第讲 立体几何中的向量方法一-证明平行与垂直

考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第6讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直概要课堂小结判断正误(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．()夯基释疑考点突破证明

∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.xyz考点突破设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.xyz令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，∵PB⊄面EFG，∴PB∥平面EFG.考点突破即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.xyz∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.考点突破规律方法

(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．考点一利用空间向量证明平行问题考点突破证明

如图，连接OP，∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC，∴PO⊥面ABC，∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴BO⊥AC．所以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)．由题意，得G(0，4，0)．考点一利用空间向量证明平行问题【训练1】如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；xyz考点突破设n＝(x，y，z)为面BOE的法向量，考点一利用空间向量证明平行问题【训练1】如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；xyz令z＝4，得y＝3.所以平面BOE的一个法向量n＝(0，3，4)．又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.考点突破考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】(2015·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上．已知BC＝8,PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC．证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．xyz考点铜突破考点叹二利用称空间烫向量刑证明鲁垂直兼问题【例2】(2叫01巾5·济南栋质检)如图荡，在暴三棱狭锥P－AB巩C中，AB＝AC，D为BC的中圾点,PO⊥平面AB牧C,垂足O落在野线段AD上．布已知BC＝8,PO＝4，AO＝3，OD＝2.灰(1酸)证明怪：AP⊥BC；(2厕)若点M是线勉段AP上一醒点，汗且AM＝3.试证喜明平凶面AM收C⊥平面BMC．(2宅)由(1救)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且嫁点M在线王段AP上，xyz又根众据(1驾)的结尚论知AP⊥BC，∴AP⊥平面BM来C，于枪是AM⊥平面BMC．又AM⊂平面AM琴C，故伤平面AM敏C⊥平面BC润M.M考点赢突破规律雪方法(1杜)利用娱已知岂的线具面垂滴直关盈系构垫建空嘉间直鸽角坐型标系描，准扎确写鬼出相役关点延的坐丛标，裂从而需将几怕何证织明转差化为裁向量闹运算浮．其吃中灵希活建言系是客解题饶的关晶键．(2角)其一疫证明贼线线脸垂直工，只染需要牙证明红两条闪直线的的方劈燕向向的量垂柔直；概其二逐证明孔线面鼓垂直抵，只塑需证恩明直词线的烘方向贼向量坚与平穴面内尖不共湿线的宪两个蛛向量怕垂直蓄即可贞．当絮然也期可证俭直线梦的方若向向诱量与秋平面屑法向旅量平旦行．遗其三专证明踏面面讽垂直震：①证明约两平贱面的感法向亚量互绞相垂只直；②利用替面面肤垂直阵的判钉定定幅理，穿只要章能证卡明一伟个平串面内弓的一的条直丽线的汁方向侄向量落为另雁一个盒平面榜的法蜂向量茧即可蜂．考点志二利用域空间东向量冲证明逃垂直陆问题考点悲突破证明由题条设易是知OA，OB，OA1两两乐垂直寄，以O为原接点建政立空板间直昂角坐泥标系温，如誉图．考点捎二利用升空间赏向量迎证明搅垂直甜问题∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D．xyz考点船突破(1界)证明如图傍，以DA，DC，DP所在池直线朱分别固为x轴，y轴，z轴建立空间蝴直角孟坐标阁系，霜设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，考点纠三利用染空间咳向量驳解决泡探索迹性问邻题【例3】在侦四棱荷锥P－AB冷CD中，PD⊥底面AB佛CD，底或面AB暗CD为正谢方形随，PD＝DC，E，F分别树是AB，PB的中上点．(1即)求证臂：EF⊥CD；(2驴)在平前面PA未D内是常否存植在一毅点G，使GF⊥平面PC曾B．若劝存在骡，求苏出点G坐标惰；若辜不存寨在，鸣试说膜明理将由．考点咱突破(2字)解假设全存在垒满足裤条件邻的点G，设G(x，0，z)，考点头三利用爷空间耳向量肌解决被探索有性问危题【例3】在缓四棱赚锥P－AB蛇CD中，PD⊥底面AB商CD，底喘面AB包CD为正碑方形括，PD＝DC，E，F分别末是AB，PB的中搅点．(1似)求证旨：EF⊥CD；(2秃)在平锈面PA弟D内是贴否存绿在一根点G，使GF⊥平面PCB．若明存在坑，求都出点G坐标驻；若腐不存榨在，么试说懒明理反由．若使GF⊥平面PC豆B，得z＝0.即存藏在满傻足条退件的摧点G，且仙点G为AD的中迹点．考点熔突破规律拖方法对于“是否赞存在”型问穿题的工探索支方式插有两拥种：(1)根据抵题目咳的已暑知条花件进垒行综缝合分持析和嘴观察能猜想盗，找柄出点辫或线丝式的位辞置，锻然后格再加乞以证困明，真得出鬼结论蹈；(2核)假设柜所求嫁的点大或线迷存在找，并嘉设定若参数箭表达烫已知筑条件萍，根雄据题肺目进悬行求司解，偿若能公求出哪参数素的值仅且符暑合已露知限句定的尺范围蚂，则昼存在冻这样循的点自或线穿，否耗则不校存在．本嗓题是设款出点G的坐揭标，留借助宜向量撇运算罩，判胳定关哭于P点的分方程技是否演有解吐．考点藏三利用革空间婆向量帽解决冰探索助性问尊题∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD．又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面AB索CD．xyz(2努)解以A为原求点，AB，AD，AP所在炭直线李为x轴，y轴，z轴建热立空欠间直减角坐喘标系依．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，考点例突破考点店三利用搂空间倘向量急解决犹探索唯性问禁题设平斧面AE疼C的法鞋向量玩为n＝(x，y，z)，xyz令y＝1，则n＝(－1，1，－2)．∴存在号点F，使消得BF∥平面AE旧C，且F为PC的中格点.考点棉突破考点洒三利用宽空间狮向量租解决拒探索怎性问岔题1．用锹向量糖法解勿决立档体几国何问急题，呈是空光间向效量的精一个售具体都应用堵，体惑现了溉向量剑的工凡具性志，这鞋种方严法可县把复眠杂的物推理哑证明活、辅跌助线洒的作耍法转绣化为幕空间私向量真的运猴算，籍降低奔了空绸间想河象演讽绎推绢理的争难度袜，体洞现了庭由“形”转“数”的转能化思届想．思想处方法课堂闹小结2．用跟向量毫知识免证明样立体南几何妨问题初有两积种基停本思赵路：万一种盒是用浮向量困表示题几何庙量，价利用温向量条的运雁算进规行判胆断；吊另一右种是棚用向碰量的与坐标蓬表示蜓几何谊量，趴共分肉三步驴：(1罚)建立怠立体元图形券与空右间向逮量的滤联系琴，用翅空间泉向量(或