曲线和曲面造型基础

曲线和曲面造型基础第1页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三2.1微分几何基础1、矢量代数空间三维点P（x1,y1,z1)的矢量表示：2.1微分几何基础第2页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三矢量加法：矢量点乘：

点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。

2.1微分几何基础第3页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三矢量叉乘：2.1微分几何基础叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a和b所构成的平行四边形的面积。第4页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三2、曲线几何曲线的表示方法：

隐式曲线： 显式曲线： 参数曲线：

2.1微分几何基础第5页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三隐式：显式：参数:2.1微分几何基础第6页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三有理多项式参数形式：

以直线PQ与x轴的夹角α为参数：2.1微分几何基础第7页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。2.1微分几何基础第8页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示：2.1微分几何基础第9页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三曲线的性质：速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。2.1微分几何基础第10页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三速率：2.1微分几何基础第11页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三单位切矢：

不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。

单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。

弧长：单位切矢：链式法则：2.1微分几何基础第12页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三曲率：曲率的定义：链式法则后：二维显式曲线y=y(x)

的曲率：2.1微分几何基础第13页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三法矢：主法矢的定义：副法矢：切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。2.1微分几何基础第14页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三曲率半径：定义为密切圆的半径，即2.1微分几何基础第15页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。2.1微分几何基础第16页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三空间曲线的挠率：空间曲线Serret-Frenet公式

：2.1微分几何基础第17页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三3、曲面几何曲面表示的分类：隐式曲面：显式（非参）曲面：参数曲面：或2.1微分几何基础第18页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三参数域上的二维曲线：映射为空间中曲面上的曲线：注意等参线的定义。2.1微分几何基础第19页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三曲面的切矢：2.1微分几何基础第20页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三曲面的法矢：2.1微分几何基础第21页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三2.1微分几何基础第22页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三第一基本式矩阵：切矢的模：切矢：第一基本式矩阵：2.1微分几何基础第23页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三应用：计算曲面的面积单位切矢：2.1微分几何基础第24页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三2.1微分几何基础第25页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三第二基本式矩阵：点乘单位法氏n，有第二基本式矩阵：2.1微分几何基础第26页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三法曲率：点乘单位法氏n，有法曲率：2.1微分几何基础第27页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三法曲率：

2.1微分几何基础第28页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三主曲率：

2.1微分几何基础第29页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.1微分几何基础第30页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三2.2图形变换

在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标—点的坐标变换。

2.2图形变换第31页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三齐次坐标的概念：

2.2图形变换第32页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三齐次坐标下的图形变换：

2.2图形变换第33页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三1、二维变换基本变换

比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。

变换矩阵：2.2图形变换第34页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.2图形变换第35页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.2图形变换第36页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.2图形变换第37页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三2、三维变换基本变换

比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等。

变换矩阵：2.2图形变换第38页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三基本变换

2.2图形变换第39页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.2图形变换第40页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三组合变换

2.2图形变换第41页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.2图形变换第42页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

2.2图形变换第43页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三Bézier曲线的定义为曲线的控制顶点Bernstein基函数2.3NURBS曲线与曲面1、Bézier曲线

2.3NURBS曲线与曲面第44页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三Bernstein基函数的性质非负性权性对称性递推性导数递推性端点处：2.3NURBS曲线与曲面第45页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三非负性权性对称性递推性导数递推性证明：2.3NURBS曲线与曲面第46页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三非负性规范性对称性递推性导数递推性2.3NURBS曲线与曲面第47页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三非负性规范性对称性递推性导数递推性证明：2.3NURBS曲线与曲面第48页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三非负性规范性对称性递推性导数递推性证明：2.3NURBS曲线与曲面第49页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性通过首、末控制顶点2.3NURBS曲线与曲面第50页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性因为所以类似地有：跟首末各一条边有关跟首末各两条边有关2.3NURBS曲线与曲面第51页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性☆曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可以从基函数的权性得到解释。2.3NURBS曲线与曲面第52页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性☆由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。因为颠倒控制多边形顶点的顺序，即则新曲线为：2.3NURBS曲线与曲面第53页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性。☆Bézier曲线的实质是一系列绝对矢量的凸组合（加权组合）。此性质便于确定Bézier曲线的范围。凸包示意图2.3NURBS曲线与曲面第54页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性☆

Bézier曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。2.3NURBS曲线与曲面第55页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性☆是变差减小性的推论。2.3NURBS曲线与曲面第56页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三1、几何作图法2、递归分割算法Bézier曲线的递推定义2.3NURBS曲线与曲面第57页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三用递推算法求出曲线上的一点p(t*)，该点把曲线分为两段Bézier曲线，它们的控制顶点分别如图所示。Bézier曲线的分割2.3NURBS曲线与曲面第58页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三张量积Bézier曲面给定空间点阵bi,j,i=0,1,…,m;j=0,1,…,n。构造张量积曲面：

2.3NURBS曲线与曲面第59页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三B-样条曲线示例。三次均匀B-样条曲线2、B-样条曲线

