极值点偏移问题6

极值点偏移问题(6)泰勒展开(本质回归)杨春波(高新区枫杨街郑州外国语学校，河南郑州450001)这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明，如下左图为极小值点x左偏，右图为极小值点X右偏.极值点发生偏移，直观表现为函数图象在极值点左右两侧(包含极值点x的一个邻域0(x-Ax,x+Ax))的增减速度不同．00如上左图，导函数广(x)(曲线上一动点(x,f(x))处切线的斜率)一直在增加，但增加得越来越慢；如上右图，导函数f'(x)也一直在增加，但增加得越来越快.一阶导数f'(x)增加的速度(快慢)用什么来表示(刻画、衡量)？用二阶导数f"(x)的大小来表示(类似于加速运动中速度增加的快慢由加速度的大小来决定样)．左图中，广(x)增加即f(x)单调递增，得f"(x)>0；f(x)增加得越来越慢，则f"(x)的绝对值越来越小，又f(x)>0，故f"(x)单调递减.右图中，f(x)增加即f(x)单调递增，得f"(x)>0；f(x)增加得越来越快，则f(x)的绝对值越来越大，又f(x)>0，故f"(x)单调递增.二阶导数f"(x)的单调性用什么来表示？当然是三阶导数f(x)的正负！左图中，f(x)<0;右图中，f"(x)>0.于是，极小值点的偏移方向(左偏还是右偏)可用三阶导函数f"(x)的正负(符号)来判定——若f"(x)<0，则极小值点左偏；若f"'(x)>0，则极小值点右偏.同样的分析，可以知道极大值点的偏移方向也可用三阶导数f"(x)的正负来判定，结

论是：若f'"(x)<0，则极大值点右偏；若f'"(x)>0，则极大值点左偏•过程交给读者,提醒：分析时应注意f(x)<0.以上只是直观(或者说非常粗略)的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．即当xe(x,x)时,10为了讨论问题的方便，不妨假设区间I上的可导函数y=f(x)满足f(也f(X2)(X1即当xe(x,x)时,10有f'(x)<0；当xe(xQ,x2)时，有f'(x)>0•于是，判断极值点左偏还是右偏，即比较x+x+xx0与亠厂2的大小关系，这可通过广(x+x)的正负得到.k2丿记m=号，将f(xi)和f(x2)分别在x二m处泰勒展开得fff(x)=f(m)+ff(m)(x-m)+ -m)2+ 丿(x-m》,ff112161f(x)=f(m)+广(m)(x-m)+也(x-m)+ (x-m»,222262其中Ee(x,m)，E丘(m,x).1122注意到珥-m=-(x2-m)，且f(xi)=f(I，以上两式相减得x-x\—t—20=f(m)(x-x)+f"(E)+x-x\—t—212即广(m)=—f(E)+f(E)(x-x)即广(m)=—1 —g1 2-68所以，若当xe(x,x)时，恒有f"(x)<0，则f"'(E)<0，fw(e)<0，广(m)>0，1212得m=i宀2>x，即极小值点左偏；若当xe(x,x)时，恒有f(x)>0，同理可得2012f'(m)<0，有m=xi+x2<x，即极小值点右偏.20极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述.至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：f'''(x)<0n极小值点左偏(极大值点右偏)；f"'(x)>0n极小值点右偏(极大值点左偏).注1：从推导过程不难发现，这只是一个充分性判定定理(而非必要)，使用时应注意；注2：此定理直接用来判定极值点的偏移方向’即得到xi+x2与2x0的大小关系’对于x，x的其它不等式的证明或将无能为力．12下面就用这个判定定理再解前面举过的例题．再解例1：f(x)=xe-x，f"(x)=(3—x)e-x；若x>3，贝yx+x>max{x,x}>3>2；若x<3，贝yf"(x)>0,极大值点x=1左偏，有1212x+x>2.12再解例2：f(x)=(x-2)ex+a(x一1)2,f"'(x)=ex(x+1)；若x<-1，由f(2)=a>0知，可设x<-1<x<2，则x+x<2；若x>-1，则f"‘(x)>0，极小1212值点x=1右偏，有x1+x2<2-再解例4：(2)f(x)=ex-ax，f"'(x)=ex>0，则极小值点x0右偏，有x1+x2<2x0；TOC\o"1-5"\h\z(3)h(x)=x一lnx，h"'(x)=——<0，则极小值点x=1左偏，有x+x>2.x3 1 2再解例6：g(x)=xlnx，g"'(x)=— <0，则极小值点x=—左偏，有a+b>—.x2 e e再解例8：f(x)=2lnx一ax，f"'(x)= >0，则极大值点x=左偏，有x3 a446x+x>—，则x+