第02讲二次函数的图像和性质

第02讲二次函数的图像和性质【知识梳理】一．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．二．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【考点剖析】一．二次函数的图象（共9小题）1．（2022秋•安徽期中）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】分别讨论a＞0与a＜0两种情况时一次函数与二次函数的图象的草图，进而求解．【解答】解：当a＞0时，直线y＝ax+1从左至右上升，抛物线y＝ax2+bx+1开口向上，选项A正确，选项B，D错误．当a＜0时，直线y＝ax+1从左至右下降，抛物线y＝ax2+bx+1开口向下，选项C错误．故选：A．【点评】本题考查函数的图象，解题关键是掌握一次函数与二次函数图象与系数的关系．2．（2022秋•怀远县期中）如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是﹣3．【分析】由图可知，二次函数图象经过坐标原点，然后代入函数解析式进行计算即可求出m的值，再根据抛物线开口向下求出m的取值范围，从而得解．【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），∴m2+m﹣6＝0，解得m1＝2，m2＝﹣3，∵抛物线开口向下，∴m﹣2＜0，解得m＜2，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象，观察图形得到抛物线经过坐标原点是解题的关键，要注意根据抛物线的开口方向确定出m的取值范围，这也是本题容易出错的地方．3．（2022秋•大观区校级月考）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是m＝4．②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是m＝0或m＞4．【分析】方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个，2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有3个，2个交点，由此即可解决问题．【解答】解：①方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有3个交点，因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），观察图象可知，两个函数图象有3个交点时，m＝4．故答案为：m＝4．②方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有2个交点，因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），观察图象可知，两个函数图象有2个交点时，m＞4或m＝0．故答案为：m＞4或m＝0．【点评】本题考查二次函数的图象、根的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．4．（2022秋•颍上县期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝a（x﹣b）2+c的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，∵函数y＝a（x﹣b）2+c，∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的正负情况，利用二次函数的性质解答．5．（2022秋•蚌山区月考）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＜1时，y随x的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，对称轴是直线x＝1，故选项B中的说法错误；顶点坐标为（1，2），故选项C中的说法错误；当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D中的说法正确；故选：D．【点评】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．（2022•包河区三模）已知二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】由已知二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标在0﹣1和1﹣2之间，就可以确定二次函数y＝ax2+bx+1与直线y＝x﹣c的交点的横坐标在0﹣1和1﹣2之间．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标在0﹣1和1﹣2之间，∴二次函数y＝ax2+bx+1与直线y＝x﹣c的交点的横坐标在0﹣1和1﹣2之间，∴在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是A，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数及一次函数的图象和性质，熟知以上知识是解答此题的关键．7．（2022秋•利辛县校级月考）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A． B． C． D．【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，从而得出函数的图象．【解答】解：设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m﹣x，∵EH2＝AE2+AH2，∴y＝x2+（m﹣x）2，y＝x2+x2﹣2mx+m2，y＝2x2﹣2mx+m2，＝2[（x﹣m）2+]，＝2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2021秋•金安区期末）已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分别清楚0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤4的函数关系式即可判断．【解答】解：①当0＜t≤1时，S＝＝t2，函数为开口方向向上的抛物线；②当1＜t≤2时，如图2，设BC交FG于H，则FH＝BF＝，则GH＝﹣BF＝，S＝S正方形DEFG﹣S△HMG＝﹣＝﹣t2+4t﹣2，函数为开口方向向下的抛物线；③当2＜t≤3时，S＝2；④当3＜t≤4时，同理可得S＝＝﹣t2+6t﹣7，函数为开口方向向下的抛物线；故只有选项C符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．9．（2022秋•杜集区校级月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．【分析】（1）利用列表，描点，连线作出图形即可；（2）写出函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）列表：x…01234…y…0﹣3﹣4﹣30…描点、连线如图；（2）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4．【点评】本题考查了二次函数图象，注意：二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．二．二次函数的性质（共17小题）10．（2022秋•田家庵区校级月考）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．11．（2022秋•淮南月考）抛物线y＝x2﹣6x+9的顶点坐标是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（﹣3，9） D．（3，9）【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴该抛物线的顶点坐标为（3，0），故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是可以将抛物线解析式化为顶点式．12．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（）A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣1 D．直线y＝1【分析】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．13．（2022秋•芜湖期中）在同一平面直角坐标系中作出y＝2x2，y＝﹣2x2，的图象，它们的共同点是（）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上 B．关于y轴对称，抛物线的开口向下 C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据解析式中的a值判断抛物线的开口方向，再由解析式求出顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵在函数y＝2x2，y＝﹣2x2，中，a取值范围分别为：a＞0，a＜0，a＞0，∴抛物线的开口方向分别为：向上，向下，向上，由函数y＝2x2，y＝﹣2x2，的解析式可知，顶点坐标都为（0，0），∴它们的共同点是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握y＝ax2的图象关于y轴对称，顶点为原点是解题关键．