2.3NURBS曲线与曲面第60页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三1.三次均匀B-样条曲线段其中：2.3NURBS曲线与曲面第61页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三三次均匀B-样条曲线段的端点性质:2.3NURBS曲线与曲面第62页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三☆均匀B-样条曲线的几何性质：直观性。局部性。比Bezier曲线更强的凸包性。保凸性。对称性－－曲线易于反向。与Bezier曲线一样具有几何不变性、变差减小性。2.3NURBS曲线与曲面第63页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三☆讨论几种退化情况：三点共线

四点共线

两顶点重合

三顶点重合2.3NURBS曲线与曲面第64页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三二次均匀B样条曲线：端点性质：2.3NURBS曲线与曲面第65页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三非均匀B样条曲线1.均匀B样条存在的问题2.非均匀B样条基函数的定义:2.3NURBS曲线与曲面第66页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三☆

B-样条基函数的支撑区间为[ui,ui+m+1]2.3NURBS曲线与曲面第67页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三☆节点重复度增加1，支撑区间中减少一个非零节点区间，该节点处的可微性降低1次。例：零阶连续零阶不连续！根据Ck-r连续性的结论，可在B-样条曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。2.3NURBS曲线与曲面第68页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三☆端节点重复度为m＋1时，B-样条曲线具有与Bézier曲线相同的端点性质。☆端节点重复度为m＋1，其它内部节点的重复度均为1，且均匀分布时，称为准均匀B-样条曲线。2.3NURBS曲线与曲面第69页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三次B样条曲面可以表达为：其中，为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。B-样条曲面为张量积曲面。2.3NURBS曲线与曲面第70页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三NURBS——Non-Uniform

Rational

B-SplineBezier方法、B样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。1974，美国的K.J.Versprille以博士论文的形式发表了第1篇有关NURBS的文章，以后L.Piegl

和W.Tiller对NURBS进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。IGES和STEP标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。2.3NURBS曲线与曲面第71页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

学习NURBS重点掌握的问题：1.NURBS的定义2.权因子的意义3.圆锥截线的NURBS表示4.NURBS的各种算法5.各种构型曲面的NURBS表示☺2.3NURBS曲线与曲面第72页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

有理分式表示:其中，wi,i=0,1,…,n为与控制顶点相联系的权因子。w0，wn>0其余wi≥

0。Ni,k为k次规范B样条基函数。2.3NURBS曲线与曲面第73页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三有理基函数表示有理B-样条基函数的性质：局部支撑性质规范性可微性

节点区间内,节点区间上若

，则若，则若，则若，则2.3NURBS曲线与曲面第74页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三齐次坐标表示2.3NURBS曲线与曲面第75页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三NURBS的定义步骤：确定带权控制顶点2.用带权控制顶点定义一条齐次空间中的K次B-样条曲线将齐次空间中的K次B-样条曲线投影到的平面上，得2.3NURBS曲线与曲面第76页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三权因子的几何意义权因子的几何意义示意图共线四点的交比：讨论：权因子对曲线形状的影响2.3NURBS曲线与曲面第77页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三圆锥截线的NURBS表示三段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆2.3NURBS曲线与曲面第78页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三

用如图所示的标准型二次有理Bézier曲线（NURBS的一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确定w1。所以，当w1为任意值时，曲线上的p(1/2)点在mb1的连线上。二次曲线弧的形状因子2.3NURBS曲线与曲面第79页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三对于圆弧，可以证明可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：讨论：负权因子；节点插入；给定控制顶点b0[00]、b1[10]、b2[01]及权因子w0=w2=1,w1=1/2，定义一条平面有理二次Bézier曲线p(u),0≤u≤1.（1）求插入一个节点1/2后，新的控制顶点及相应的权因子；（2）求曲线上参数为1/2的点p(1/2)。习题2.3NURBS曲线与曲面第80页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三NURBS曲面方程：2.3NURBS曲线与曲面第81页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三拟合：2.4曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型中的常用术语

2.4曲线与曲面造型方法第82页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三光顺：2.4曲线与曲面造型方法第83页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三几何连续性：2.4曲线与曲面造型方法第84页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三参数连续性：2.4曲线与曲面造型方法第85页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三几何连续性：2.4曲线与曲面造型方法第86页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三裁剪曲面：2.4曲线与曲面造型方法第87页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三曲面设计：2.4曲线与曲面造型方法第88页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三拉伸：截面曲线确定深度生成拉伸拉伸曲面图2.25拉伸曲面生成过程2.4曲线与曲面造型方法第89页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三拉伸的数学描述：给定母线，驱动方向，驱动距离d，

可构造NURBS列表柱面：其中，2.4曲线与曲面造型方法第90页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三旋转：图2.26旋转曲面生成过程母线旋转轴旋转旋转角度生成旋转曲面2.4曲线与曲面造型方法第91页，讲稿共100页，2023年5月2日，星期三旋转曲面的数学表示：给定母线将上式同圆的NURBS定义