福建省福州市育英中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

福建省福州市育英中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个黄球，一个绿球”，则A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知向量a，b不共线，设向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（A）10

（B）2（C）－2

（D）－10参考答案：B略3.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.若，满足不等式组，且的最大值为2，则实数的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D设，当取最大值2时，有，先做出不等式对应的可行域，要使取最大值2，则说明此时为区域内使直线的截距最大，即点A在直线上，由，解得，代入直线得，，选D.5.在△ABC中，若,则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.为了得到函数的图象,可以将函数的图象

（

）A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：B7.复数（i是虚数单位）的实部是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数的实部可求．【解答】解：=．所以复数的实部为．故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．8.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体先切割得到的三棱柱后，再切割得到四棱锥S﹣ABCD，如图所示，则其体积为：VS﹣ABCD===．故选：B．9.已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：①∥n②∥

③

④其中正确命题的序号是(

)

A．①②

B．②④

C．②③

D．①④参考答案：D略10.命题“”的否定是

（

）

A．

B．

C．成立D．成立参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于，有如下命题：①若,则为等腰三角形；②若则为直角三角形；③若则为钝角三角形.其中正确命题的序号是

参考答案：略12.在正方体中，点为正方形的中心.下列说法正确的是

（写出你认为正确的所有命题的序号）.①直线与平面所成角的正切值为；②若,分别是正方形,的中心，则；③若,分别是正方形,的中心，则；④平面中不存在使成立的点.参考答案：①②③④13.已知单位向量a，b的夹角为60°，则（2a＋b）·（a－3b）＝________．参考答案：14.向等腰直角三角形内任意投一点,则小于的概率为

参考答案：略15.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为

.参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】解析：几何体高为1，底面为等腰直角三角形。.【思路点拨】先由三视图判断几何体的形状，再结合体积公式计算即可.16.若则的值为

.参考答案：2

略17.有11个座位，现安排甲、乙2人就坐，甲、乙都不坐正中间的1个座位，并且这两人不相邻的概率是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知关于的不等式有解。(I)求实数m的取值范围；(Ⅱ)已知a>0,b>0,a+b=m，证明:.参考答案：19.（本题满分12分）已知圆O的半径为R(R为常数),它的内接三角形ABC满足成立,其中分别为的对边,(1)求角C；（2）求三角形ABC面积S的最大值.参考答案：（1）由,由正弦定理得代入得,由余弦定理

---------------------6分（2）由（1），所以=当且仅当时,-------------------------12分20.中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数a人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4

（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

优等生非优等生总计学习大学先修课程

没有学习大学先修课程

总计

（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为，求.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879

参考公式：，其中.参考答案：（1）详见解析；（2）①0.6；②90.【分析】（1）直接利用已知填表并画出图形，利用独立性检验公式计算可得：，问题得解。（2）①直接利用已知数据计算得解，②由题可得：自主招生通过的人数服从二项分布，利用二项分布的期望公式计算得解。【详解】（1）列联表如下：

优等生非优等生总计学习大学先修课程60240300没有学习大学先修课计20018002000

等高条形图如图：通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系（2）①②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，所以【点睛】本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系，还考查了二项分布的期望公式，考查计算能力，属于中档题。21.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知，．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，二面角的大小为60°．参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】试题分析：（1）利用面面垂直性质，可得平面，再利用线面垂直的判定，证明平面，从而利用面面垂直的判定可得平面平面；（2）确定为直线与平面所成的角，过点作，交于，计算，即可求得直线与平面所成角的大小；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得的长．试题解析：（1）∵平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又∵为圆的直径，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）根据（1）的证明，有平面，∴为在平面内的射影，因此，为直线与平面所成的角，∵，∴四边形为等腰梯形，过点作，交于，，则，在中，根据射影定理，得，，∴，∴直线与平面所成角的大小为30°（3）设中点为，以为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为，则，又，∴，设平面的法向量为，则，即，令，解得．∴．由（1）可知平面，取平面的一个法向量为，∴，即，解得，因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【方法点晴】本题主要考查了立体几何的综合问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直平面的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角、二面角的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明，建立空间直角坐标系，转化为空间向量的运算是解答的关键．22.（本小题满分14分）已知抛物线Γ：和直线没有公共点（其中为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线