对于边界条件u(0,t)=u(1,t)=0,tG[0,2]，uk=uk=0,k=0,1,0N建立差分格式为:,200将差分格式延拓使k=0为内点，代入（）得到的式子再与（）联立消去♦♦♦1（）1u1=r2u0+\1—r21u0+r2u0j2j+1j2j-1（）u-1后整理得到:j综上（）、（）、（）、（）得到三层显格式如下：（局部截断误差为o（T2+h2））r2uk+2(1—r2)uk+r2uk-uk-1,j=1,2,9,k=1,2,,199j+iu0二j+iu0二

j1sinLx)=sin(兀jh),j=0,1,2,.10ju1=—r2u0+j2j+1uk=0(1u1=—r2u0+j2j+1uk=0uk=0,k=0,1,,200...N其中r=—=0.1。h四口实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件三层显格式程序如下：一维波动方程，三层显格式求解法计算时刻的值

定义边界上的数值定义边界上的数值迭代计算开始差分格式计算行的数值解度赋值于划分网格度赋值于划分网格作出图像作出数值解的函数图像数值解的函数图像变量变量值作出精确解的函数图像精确解的函数图像变量变量值作出0.时刻的绝对误差图像,变量作出时刻的绝对误差函数图像绝对误差值时刻的数值解函数图像,变量当然也可以作出时刻的数值解函数图像值绝对误差的函数图像绝对误差的函数图像变量变量绝对误差值□□□□□□□□□□□1、u(x,t)在t=0.5,1.0,1表5,2.0时刻的数值解、精确解以及绝对误差在时刻的数值解时刻U时刻的数值解表在时刻的精确解时刻U时刻的精确解表在时刻的绝对误差时刻U时刻的绝对误差说明：在时刻的绝对误差最大，时刻次之，与时刻的绝对误差均较小，由于r=L=0.1<1,该格式稳定，由数值计算得到的矩阵不难看出