数学建模图论案例讲解

数学建模实例-图论建模B题灾情巡视路线下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。灾情巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的灾情巡视路线。1998年全国大学生数学建模竞赛题目

假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的灾情巡视路线。在上述关于T,t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的灾情巡视路线。若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳灾情巡视路线的影响。

旅行商问题（TSP－travelingsalesmanproblem）

一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠久，通常称之为旅行商(推销员）问题。哈密尔顿图1859年，数学家哈密尔顿发明了一种周游世界的游戏：在一个12面体的每个角点代表一个城市，问能否从某城市出发，沿12面体的棱行走，经过每个城市一且仅一次，最后回到出发地。用图论的语言来讲，就是在12面体图上找出生成圈。哈密尔顿图推销员问题-定义

流动推销员需要访问某地区的所有城镇，最后回到出发点．问如何安排旅行路线使总行程最小．这就是推销员问题．

若用顶点表示城镇，边表示连接两城镇的路，边上的权表示距离（或时间、费用），于是推销员问题就成为在加权图中寻找一条经过每个顶点至少一次的最短闭通路问题．定义缸在古加权楼图G=直(V碧,E败)中，（１晓）权料最小嫌的哈凑密尔坊顿圈仇称为最佳H圈．（２忽）经抹过每宏个顶鸟点至仓少一筛次的折权最冬小的顺闭通忘路称舌为最佳贪推销听员回资路．一般沫说来丘，最左佳哈珍密尔娱顿圈驼不一葡定是么最佳诊推销琴员回钞路，己同样麦最佳诵推销曾员回嫂路也搬不一友定是妇最佳舍哈密翅尔顿恐圈．H回路惭，长22最佳喊推销睁员回教路，浓长4推销课员问赔题近溉似算猜法：二边甘逐次讯修正迷法：分析倍：灾情锅巡态视路严线坡问汪题条是一雀个包寻求睁最佳炊多旅点行商仅回路哨的问率题均。1、多覆旅行骆商问丹题跟单撇旅行焦商问态题的啦区别变。单幅旅行裕商问弹题可清以转谱化为套加权途图的驴最优H圈问兼题。鼓多旅涨行商笛问题驳怎么的办？2、第和一问伐目标辨：总群路程畜最短礼且尽票可能调均衡视。如踪蝶何表岔述。爷目标1：目标2：限制醉条件第一倦问目衫标简混化：博多度目标舍单炮目标分组裹：什方法萍很多缝。可鼻以给邮定一鹊个初禽始分靠组，牙然后朗基于怕上述胜单目剃标进谁行调趟整。问题2：骆最小赖组数双问题僵。（泡问题3也涉敞及）分析血：困求r组多州旅行白商路宋线，夺在满渣足题斜目要祸求限取制条增件下兴，使价得每场个路修线都捏包含果县城斥，且谎总体沸能覆份盖V。并凤证明r-锻1组不兴可能寻。限制组条件黎：在知巡视毕点有您一定保停留傻时间你的情毒况下24小时宾完成全巡视孟。巡视月点停欲留：年引夏入点狂权。由对村鹿乡进蛙行编敢号，购村权35，乡挖权70伐.时间梢化为慕距离墙，将永点权寇和边再权统拼一起马来。对每淹一个让旅行筐商路各线，专求其陷总权T_管i,优化孕的目爱标为塑使得颂分组蜡的最扩大的倡总权巨尽量太小。纷方法个：扎调整留分组屡。在给床定上协述目嫩标和锯约束舞的条隶件下慈，对撒问题2不难绑得到4个旅渡行商父路线悄可以朽满足痰。如吴何证墙明3个不魂行？问题3：最柱短时脾间及绝最优征巡视槽方案最短只时间君：糊县城记到最搞远乡铸镇的摧距离我。不类难确跨定。原最优焰巡视蛇方案膀？？太？可以埋按照什问题2的模愁型确茅定组贪数。渠答案致为22由.但是测如何爸证明21不行轻？栗思酱考题锻？问题4：组扒数已忧定，乓讨论T,南t,涂V的改与变对迁最佳珠巡视叹路线赵的影仍响要尽娃快完庄成巡颜视,就得左要求勺每组氏完成追巡视迫时问肉尽量逐均衡,因为毒总的汇完成蚀巡视伍时间糠按最羊长的援完成期巡视绘时间央计算它。钩现在挨讨论妥在均副衡度炒允许株的范嗽围内蛙已分建成n组后店，改娱变T,雨t妖,尚V对最琴佳巡屿视路雷线的归影响夫。显浆然在凤分组汤不变劲的情剂况下,无论沿如何乳改变唉分组熟后，弟对每男组内铺的最侵沈注封丛剥视蔑路线关是没压有影脂响的挺，但杨可能抱会影押响各丘组盆间的改均衡虑性砖因此汉该问帝题实泰际上商是讨乓论T,烟t遍,贯V对分煤组的晴影响,即在架不破饶坏原痰来分齐组均较衡的摩条件倒下,T、t险,V允许沃的最砌大变英化范践围19逼94全国周大学嘴生数星学建极模竞杜赛题盲目B题拣锁府具装伏箱某厂邪生产送一种驻弹子艘锁具,每个颜锁具况的钥屡匙有5个槽,每个买槽的剥高度督从{1弃,2察,3壳,4鹅,5明,6爱}6个数(单位斥略)中任电取一衰数。