高考研讨会走近数学试题

走近高考数学试题反思高中数学教学数学教育讲座♦省（市）理

文选择题数填充题数解答题数考生解答题数苏理文0146+4(选2)+224粤理84+3(选2)620粤文103+2(选1)620沪理414523沪文414523,09

高考数学试卷概况数学理文试卷共有37套，其中16省（市）单独命题,31套；两省（区）联合命题，2套；全国卷Ⅰ、Ⅱ，4套.三省（市）题型题量表高考数学卷的前后评估评估的目标评估的依据期望分与平均分成绩分布试题的难度分布题型问题评分标准及网上阅卷特色与热点对高中数学教学的启示教学的有效性单元复习与综合复习核心内容和重要方法测验与讲评拟题和解题例题解析fi

fi例1

a

、b都是非零向量，给出下面

4

个论断：①fi

fi

fi

fi|

a+

b

|=|

a-

b

|,fi

fi②

|

a+

b

|<

2,fi

fi③

a

^

b,fi

fi④

|

a

|<1,

|

b

|<1,求以其中两个论断为条件、另外两个论断为结论构成的真命题.之外的两条不同直a、b

是两个不同的平面，m、n

是平面a

及b线，给出四个论断：①n

^

b

,m

^

n

,

②

a

^

b

,

③m

^

a

.④以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题

.【解析】1.可组成的命题数:4C

2

=

6.证明① ③，可考虑以下三种证法:对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的对角线相等;fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi

fi|

a+

b

|2

=

(a+

b)2

, |

a-

b

|2

=

(a-

b)2

;向量的坐标表示法.fi

fi

fi

fi

fi

fi若

|a|<

1, |

b

|<

1, 0o

<

—

(a,

b)

£

90o

,则

|

a+

b

|<

2.真命题是：①④

②③；③④

①②.比例系数甲、乙两地相距S

千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过C

千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固出这个函数的定义域；(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？定部分组成：可变部分与速度V（千米/时）的平方成正比,为b

；固定部分为a

元.(Ⅰ)把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指v

˛

(0,

c].

v

y

=

S

a

+

bv

,bab

;b为了使全程运输成本最小，当ab

£

c

时，v

=bab当>c

时，v

=c

.求轮船从甲地到乙例2

轮船自甲地到乙地沿江逆水以v

千米/时航行,

甲乙两时消耗的燃料与vn

(n

>1)成正比,地消耗燃料总量最少时v

的值.地相距s

千米,江水以c

千米/时流动(c

<v),轮船每小(v

-

c)2=dvdy kS

nv

n-1

(v

-

c)-

ksvn

]n

-1ncnc当v

=

时，dy

=

0.

又

v

>ncdv n

-1

dv时，dy

>0;v

<n

-1

dv时，dy

<0.【解】设比例系数为k,轮船从甲地到乙地消耗燃料总量为y,,kSvnv

-

cy

=则时消耗燃料最少.n

-1nc所以，v

=n

-1nc是y的最小值点，即v

=当n

=2

时,可用下面方法来解:v

-

cy

=kSv

2v

-

c=

kS v

-

c

++

2cc

2c

2+

2c

=

4kSc,v

-

c(v

-

c)‡

kS

2等号当且仅当v

=2c时成立,所以v

=2c

时,消耗燃料最少.,(v

-

c)2=kSvn-1

[(n

-1)v

-

nc]例3

设四棱锥P

-

ABCD

的底面是边长为

1

的

正

方形，PA

^

底面ABCD

，AP

=h

，面PCB

与面PCD

所成的二面角为θ，证明:θ

随着

增h

大而减小.,BD

=2,

而2

+

h

21

+

h

2在DBED中，BE

=DE

=2BE

2=

-

.1

+

h

22BE

2

-

BD

2

1cosq

=1

222111

+

h

2=

-

1

,1

+

h

2任取

0

<

h

<

h

,

且

cosq

=

-

1

,

cosq1

11

21

+

h

2<

-1

+

h

2-cosq1

<

cosq2

.由,

有又q1、q2都是钝角，所以q1

>q2

.PACDE【证】由于PA

^

平面ABC

,CD

^

AD,于是PD

^

CD.同样，PB

^

BC.