14．（2022秋•淮南月考）定义符合min{a，b}的含义为：当a＞b时，min{a，b}＝b；当a＜b，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．0 B．1 C． D．【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义解答即可．【解答】解：联立，解得，，所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．15．（2022秋•蚌埠期中）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（）A．y＝4x2+2x+1 B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4 D．y＝﹣2x2+4x【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，A、y＝4x2+2x+1的对称轴是直线x＝﹣＝﹣，故该选项不符合题意；B、y＝x2﹣4x的对称轴是直线x＝﹣＝2，故该选项不符合题意；C、y＝2x2﹣x+4的对称轴是直线x＝﹣＝，故该选项不符合题意；D、y＝﹣2x2+4x的对称轴是直线x＝﹣＝1，故该选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．（2022秋•安徽期中）若抛物线y＝﹣2（x+m﹣1）2﹣3m+6的顶点在第一象限，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+m﹣1）2﹣3m+6，∴顶点坐标为（﹣m+1，﹣3m+6），∵顶点在第一象限，∴﹣m+1＞0，﹣3m+6＞0，∴m的取值范围为m＜1．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征．17．（2022秋•利辛县月考）如图选项中，能描述函数y＝ax2+b与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数的性质和一次函数的性质，可以判断出各个选项中函数y＝ax2+b与y＝ax+b中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：选项A中y＝ax+b的a＜0，b＞0，y＝ax2+b的a＞0，b＞0，故选项A不符合题意；选项B中y＝ax+b的a＞0，b＜0，y＝ax2+b的a＞0，b＜0，故选项B符合题意；选项C中y＝ax+b的a＜0，b＞0，y＝ax2+b的a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；选项D中y＝ax+b的a＞0，b＜0，y＝ax2+b的a＜0，b＜0，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（2022秋•包河区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致是（）A． B． C． D．【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x＝1时，y＜0，可知a+b+c＜0，然后利用排除法即可得出正确答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，∴直线y＝bx+c经过一、二、四象限，由图象可知，当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴反比例函数的图象必在二、四象限，故A、B、D错误，C正确；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．19．（2022•定远县校级一模）如图，函数的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为或m≤0．【分析】利用排除法，先求得直线y＝x+m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y＝的图象恒相交，①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交，与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时，即方程x+m＝﹣x2+2x（x＞0）有两个实数根，∴x2﹣x+m＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，解得：；∴当时，直线y＝x+m与函数y＝的图象有两个或三个交点，∴当时，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点；②当m≤0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点，综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为或m≤0．故答案为：或m≤0．【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．20．（2022秋•蜀山区校级月考）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：（1）y＝3x2﹣6x+4；（2）y＝﹣x2+2x+．【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【解答】解：（1）∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1；（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2．【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．（2022秋•利辛县月考）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）：（1）该函数图象的对称轴是直线x＝1．（2）当x＞m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≥1．【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；（2）利用二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：（1）函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，故答案为：1；（2）∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵当x＞m时，y随x的增大而减小，∴m的取值范围是m≥1，故答案为：m≥1．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（2022秋•蜀山区校级月考）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣2．（1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线．（2）直接写出这条抛物线的对称轴，顶点坐标．（3）直接写出当x取什么值时，y随x的增大而减小？（4）直接写出当x取什么值时，y＞1？【分析】（1）列表、描点，连线，在坐标系内画出函数图象即可；（2）由（1）可得出结论；（3）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；（4）直接根据函数图象可得出结论．【解答】解：（1）列表：x…﹣10123…y…1﹣2﹣3﹣21…描点、连线画出函数图象如图；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）；（3）由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小；（4）由函数图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＞1．【点评】本题考查的是二次函数的性质，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．23．（2022•包河区二模）在函数学习中，我们经历了列表，描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y＝ax3+x2（a≠0）的性质时．列表和描点的部分过程．请按要求完成下列各小题．x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101…y…0mn0…（1）表格中m＝4；n＝2；并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象；（2）结合图象，直接写出x+3≤ax3+x2的解集为：﹣6≤x≤﹣2或x≥2．【分析】（1）把x＝﹣1，y＝代入y＝ax3+x2（a≠0）求得a．