第八章 多元函数的极值及其求法

第八章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值

定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P65).

时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束例4.有一湿宽为蜓2贤4cm的长允方形吐铁板萄,把它语折起傲来做优成解:设折镜起来董的边啄长为xcm,则断宏面面研积x24一个筒断面亏为等脏腰梯铜形的怪水槽馒,倾角解为,积最妇大.为问怎奶样折醒法才抚能使购断面淘面机动逗目悬录掏上页锋下暴页稿返回挂结鱼束令解得干:由题肢意知赶,最梅大值字在定衔义域D内达好到,而在麻域D内只唉有一个帝驻点喜,故此奴点即拾为所酷求.机动透目昆录胃上页州下搬页音返回泄结偿束三、陶条件识极值极值夹问题无条舅件极蔽值:条默件逢极害值陈:条件亩极值陵的求蜂法:方法断1蛾代入梁法.求一辨元函紫数的无坑条件污极值扮问题对自斑变量划只有矮定义麦域限歇制对自夏变量储除定益义域菜限制福外,还有覆其它若条件杆限制例如角,转化机动倍目爬录遇上页嗽下足页兼返回宅结坐束方法拢2济拉格演朗日填乘数颠法.如方碧法瞧1娃所述匆,则问听题等怕价于吐一元取函数可确残定隐细函数的极养值问错题,极值植点必现满足设记例如仅,故故有机动极目宾录届上页凳下垫页扬返回袭结挑束引入捉辅助却函数辅助罗函数F称为磨拉格疯朗日背(La凶gr糟an鲁ge寄)函数赔.利用漏拉格极值筛点必亿满足则极值看点满馅足:朗日傻函数宾求极吃值的割方法猎称为拉格对朗日纯乘数明法.机动滑目功录拨上页衫下社页派返回箱结赢束推广拉格宋朗日依乘数所法可箩推广厘到多葛个自丢变量抽和多醋个约缎束条婚件的比情形逗.设解方土程组可得做到条撒件极筑值的耽可疑鸟点尤.例如住,求函也数下的急极值件.在条障件机动激目广录县上页系下巾页咏返回宪结扒束例5悬.要设异计一短个容吴量为则问妨题为汁求x,y,令解方寨程组解:设x,y,z分别舱表示丧长、广宽、历高,下水塑箱表石面积最小漫.z使在栋条件水箱愿长、苍宽、贺高等血于多姿少时感所用牛材料锅最省透？的长庙方体框开口扒水箱钳,笑试问机动扒目仪录掩上页滥下则页根返回阶结遵束得唯一蜓驻点由题渣意可书知合腥理的由设计羡是存里在的逗,长、哗宽为恳高的音2历倍饮时，遭所用僚材料袄最省皱.因此追,些当坡高为机动浪目购录脊上页拨下辆页冷返回舒结夏束思考用:1)赌当袍水箱水封闭碧时,理长婶、宽忆、高曲的尺联寸如希何?提示芬:利用俊对称傍性可淡知,2)目当行开口胆水箱谷底部日的造店价为姓侧面捧的二渴倍时鸭,愁欲使醉造价最省码,慌应如罢何设贿拉格羞朗日助函数餐?北长、毕宽、撇高尺湿寸如乖何?提示公:长、蜓宽、象高尺锄寸相吐等凶.内容田小结1.狂函筐数的伸极值撑问题第一头步首利报用必艇要条握件在咳定义宴域内制找驻钻点.即解乖方程踢组第二虑步框利老用充掩分条喊件判别逝驻点奥是否评为极注值点事.2.泄函完数的荣条件或极值挡问题(1辜)障简单衫问题爪用代善入法如对魂二元源函数(2充)旦一般挑问题蜘用拉繁格朗困日乘躬数法机动德目假录钱上页物下扮页突返回降结进束设拉樱格朗奋日函障数如求嫂二元版函数下的愚极值樱,解方京程组第二购步物判文别•比较营驻点择及边苹界点摊上函析数值卸的大送小•根据蔑问题叠的实槽际意毅义确净定最园值第一旅步蜓找减目标捉函数光,木确蚕定定鬼义域跨(拐及姐约束踢条件傅)3.必函投数的庙最值秃问题在条白件求驻点扣.机动夜目闹录售上页汪下帽页竞返回碍结遵束已知谣平面搜上两竖定点A(闸1呆,律3窝),B(嘱4雹,净2话),试在揪椭圆圆周虾上求霜一点C,使△AB甩C面积S△最大胆.解答哑提示:设C点坐冲标为条(x,y),思考抗与练掉习则机动返目悼录汗上页障下询页疗返回蒙结篇束设拉旋格朗筹日函俗数解方叹程组得驻集点对应忽面积而比较决可知润,绘点C与E重合讯时,寄三拐角形面积庙最大鹊.点击营图中如任意扰点动画们开始杯或暂僻停机动巾目星录度上页奥下念页夹返回趴结赵束作业P6膏13,卖4仙,甲8,都9荡,辽10习题助课冠目殖录片上页鞭下父页哑返回孤结鼠束备用鸡题1.求半错径为R的圆紧的内焦接三会角形着中面豪积最疲大者.解:设内扔接三角角形选各边禁所对串的圆粉心角嫌为x脆,铲y诉,侮z,则它们叨所对蜜应的能三个锤三角蛋形面埋积分世别为设拉况氏函闭数解方笼程组,妻得故圆辆内接矩正三柄角形北面积刚最大云,宜最训大面巴积为机动