(新高考)高考数学一轮复习过关练考点04 指数、对数、幂函数（含解析）

考点04指数、对数、幂函数考纲要求考纲要求了解幂函数的概念，掌握常见的幂函数的图像；理解指数函数的概念，以及指数函数的图像与性质。会用指数函数模型解决简单的实际问题；理解对数函数的概念及其性质，了解对数函数的换底公式，理解对数函数的性质，会画对数函数的图像；近三年高考情况分析近三年高考情况分析指数函数、对数函数作为一类特殊的函数，在江苏高考中往往作为一种载体与其他函数结合考查，重点考查与指数、对数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式等知识点的综合，难度往往较大。幂函数在江苏高考中的要求较低，近几年江苏高考中还没有涉及，在平时的复习中可以适当的关注考点总结考点总结在高考复习中要注意以下几点：①要善于用指数函数的图像和性质，研究指数函数的单调性，对于这类问题考查的热点是对含参的讨论。在有关根式的变形或者求值的过程中，要善于用转化的思想和方程观点处理问题；②研究对数问题尽量华为同底，另外对数问题中要注意定义域的限制，充分对对数函数的概念、图像、性质讨论一些与之有关的复合函数的限制；③对于与指数函数、对数函数有关的综合体现要善于运用数形结合的思想以及等价转化的思想，注意与其他知识点的结合。三年高考真题三年高考真题1、（2020年北京卷）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（）．A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，在同一直角坐标系中作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象如图：两函数图象的交点坐标为SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集为：SKIPIF1<0.故选：D.2、（2020年全国1卷）若SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以C、D错误.故选：B.3、（2020年全国2卷）9.设函数SKIPIF1<0，则f(x)（）A.是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 B.是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减C.是偶函数，且在SKIPIF1<0单调递增 D.是奇函数，且在SKIPIF1<0单调递减【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，关于坐标原点对称，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定义域上的奇函数，可排除AC；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，排除B；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，D正确.故选：D.4、（2020年全国2卷）若SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A正确，B错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.5、（2020年全国3卷）4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K为最大确诊病例数．当I(SKIPIF1<0)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则SKIPIF1<0约为（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.6、（2020年全国3卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】由题意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用作商法以及基本不等式可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，综合可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系.【详解】由题意可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0.故选：A.7、（2020年天津卷）.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.8、（2020年山东卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：SKIPIF1<0描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为SKIPIF1<0天，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0天.故选：B.9、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知SKIPIF1<0，则A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．故选B．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．10、（2019年高考天津理数）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选A.11、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知SKIPIF1<0，则A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．故选B．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．12、（2019年高考天津理数）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选A.13、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知SKIPIF1<0，则A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．故选B．14、（2019年高考天津理数）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选A.15、（2020年江苏卷）7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，SKIPIF1<0，则f(-8)的值是____.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0二年模拟试题二年模拟试题题型一、指对数比较大小例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题,因为SKIPIF1<0单调递减,则SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0单调递减,则SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0单调递增,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选：A2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系：SKIPIF1<0．故选：B.3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小顺序是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选A.4、（2020届山东省济宁市高三上期末）若SKIPIF1<0,则()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<05、（2019年北京高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由指数函数的性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由对数函数的性质可知SKIPIF1<0，据此可得：SKIPIF1<0.本题选择D选项.6、（2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，是增函数.因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是奇函数，所以有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，是增函数，所以SKIPIF1<0，故本题选D.7、（2020届河北省衡水中学高三年级小二调）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即.SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.故选：B.方法总结：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数递增；当SKIPIF1<0时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数递增；当SKIPIF1<0时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.题型二：指数、对数函数的运用例1、（2020届河北省衡水中学高三上学期七调）设SKIPIF1<0为奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意SKIPIF1<0.故选：A.2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】∵函数SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0的解析式最有可能是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】选项B、D的函数定义域为SKIPIF1<0，和图象不匹配，错误；选项C函数SKIPIF1<0为减函数，和图象不匹配，错误；选项A函数SKIPIF1<0的定义域为R，且为增函数，正确.故选：A4、（北京海淀区一零一中学2019-2020学年度上学期高三开学考）已知函数SKIPIF1<0，则直线y=x+1与曲线SKIPIF1<0的交点个数为_____；若关于x的方程SKIPIF1<0有三个不等实根，则实数a的取值范围是_____.【答案】一个SKIPIF1<0【解析】（1）函数图象如图所示：（注意：x=0取不到）又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，所以交点个数为SKIPIF1<0个；（2）关于x的方程SKIPIF1<0有三个不等实根⇔SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象有三个交点.如图所示：当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，设切点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时共两个交点，将SKIPIF1<0图象下移时只有有一个交点；将SKIPIF1<0图象上移时，有三个交点；直到当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象刚好两个交点，当SKIPIF1<0图象上移时只有2个交点，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象有三个交点.故答案为：一个；SKIPIF