然后利用函数解析式分别求出m、n，利用描点法画出图象即可；（2）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把x＝﹣1，y＝代入y＝ax3+x2（a≠0）得，﹣a+＝，解得a＝，∴y＝x3+x2，当x＝﹣4时，y＝x3+x2＝4；当x＝﹣2时，y＝x3+x2＝2；∴m＝4，n＝2，函数y＝x3+x2的图象如图所示：故答案为：4，2；（2）由图象可知，不等式x+3≤ax3+x2的解集为﹣6≤x≤﹣2或x≥2．故答案为：﹣6≤x≤﹣2或x≥2．【点评】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．24．（2022•淮北一模）设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”．（1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值．【分析】（1）先求出y＝x2+x+1的顶点坐标，然后根据同倍项二次函数的定义求出答案；（2）先求出y1和y1+y2的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a＝2c，b＝2d，且开口方向相同求出n的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1，∴y＝（x+）2+，∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为（﹣1，），∴同倍项二次函数的解析式为y＝（x+1）2+；（2）y1＝x2+nx＝（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y1+y2＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2，顶点坐标为（﹣n，1﹣2n2），∵y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，∴1﹣2n2＝2×（﹣），解得：n＝±．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“同倍项二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可．25．（2021秋•安庆期末）已知函数y＝（1）用描点法画出此函数的图象；（2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？（3）当y＝k时，对应的自变量x的值有2个，直接写出k的取值范围．【分析】（1）描点法画出函数的图象即可；（2）观察图象即可得到结论；（3）根据图象即可求解．【解答】解：（1）如图所示；（2）由图象可知，当x＜1或x＞2时，y随着x的增大而减小；（3）由图象可知，k的取值范围是1≤k≤3或k＝4．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，正确画出函数的图象是解题的关键．26．（2022秋•迎江区期中）定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A． B． C．1 D．0【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．三．待定系数法求二次函数解析式（共11小题）27．（2022秋•蚌山区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）A．y＝x²﹣4x+3 B．y＝x²+4x+3 C．y＝x²+4x﹣1 D．y＝x²﹣4x﹣1【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），再把（0，3）代入可计算出a的值即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是根据所给点的特征选择适当的方法．28．（2022秋•杜集区校级月考）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【分析】利用顶点式求解即可．【解答】解：图象顶点坐标为（0，﹣2），可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，∴|a|＝3，∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，故答案为：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．29．（2022•蜀山区校级三模）如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（）A．a≥1 B．0＜a≤1 C．﹣＜a＜0或0＜a＜1 D．a≥1或a＜﹣【分析】根据题意求得C、D、E的坐标，由对称轴为x＝﹣1，得出b＝2a，由抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0）得出c＝3a，即可得出抛物线为y＝ax2+2ax﹣3a，然后分两种情况：（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），求得a＝1，由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），求得a＝﹣；由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；据此即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，∴A（1，0），D（﹣4，5），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，∴y＝1+1＝2，∴C（﹣1，2），∵C、E关于直线x＝﹣1对称，∴E（2，5），∵＝﹣1，∴b＝2a，把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；综上所述：当a≥1或a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．30．（2022秋•包河区期中）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，3）的抛物线的表达式：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y＝﹣x2+3（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．31．（2022秋•无为市期中）形状与开口方向都与抛物线y＝﹣2x2相同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线对应的函数解析式为y＝﹣2x2﹣5【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x+h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，且该抛物线的形状与开口方向都与抛物线y＝﹣2x2相同，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2x2﹣5，故答案为：y＝﹣2x2﹣5．【点评】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．32．（2022秋•蜀山区校级月考）二次函数的图象如图所示，求该图象的解析式．【分析】由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把（﹣1，0）代入后计算出a的值即可【解答】解：由图象可知，抛物线的顶点为（1，4），与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把点（﹣1，0）代入得a•（﹣1﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．所以二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．33．（2022秋•包河区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…﹣50343m﹣5…（1）m的值为0；（2）求这个二次函数的表达式．【分析】（1）根据二次函数的对称性结合表中数据可看出对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4），所以x＝3和x＝﹣1是关于直线x＝1成轴对称的关系，故可得m＝0；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，同样也是找一组点的坐标代入即可求出a的值．【解答】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝0与x＝﹣2时y的值相等，∴对称轴是直线x＝＝﹣1，∵点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）由表可知，二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），∴设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4．