备战2024年高考总复习一轮（数学）第11章 概率 第3节 几何概型

高考总复习GAOKAOZONGFUXI第3节几何概型第十二章2024内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合具体实例,了解几何概型及几何概型的基本特征,能计算几何概型中简单随机事件的概率.2.根据实际问题构建概率模型,解决简单的实际问题.1.与长度、角度有关的几何概型2.与面积、体积有关的几何概型3.与线性规划有关的几何概型4.与实际生活相关的几何概型5.随机模拟方法1.直观想象2.数据分析3.数学建模4.数学运算强基础固本增分1.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

(2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式:P(A)=

.长度

无限多个

等可能性

微点拨几种常见的几何概型1.与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关.2.与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.3.与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题.2.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法的基本步骤是:①用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率fn(A)=

作为所求概率的近似值.研考点精准突破考点一与长度、角度有关的几何概型(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=

,BC=1,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为

.

规律方法1.与长度或角度有关的几何概型的解法:如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度(或角度)表示,则其概率的计算公式为2.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练1(1)在区间[-1,1]内任取一个实数k,则使得直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点的概率是(

)答案:(1)C

(2)C解析:(1)圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1.要使直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则圆心到直线y=kx的距离(2)∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,∴∠BAC=75°.∵AD⊥BC,∴△ADC是等腰直角三角形,∠DAC=45°,∴∠BAD=30°.∵在Rt△ABD中,AD=,∠BAD=30°,∴BD=1,∴当BM>1时,射线AM需从∠DAC=45°范围内引出,例2(1)一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为

.

(2)如图,△OAB为等腰直角三角形,AO⊥BO,以O为圆心、以OA为半径作大圆O,以AB为直径作小圆.在整个图形中随机取一点,此点取自阴影部分的概率为(

)考点二与面积、体积有关的几何概型解析:(1)三角形ABC的面积为24,该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离小于等于2的区域为如图所示的三角形的阴影部分,规律方法求与面积、体积有关的几何概型的基本思路用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A对应的区域,在图形中画出事件A对应的区域,然后用公式对点训练2(1)(2023河南开封模拟)在边长为4的正方形内任取一点,则该点到此正方形的各顶点的距离大于1的概率为(

)(2)已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于

的概率为

.

考点三与线性规划有关的几何概型答案:B解析:不等式组表示的平面区域为△ABC,△ABC内阴影上的点到三角形的三个顶点的距离均大于1,规律方法几何概型与线性规划的交汇问题的解法:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练3(2021全国乙,理8)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于

的概率为(

)答案:B

考点四与实际生活相关的几何概型例4(2022江西九江二模)2021年3月,教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,明确学生睡眠时间要求,高中生每天睡眠时间应达到8小时.若高一学生小明每天的睡眠时间在7小时至10小时之间随机分布,则他连续两天平均睡眠时间不少于8小时的概率是(

)答案:D规律方法生活中的几何概型度量区域的构造方法(1)审题:通过阅读题目,提炼相关信息.(2)建模:利用相关信息的特征,建立概率模型.(3)解模:求解建立的数学模型.(4)结论:将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.对点训练4甲、乙约定晚上七点在某校门口见面,甲晚上七点准时到了门口,此时,乙打电话告知甲路上出现堵车状况,至少要过20分钟才能到.甲决定等乙半个小时,超过半个小时乙还未到就离开,若乙在晚上七点五十之前一定能到,则两人能见面的概率为

.

解析:由题意可知,甲在校门口等乙到7点30分,乙最早到校门口的时间为7点20分,最晚到校门口的时间为7点50分,有30分钟,故两人能见面的时间段为7点20分到7点30分,有10分钟时间,所以两人能见面的概率为考点五随机模拟方法例5从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(

)答案:C

解析:如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含圆弧边界),n个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,规律方法将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比约等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.对点训练5“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,