概率随机变量函数

关于概率随机变量函数第1页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:

当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?第2页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性r=0,1,2,…一、的分布第3页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三解依题意

例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.第4页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三r=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.第5页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

例3设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:它是直线x+y=z及其左下方的半平面.第6页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

化成累次积分,得

固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序第7页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:

由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第8页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式第9页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4

若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式也即第10页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三暂时固定故当或时,当

时,当

时,于是第11页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

例5

若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式第12页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三令得可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第13页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三用类似的方法可以证明:

若X和Y独立,

结论又如何呢?

此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.

若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第14页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.更一般地,可以证明:第15页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)第16页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函数由于X和Y

相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)第17页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1,…,n)

用与二维时完全类似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:第18页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有第19页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

例6

设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如下图所示.设的寿命分别为已知它们的概率密度分别为其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.XYXYXY第20页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三XY解(i)串联的情况

由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为因为X的概率密度为所以X的分布函数为第21页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三当

x>0时,当

x0时,故类似地,

可求得Y的分布函数为第22页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三于是的分布函数为=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度为第23页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三XY(ii)并联的情况

由于当且仅当系统都损坏时,系统L才停止工作,所以此时L的寿命为故的分布函数为第24页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三XY于是的概率密度为(iii)备用的情况因此整个系统L的寿命为

由于当系统损坏时,系统才开始工作,第25页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三当

z0时,当

z>0时,当且仅当即时,上述积分的被积函数不等于零.故第26页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三于是的概率密度为第27页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.第28页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三三