将（0，3）代入上式得a+4＝3，解得a＝﹣1，故二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．【点评】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．会从所给出的数据中发现其对称关系，求出顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．34．（2022秋•瑶海区校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），∴，解得b＝﹣2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D点坐标为（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C点坐标为（0，﹣3），又∵B点坐标为（2，﹣3），∴BC∥x轴，∴S△BCD＝×2×1＝1，设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，当|m2﹣2m|＝4×1时，解得m＝1±，当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．35．（2022秋•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x的图象与二次函数y＝﹣x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．（1）求m的值以及二次函数的表达式；（2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y＝x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．【解答】解：（1）把点A坐标为（3，m）代入一次函数y＝x中可得：m＝3，∴A（3，3），把点A坐标为（3，3）代入二次函数y＝﹣x2+bx中可得：3＝﹣9+3b，解得：b＝4，∴y＝﹣x2+4x，答：m的值为3，二次函数的表达式为：y＝﹣x2+4x；（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点P（2，4），把x＝2代入y＝x中得：y＝2，∴D（2，2），∴PD＝4﹣2＝2，∵△POA的面积＝△OPD的面积+△APD的面积，∴△POA的面积＝PD•OC+PD•AE＝PD（OC+AE）＝×2×3＝3，答：△POA的面积为3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．36．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，二次函数与一次函数交于顶点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3）两点，一次函数与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）y轴上是否存在点P使△PAB的面积为3．若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）设P（0，n），根据S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC列出关于n的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵二次函数的顶点A（﹣4，﹣1），∴设二次函数为，∵经过B（﹣2，3），∴3＝a（﹣2+4）2﹣1，解得，a＝1，∴二次函数；（2）设直线AB的解析式为y2＝kx+b，把A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，解得，∴一次函数y2的解析式为y2＝2x+7；由一次函数y2＝2x+7可知C（0，7），设P（0，n），∴PC＝|n﹣7|，∴，∴|n﹣7|＝3，∴n＝4或10，∴P（0，4）或P（0，10）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，分割法求三角形面积是解题的关键．37．（2022秋•定远县期中）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：，解得：，所以此抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x）+4＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4＝﹣2（x+1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），∵点A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝OA•|xc|＝×4×1＝2，即△CAO的面积为2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的对称轴，解答本题的关键是熟练计算抛物线的对称轴．2．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，上移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【详解】解：的顶点坐标为，把点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式是．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：“左移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键．3．（2023·安徽宿州·统考一模）若拋物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标，根据顶点在第二象限得到的取值范围．【详解】解：由得，，抛物线的顶点坐标为，顶点在第二象限，，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征，将二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握第二象限的点的特征是解题的关键．4．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）二次函数的图象经过点，则代数式的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先把点代入到二次函数解析式得到，进而推出，再把整体代入到所求式子中得到，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴，∴，∵，∴；∵，，∴当时，有最小值，最小值为，故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确推出且是解题的关键．5．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】∵∴顶点坐标是故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法求顶点坐标是解题的关键．6．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知二次函数的图象如图所示，则在同一坐标系中与的图象可能是()A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为、，就可以确定二次函数与直线的交点的横坐标为、，于是可得答案．【详解】解：二次函数的图象与轴的交点的横坐标为、，二次函数与直线的交点的横坐标为、，在同一坐标系中与的图象可能是，故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数及一次函数的图象和性质，熟知以上知识是解答此题的关键．7．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与y轴交点在与0之间，一次函数与x轴交点是1，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，根据二次函数：，，∴，，∴一次函数的图象过第一、三、四象限，当时，，∴，∴一次函数与y轴交点在与0之间，当时，，∴，∴一次函数与x轴交点是1，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．8．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．9．（2023·安徽合肥·统考一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数及反比例函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：当时，则，所以二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，而反比例函数的图象在第一、三象限；故B、C选项错误；当时，则，所以二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，而反比例函数的图象在第二、四象限；故A正确，D选项错误；故选A．