第十五讲期末代数复习二生

第十五讲期末代数复习二上海市实验学校王海生【知识框图】—次方程组与一次不等式

组一元一次方程方程：含有未知数的等式叫做方程，所含的未知数又称为元.方程的解：如果未知数的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫这个方程的解.一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.【知识框图】—次方程组与一次不等式

组一元一次方程一元一次不等式(组)不等式用不等号表示的关系式叫做不等式.‡,

£,

<,

>,„不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式的解得全体叫做不等式的解集一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数都是一次的不等式叫做一元一次不等式.【知识框图】—次方程组与一次不等式

组一元一次方程一元一次不等式(组)二元一次方程和方程组二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数次数是一次的方程.二元一次方程组：含有两个未知数，并且未知数次数是一次的方程组.【知识梳理】1、等式和不等式基本性质等式性质

（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立.等式性质

（2）等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为零），等式仍成立.不等式的性质（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号方向不变.如果a

>b,那么a

+m

>b

+m;如果a

<b,那么a

+m

<b

+m.不等式的性质（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变.如果a

>b,且m

>0,那么am

>bm;如果a

<b,且m

>0,那么am

<bm

.不等式的性质（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.如果a

>b,且m

<0,那么am

<bm;如果a

<b,且m

<0,那么am

>bm.去分母；去括号；移项；【知识梳理】2、一元一次方程解法及其依据解一元一次方程的一般步骤：等式的性质（2）乘法的分配律等式的性质（1）化为ax=b(a≠0)的形式；两边同时除以未知数的系数，求出x.等式的性质（2）【知识梳理】3、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；化为ax＞b或ax＜b(a≠0)的形式；两边同时除以未知数的系数，求出不等式的解集.关注两边同时除以这个数是正数和负数【知识梳理】4、二元一次方程组的解法二元一次方程一元一次方程消元加减消元代入消元【典型例题】——基础题例题1

填空题（1）若关于x的方程3

xn+1

-7

=1解由题意得n+1=1则n=0只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.是一元一次方程，则n=

0

。【典型例题】——基础题例题1

填空题

2

（2）已知

-

2

<

1

x

-

1

<

1

,

则

2x

+

4

-

x

-

4

=去绝对值符号就是要判断绝对值符号之间的式子的正负.2x+4和x-4的符号x的取值范围2解：-2

<1

x

-1

<1211x

-

1

<

12

x

-

1

>

-2解得：x

<

4

x

>

-2所以x的取值范围-2

<x

<4【典型例题】——基础题例题1

填空题

2

去绝对值得符号就是要判断绝对值符号之间的式子的正负.2x+4和x-4的符号x的取值范围2解：-2

<1

x

-1

<1-

4

<

x

-

2

<

2-

2

<

x<

4由x

<4得x

-4

<0由x

>

-2

得

2

x>

-4

2

x

+

4

>

02

x

+

4

-

x

-

4

=

2

x

+

4

-

4

-

x)=

3

x反思当求含有两个不等号的不等式的解集，我们可以把这个不等式写成不等式组的形式再解答，也可以利用不等式的性质直接解答.（2）已知

-

2

<

1

x

-

1

<

1

,

则

2

x

+

4

-

x

-

4

=

3

x

【典型例题】——基础题例题1

填空题x的值是非负数先求x,用含有后a的式子表示解：2a

-3

x

=6-

3

x

=

6

-

2a3x

=

2a

-

6因为x的方程2a-3x=6的解是非负数3解得a

‡2所以2a

-6

‡0（3）如果关于x的方程2a-3x=6的解是非负数，则a的取值范围是

a

‡

2

.【典型例题】——基础题例题2

解方程1)30%

2

x

-

1)+

20%

x

+

5)=

250

·

25%先去百分号方程两边同时乘以100解：30

2

x

-

1)+

20

x

+

5)=

250

·

253

2

x

-

1)+

2

x

+

5)=

25

·

256

x

-

3

+

2

x

+

10

=

6258

x

=

6184x

=

77

1【典型例题】——基础题例题2

解方程(2)

x

-

0.15

-

0.7

x

=

10.3

0.02先化分母为整数依据是分数的基本性质3

2-

=

110

x

15

-

70

x分子与分母乘以10分子与分母乘以100保持不变20

x

-

3(15

-

70

x)

=

620

x

-

45

+

210

x

=

6230

x

=

51x

=

51230解：反思去百分号与去分母相同，依据是等式性质，因此方程两边都要乘以同一个数；分母化为整数依据是分数的基本性质，因此只要分子与分母同乘以一个数即可.不是方程组的解的形式【典型例题】——基础题例题3

解方程组z

=

6所以

y

=4

x

=

2

x

:

y

=

1

:

2

①

y

:

z

=

2

:

3

②

x

+

2

y

+

3z

=

28

③解由①得x

=1

y由②得2z

=

3

y291代入③得2

y

+2

y

+2

y

=28所以y

=4则x

=2,y

=4,z

=6.x

:

y

:

z

=

1

:

2

:

3x

=

k,

y

=

2k,

z

=

3k.则k

+4k

+9k

=2814k

=

28k

=

2【典型例题】——基础题例题4

已知a>b,判断下列不等式是否一定成立.1)a

+

c

<

b

+

c

在已知不等式的两边同时加上c，根据不等式的性质，不等号的方向不变.一定不成立2)-

2a

>

-2b在已知不等式的两边同时乘上-2，根据不等式的性质，不等号的方向改变.一定不成立(3)ax

2

>

bx

2不一定成立在已知不等式的两边同时乘上x2x2有可能大于零，也有可能等于零。当x≠0时，不等式成立当x=0时，不等式不成立反思利用不等式的性质在不等式的两边同时乘以或除以同一个数时，我们要关注这个数的符号，当这个数是正数时不等号方向不变，当这个数是负数时，不等号的方向应该改变.的解集.