狡由纱于工脸艺及她其它介原因,制造颗锁具福时对5个槽洪的高锋度还城有两花个限荒制:至少肢有3个不顶同的洽数;相邻已两槽星高度由之差颜不能皆为5。份满足巨以上酸条件公制造泄出来播的所樱有互件不相凭同的丙锁具闯称为什一批千。壶出来暂的所忌有互逢不相彻同的系锁具掩称为童一批贱。袭从顾挤客的糠利益誉出发,自然量希望城在每百批锁扑具中"一把鼻钥匙机开一慨把锁"。拦但是专在当狼前工歪艺条稍件下,对于视同一巩批中备两个努锁具防是否沙能够垂互开,有以衬下试货验结猾果:若二元者相丧对应煌的5个槽兔的高狸度中傻有4个相异同,另一壮个的陕高度满差为1,则可债能互贸开;在其诸它情习形下,不可扰能互而开。驴原置来,销售柿部门阶在一期批锁勿具中物随意册地取张每60个装乒一箱势出售州。粉团体好顾客竞往往惕购买威几箱龟到几钢十箱,他们间抱怨该购得辫的锁弹具会腿出现父互相撇开的流情形进。骑现聘危聘请践你为死顾问,回答畅并解抖决以肚下问售题:每一朽批锁迅具有摊多少陷个,装多题少箱贼。为销强售部里门提蛇供一挥种方柴案,包括秀如何探装箱(仍是60个锁如具一敲箱),如何元给箱嫩子以尖标志,出售丈时如券何利分用这井些标冶志,使团呢体顾被客不裕再或命减少滨抱怨凳。采取危你提播出的洪方案,团体晌顾客耗的购构买量柔不超扇过多幼少箱,就可纵以保柿证一继定不稼会出索现互收开。按照订原来敌的装污箱办摔法,如何跟定量蛾地衡匙量团洁体顾此客抱腔怨互成开的勉程度(试对原购买头一、梯二箱犬者给积出具艘体结址果)。称G=种(X,Y,E)为二部串图.如果X中的蕉每个而点都扎与Y中的扬每个电点邻傍接,则称G=窃(X,Y,E)为完备母二部丙图.若F：E→R+,则称G=摸(X,Y,E,F)为二部勤赋权垄图.定义1设X,Y都是景非空内有限惯顶点勤集,且X∩Y=Φ,二部浅图的匹配倒、独鼠力集定义3若匹番配M的某把条边领与点v关联,则称M饱和点v,并且奇称v是M的饱和裁点,否则僵称v是M的非饱和点.定义4设M是图G的一仙个匹针配,如果G的每篇一个恼点都是M的饱矿和点,则称M是完美彼匹配；如丛果G中没有琴另外医的匹剩配M0,使|M0|＞|M|,则称M是最大匹孔配.含边摇数最料多的牧最大镇匹配拦中所窃含的遍边数术称为图G的边古独立粉数，挂记为每个惹完美验匹配历都是理最大芝匹配,反之厨不一膜定成兄立.二部米图的匹配炒、独情力集例16：嫁判断跪下图饲的匹报配最大莲匹配非完滥美匹伏配完美假匹配二部聚图的匹配盈、独挪力集定义5若图G的一蓝个顶评点子委集中妙的任板意两触个点胞都互歇不相婆邻,则称貌该顶黎点子批集为近为G的一是个点蜜独立层集。晚图G的独衣立数公为G的最酒大点糟独力智集所开含的酸点数块，记性为定义6若图G的一伟个顶肿点子畏集K称为G的一旬个点选覆盖乖子集刘，如文果G中的响任意丘一条缓边都剧至少较有一妥个顶形点包念含在G中.图G的覆饱盖数苍为G的最周小点私覆盖攀集中盗所含爽的点除数，畏记为若G中任耕一个焦顶点裙都是料图G的边章集S中一恳条边哀的顶薄点，则称S为G的一凭个边敲覆盖释集。睬含边嚷数最句少的任边覆煌盖集刺中的治边数周称为低图G的边穴覆盖肠数。二部醉图的匹配塞、独度力集二部吼图的匹配风、独舍力集-相关野定理定理1定淡理2若华图G没有限孤立英顶劈燕点铺，矛即顶抬点闭的铅最小年度>喂0，丧则定况理3对踪蝶于二珍分后图G，表有引理1设G=锐(X,亿Y,E)为二巡寿部图,则①G存在饱和X的每练个点咸的匹珠配的花充要膝条件寒是对任报意S,有|N(S)喇|渴≥堂|S|淹.其中,N(S)镇=灰{v|u∈S,v与u相邻}.②G存在苏完美奏匹配静的充乘要条舟件是对任代意S或S有|N(S)阀|≥|S|母.二部原图的匹配珠、独痛力集分析凤：6种载高度5个漫槽猴的钥兵匙刘最多泛可胁能有顾，叉通旨过屯排慢列组戴合到，筐除悠去绪不末满足投条弓件还的各眉种惑情建况，切可盼以当算诞出照一批妹锁孝具若的总泊数为58抗80件由于邀两个葬锁耕具遮对应侧的5个估槽教高散中有4个药相泡同摘，芝另一扶个猫只作相害差1，朋被视甘为食互脖开叮，库那孕么它升们您各逗自敲槽凯高狠之迷和必限为丝式一个羽奇陷数端、咬一个秤偶垃数．测另吩外愚，粉槽彼高驶之和谋为忆奇数姐和预偶数绑的功锁态具农可舌以一束一妇对裳应鼻，督因乳而各坟占很一青半蚊：2员9勉4伍0件圾，壳槽急高启之和鱼为奇迁数(或偶私数)的两件锁具帮之间贪不可禾能互依开碌，芝所壮以若6煤O个装研一箱讲，2俗9杯4圾0个锁照具