【点睛】本题主要考查反比例函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握这两种函数的图象与性质是解题的关键．10．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】根据图象开口方向，对称轴，与y轴的交点即可得到a、b、c的符号，判断①对错；根据函数图象的对称轴得到x轴的另一个交点为，进而得到时，，即可判断②对错；根据交点坐标得到，进而得到，再利用对称轴得到，从而求得，即可判断③对错；根据图象与y轴的交点，得到，进而得到，；根据交点坐标得到，进而得到，即可判断⑤对错．【详解】解：二次函数的图象开口向上，，对称轴为直线，在y轴右侧，、异号，图象与y轴的交点在y轴负半轴，，，①正确；函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，函数的图象与x轴的另一个交点为，由图象可知，时，，，②错误；函数的图象与x轴交于点，，，对称轴为直线，，，，，，③正确；函数的图象与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），，，，，④正确；函数的图象与x轴交于点，，，，⑤正确，正确结论有①③④⑤，故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质解题关键．二、填空题11．（2023·安徽淮南·九年级统考阶段练习）抛物线的顶点坐标是_________．【答案】【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．【详解】解：，∴顶点坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的顶点，解题关键在于能够掌握二次函数顶点式的基本性质．12．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为______．【答案】/【分析】根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小【详解】∵二次函数为：∴∴二次函数的开口向上，对称轴为：，∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查了本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴和开口方向是解决问题的关键13．（2023·安徽·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．【答案】【分析】根据二次函数的定义可得及开口向下时即可解答．【详解】解：根据题意得：解得：，故答案为．【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．14．（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）把抛物线向左平移2个单位长度，然后向下平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为__________．【答案】/【分析】根据平移法则：“左加右减，上加下减”，按平移要求写出平移后表达式，再化简即可．【详解】∵抛物线向左平移2个单位，向下平移1个单位∴新抛物线的表达式为∴所得抛物线的函数表达式为，化为一般式．故答案为或．【点睛】本题考查了函数图象平移的法则，记忆法则和正确应用法则是解题的关键．15．（2016秋·安徽芜湖·九年级统考期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是___________．【答案】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．【详解】解：，对称轴为，，在对称轴的右侧，随的增大而减小，，，根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，故，故答案为．【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解．16．（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）已知关于的函数，点为抛物线顶点．（1）当点最高时，______；（2）在（1）的条件下，当，函数有最小值，则______．【答案】或【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式得到顶点的坐标为，把纵坐标化为的形式，即可得到结果；（2）把（1）中求得的代入得，这时当时，函数有最小值为，当时，函数有最小值为，所以的取值范围一定在对称轴的左边或右边，再分两种情况讨论即可求得的值．【详解】解：（1），顶点的坐标为，，当时，取得最大值为，当点最高时，，故答案为：；（2）当时，，这时当时，函数有最小值为，当，函数有最小值，的取值范围一定在对称轴的左边或右边，当时，，函数有最小值为，，解得：，，，；当时，，函数有最小值为，，解得：，，，即，．综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和最值的求法，求最值除了考虑开口方向还要考虑自变量的取值范围和对称轴的关系，这是解决本题的关键．17．（2023·安徽宿州·统考二模）设二次函数，其中a为实数．（1）二次函数的对称轴为直线_______________．（用含a的式子表示）（2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是_______________．【答案】/4【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案；（2）分三种情况讨论：当，即，则当时，y有最小值，最小值为，当，即，则当时，y有最小值，当，即，则当时，y有最小值，从而可得答案．【详解】解：（1）∵二次函数，∴对称轴为直线：，故答案为：；（2）当，即，则当时，y有最小值，最小值为，不合题意，舍去；若，即，则当时，y有最小值，∴，∴，解得（舍去），；当，即，则当时，y有最小值，∴，解得（舍去）．故答案为4．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．18．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知点是抛物线上一动点．（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为______．【答案】/0或5/5或0【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出．【详解】解：（1）∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点M到y轴的距离不大于1，∴，∴此时点M在对称轴的左侧，∵，∴在对称轴的左侧随x的增大而减小，∴当时，b取最大值，且最大值为，当时，b取最小值，且最小值为，∴b的取值范围是；故答案为：；（2）∵点到直线的距离不大于，∴，即，∴，令，代入，即，解得：，，令，代入，即，解得：，，∴点M应为或上的动点，当时，，当时，，综上分析可知，的值为0或5；故答案为：0或5．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．三、解答题19．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）对于抛物线．(1)将抛物线的表达式化为顶点式．(2)填下表并在坐标系中画出此抛物线．............(3)结合图象，当时，则y的取值范围是．【答案】(1)；(2)见解析；(3)【分析】（1）利用配方法变形即可；（2）列表、描点、连线即可；（3）结合（2）中图象和表格即可得出结论．【详解】（1）．∴抛物线的顶点式为．（2）x…01234…y…3003…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当时，y的取值范围是．【点睛】此题考查的是二次函数解析式的变形、画二次函数的图象和根据自变量的取值范围，求函数值的取值范围，掌握配方法、画二次函数的图象的一般步骤和数形结合的数学思想是解决此题的关键．20．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）已知二次函数中的x和y满足下表：x⋯012⋯y⋯0343m⋯(1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；(2)求该二次函数的表达式．【答案】(1)二次函数的对称轴为直线；(2)【分析】（1）由于，；，，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m的值；（2）设顶点式，然后把代入求出a的值，从而得到抛物线解析式．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴抛物线的对称轴为直线，∵和所对应的函数值相等，∴；（2）解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴该二次函数的解析式为，即．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关