2

例题5

已知x=3是关于x的方程x

-

a

-

2

=

x

-

1

的解，3

5

求关于x的不等式

2

-a

x

<1方程的解，即使的方程成立的未知数的值.确定a的值解：因为x=3是方程的解，则3

-

a

-

2

=

3

-

12即3

-a

=42解得a

=-53所以不等式转化为：3

x

<19解得x

<1【典型例题】——提高题【典型例题】——提高题例题6互为相反数，则x和y的值是多少？（1）若x

+y

-2和x

-y

+1x

+

y

-

2

+

x

-

y

+

1

=

0x

+

y

-

2

=

-

x

-

y

+

1x

+

y

-

2

‡

0,

x

-

y

+

1

‡

0x

+

y

-

2

+

x

-

y

+

1

‡

0非负数的和为零，则这些非负数分别为零.x

+

y

-

2

=

0,

x

-

y

+

1

=

0

x

-

y

+

1

=

0

x

+

y

-

2

=

023

2

y

=

x

=

1【典型例题】——提高题例题6相等，则x和y的值是（2）若x

+y

-2多少？和x

-y

+1x

+

y

-

2

=

x

-

y

+

1互为相反数.2y

=

32有理数.

有理数.2当x

=1

,y是任意有理数或y

=3

，x是任意有2理数时x

+y

-2

=x

-y

+1两个数的绝对值相等，则这x

+y

-2

=x

-y

+1或x

+y

-2

=y

-x

-1两个数相等或x是任意的或

x

=

1

y是任意的求a+b+c.【典型例题】——提高题例题7

若关于x,y的二元一次方程组cx

-

10

y

=

11ax

+

by

=

2的解是

y

=

1

，小明由于看错了系数c,解得

y

=

-2

x

=

3

x

=

43c

-

10

=

11解：由题意得3a

+b

=2这个方程组中含有三个未知数第一个方程

x

=4式是正确的

y

=-2是方程ax+by=2的解.

y

=

-2

x

=

4又因为是方程ax+by=2的解.则4a

-2b

=2所以得到关于a,b的方程组为4a

-2b

=23a

+

b

=

2解得c=7b

=

0.2a

=

0.6解得所以a

+b

+c

=7.8【典型例题】——提高题例题8

某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车。（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（1）解：设每名熟练工人和新工人每月分别可以安装x辆、y辆电动车，根据题意，得：2

x

+

3

y

=

14解得

y

=

2

x

+

2

y

=

8

x

=

4答：每名熟练工人和新工人每月分别可以安装4辆和2辆电动车。【典型例题】——提高题例题8

某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。生产每开名始熟后练，工调人研和部新门发工现人：每1月名分熟练别工可和以2安名装新工4辆人和每2月辆可电安动装车8辆电（动汽2）车如；2果名熟工练厂工招和3聘名n新名工新人每工月人可，安装使14得辆招电动聘汽的车新。工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？解：设工厂抽调m名熟练工人安装电动汽车，则48m+24

n=240n=10-2m因为n是正整数，所以m最大是4，因为m是熟练工人数，所以m是正整数所以，工厂有4种新工人的招聘方案，招聘新工人：8名，或6名，或4名，或2名m1234n8642【典型例题】——提高题解当m越大时，W越小所以符合题意的m、n的值是：m=4，n=2W=2000m+1200n

=2000m+1200(10-2m)=12000-600m例题8

某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发

1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？n=10-2mn2468m4321【典型例题】——拓展题例题9(1)

当m为何值时，关于x,y的方程组3

x

+

4

y

=

m

+

3的解满足x<0,y>0.2

x

+

3

y

=

m解：3

x

+

4

y

=

m

+

3

(2)先解关于x,y的方程组2

x

+

3

y

=

m

(1)(1)

×3－(2)

×2y

=

m

-

6把

y

=

m

-

6

代入

(1)得x

=

9

-

m因为x<0,y>0则9-m<0,m-6>0则m>9根据x,y的符号确定m的取值范围.如果这个方程组的解满足xy>0,则m的取值范围是什么？【典型例题】——拓展题的解满足xy>0例题9(2)

当m为何值时，关于x,y的方程组3

x

+

4

y

=

m

+

32

x

+

3

y

=

m先解关于x,y的方程组解：y

=

m

-

6,

x

=

9

-

mxy>0x>0,y>0或x<0,y<0m

-

6

>

0m

-

6

<

09

-m

>0

或9

-m

<0m

>

6m

<

9m

<

6m

>

9无解或6

<m

<9

或根据x,y的符号确定m的取值范围.6

<

m

<

9如果这个方程组的解满足x+y>0,则m的取值范围是什么？【典型例题】——拓展题例题9(3)

当m为何值时，关于x,y的方程组3

x

+

4

y

=

m

+

3的解满足x+y>02

x

+

3

y

=

m根据x,y的符号确定m的取值范围.x

+

y

=

m

-

6

+

9

-

m

=

3当m为任意有理数时，x+y总是正数.