又

CD

=

AB,

PC

=

PC,\RtDPCD

@

RtDPCB.(右图）作BE

^

PC

于点E,则DE

^

PC,—BED

=q.例4

如果对甲、乙容器，第

一次分别

倒入含有某种溶质

2

mg

/

cm3

和

0.2

mg

/

cm3

的溶液各300cm3

;

第二次从甲

容器内取出

100

cm3的溶液倒入乙

容器,

经

混合后,又从乙容器内

取出

100

cm3的

溶

液

倒入甲容器;

如此往和

b

mg

/

cm3

,

求：复下去,设倒入n

次,甲、乙内所含溶质各为an

mg/cm3na1,

b1,

a2

,

b2；an

-bn

关于n

的表达式；

(3)从倒入第几次开始,甲、乙容器内溶液所含溶质之差小于0.01mg/cm3

.41(2)n-1

n-1n-1n-1n)=

1

(a

+

3b

),+

300b(100ab

=43004001n-1n

n-1n-1n(200a

+100b

)

=

1

(3a

+

b

),a

=2n-1n-1nn-

b

),a

-

b

=

1

(a于是2

,

n

=1

,2

,3

,

.

1

n-1\

an

-

bn

=1.8b1

=

0.2,【解】

(1)

a1

=

2,40012b

=

(300

0.2

+100

2)=

0.65,30012a

=

(200 2

+100

0.65)=

1.55,2

1

n-1n

n(3)若a

-

b

<

0.01

,

即1.8<

0.01

,

则

n

>

8.

因此，从第

9次开始,甲、乙容器内溶液所含溶质之差小于0.01mg/cm3.nny<

2

sin

xn

.1

+

x1

-

xn1

x3

x5

x2n-1

<（2）证明：x(1)

求数列{xn

}与{yn

}的通项公式；(xn

,

yn

).例5（2009粤理第21题）已知曲线

Cn

:

x

-

2nx

+

y

=

0

(n

=

1

,

2,2

2),

从点P

(-1

,

0

)向曲线Cn

引斜率为

kn

(kn>0

)的切线ln

,切点为Pnn=

n

2

,(1)C

:

(x

-

n)2

+

y

2l

:

y

=

k

(x

+1),nnn=

n

,1+

k

2nkn

-

0

+

kn【解析】,2n

+1nk

=n2=

,n

+1nn2n

-

knxn

=1

+

k.n

2n

+1(xn

+1)=nnk

=1k

=1x2k

-1

=2k2k

-1(2)<nk

=1yn

=

kn2k

-1.n1

+

xn

+11

-

xnyn<

2

sin

xn

.1

+

xn1

-

xn,11<

2

sin2n

+12n

+12

sin

x

,f

(x)=

x

-2

cos

x

,f

,

(x)=

1

-2f

,(x)=

0

,

cos

x

=

2

,

4

x

˛

o,

p

,f

,

(x)<

0

,f

(x)<

f

(0),x

<

2

sin

x

,1£0

<1

<

p

,2n

+1

3

412k

+1

=

2n

+1

=2

x2B

=

(x,

y)

4

-

y

=1,x,

y

˛

R,+n

˛

Z

,n

Sa

,A

=nn例6

已知公差d

˛

R,d

„0,Sn是等差数列{an

}的前n

项和,a1

˛

R,a1

„0,下列结论是否正确？若正确，试予以证明；若不正确,可举例说明.以A中元素为坐标的点都在同一条直线上；A

B至多有一个元素；当a1

„0

时，一定有A

B

„f.(2)方程组,21a

+

x

y

=-

y

2

=

1,

x

2所以，A

B

至多有一个元素.（3）

假定A

B

必不是空集，取

a1

=

d

=

1,

则

x

<

0,an

=

1

+

(n

-1) 1

>

0.此矛盾证明了，A

B未必不是空集.但直线2na

+

a=

1

n

,

n

=

1,2,3,【解】(1)由Sn,知集合

A中的点都在21a

上+x.y

=当41时，有唯a

一„

解014a4

-

a

2

y

=

-

1

.2a14

+

a

2x

=

-

1

,n+

nC

n

.例7求和:

S

=

C1

+

2C

2

+

3C

3

+n

n

n1.由,k

-1n-1nkCk

=

nCk

=

1,

2

, ,

n

,令并把所得的等式一起相加，有n-1n-1+

nC

n-1

=

n

2n-1.S

=

nC

0

+

nC1

+nnnn+

nC

,n-1+ +

(n

-1)CS

=

C1

+

2C

2n-1nnnn+C1

,+

(n

-

2)C(n

-1)Cn-2nn-1nS

=

nC

+1n1n2nnnn+

nC

n,+

C+ +

(n

-1)C+

(n

-

2)C+

(n

-1)C+

C2S

=

nCn-1nn-2nn-1nnn

n

n

n+

C

).+

2C=

n

C

0

+

C1

+

C

2

+

C

3

+ +

Cn-1n

n21nnnn-1+

nC

n

xn-1

,+

2C x

+nnn(1

+

x)

=

Cn

n+

Cn

xn(1

+

x)n

=

C

0

+

C1

x

+

C

2

x

2

+4.

由,两边都对x求导，有2.

考虑

2S

:种方法，令代表团，并确定1人为团长，有选法的种数.3.根据组合的意义,设一个运动队有