第15章用形数结合方法求解

第15章

用形数结合的方法求解空间几何问题提高篇§15－1

概述§15－2

坐标变换及数学表达式§15－3

代数回转面的方程及其重要定理§15－4

用形数结合的方法研究曲面§15－5

用形数结合的方法求截交线§15－6

用形数结合的方法求相贯线§15－7

图解与计算联合求解空间问题§15－1

概述一、形数结合法把空间问题抽象为点、线、面，研究这些点、线、面之间的关系，把几何问题化为代数问题；然后通过方程计算所得的结果。二、用形数结合法的必要性1、随着近代机械产品精度的日益提高，工程上的许多更复杂的生产实际问题单靠图解法已无法满足精度要求。2、如果只用计算法，往往空间角度关系比较复杂，计算环节多，既麻烦又易出错。3、采用形数结合的方法，先用图解法形象的转化为投影面上的问题进行图解分析，然后根据分析进行精确计算，这样既简化了计算过程又达到了所要求的精度。4、采用形数结合的方法，是对空间几何问题进行计算机绘图建模的重要手段之一。§15－2

坐标变换及数学表达式一、基本概念用形数结合解决空间几何问题时，为解决问题的方便，经常要进行坐标变换。在用换面法解决空间几何问题时，将空间几何元素的投影由一个正投影体系变换到另一个正投影体系，就要进行坐标的变换。坐标变换分为两类：镜向变换和同向变换由右手坐标系变换到左手坐标系或由左手坐标系变换到右手坐标系称为镜向变换。由右手坐标系变换到右手坐标系或由左手坐标系变换到左手坐标系称为同向变换。二、点的坐标变换及数学表达式Z1OZVHXa

′aa1

′ZAYAXaaxax1φφ如图，将点A(x,y,z)由右手坐标系OXYZ变到左手坐标系O1X1Y1Z1。更换V面nk11

111x

xxxxZ1

=

Z

X

=Oa

=On+naY

=aa

=na

-ka11

XZ

=

ZY

=

X

sinf

f

1

=

X

cosf+Y

sinf-Y

cos新旧坐标关系的矩阵表达式为1

1

100

[X

Y

Z

]=

[XYZ

]

sin

fcosf

sin

f

0

-

cosf01

1、镜向变换Y1OYVX

Ha

′a如图，将点A(x,y,z)由右手坐标系OXYZ变到左手坐标系O1X1Y1Z1。更换H面a1ZAYAXaaxax1φφnk/1111x1

xxx

xZ

=

a

a

1X

=Oa

=On+naY

=Y11=na

-ka

X

=

X

cosY

=Yf+Z

sinfZ1

=

X

sinf-Z

cosf新旧坐标关系的矩阵表达式为[

]

[

]1

1

1X

Y

Z

=

XYZcosf

0 sin

f

0

1

00

sin

f-

cosf

2、同向变换如图，将点A(x,y,z)由右手坐标系OXYZ变到右手坐标系O1X1Y1Z1。更换H面|/1111

111x

xxxna

+

kaX

=Oa

=On+naY

=YZ

=

aa

=-1

1X

=

XcosY

=Yf+ZsinfZ1

=-Xsinf+Zcosf新旧坐标关系的矩阵表达式为1

1

1[X

Y

Z

]=

[XYZ

]

0cosf

0

-

sin

f

1

0

sin

f

0

cosfXZ1OZaa1VHa1

′a

′ax1

φnφaxk§15－3

代数回转面的方程及其重要定理一、代数回转面的方程ZYXoF

(x,

z)

=

0P如图所示为绕Z轴旋转的回转面，其在xoz平面上的方程为F

(x,

z)

=

0

则该回转面的方程为

:F

(

x2

+

y2

,

z)

=

0如果绕X轴旋转，则该回转面的方程可写为：F

(x,

y2

+

z2

)

=

0二、重要定理当平面或空间的n次代数曲线绕任意轴旋转时，就形成代数回转面，在一般情况下，它为2n次曲面§15－4

用形数结合的方法研究曲面一、概述用一组相互平行的平面来切割一个二次曲面，从这些截交线的形状来分析和识别曲面的形状。二、举例x2

y2a2-

b2研究由方程=2z

给定的曲面。曲面的形状可通过作平面切割曲面所得的截交线来进行研究（1）用平行于XOZ的平面y=t截曲面，得到截交线为抛物线。截交线方程为：2

22a2t

2bx

=

2a z

+

y

=

t（2）用平行于YOZ的平面x=k截曲面，得到截交线为抛物线。截交线方程为：2

2a2

k

2b2

y

=

2a z

+x

=

t（3）用平行于XOY的平面

z=–h

截曲面，得到的截交线为双曲线。截交线方程为：x2

y22ha2

-

2hb3=

–1§15－5

用形数结合的方法求截交线F

(x,

y,

z)

=

0一、概述任意曲线可看成是两曲面的交线，它可由两已知曲面方程确定，是相贯线。F1

(x,

y,

z)

=

0

2如果其中有一个曲面为一次曲面，即平面时，则就是转化为求截交线的情况。设平面的方程为Ax+By+Cz=0，曲面的方程为F(x,y,z)=0，则的截交线的方程为：

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=

0F

(x,

y,

z)

=

0曲线上的点既满足平面方程又满足曲面方程。在该方程中分别消去参数z，y和x，则相应得到截交线在XOY，XOZ，YOZ坐标面上的投影方程二元二次方程类型的判定，为研究的方便，将二元二次方程写成Ax2

+

2Bxy

+

Cy

2

+

2Dx

+

2Ey

+

F

=

0DFD3

=

B2B

CA

B

DC

E

=

D

B D

+

E

D A

+

F

A BE

C

E E

B

B

CA

BD

= =

AC

-

B2二次曲线的三个不变量D1

=

A

+

C根据这三个不变量，即可对二次曲线的类型及所表示的曲线进行判定。二次曲线方程的类型判定分类类型及条件曲线形状最简方程有心曲线

D2

„

0D1D3

<

0椭圆（含圆）中心坐标K

x2

+

K

y2

+

D3

=

0D1D3

>

0虚椭圆B

Dx

=

C

E0

D2椭圆型D2

>

02式中K1，k2为方程K2-(A+C

K

+(AC-B2)

=0D3

=

0点D

A的两个根D3

„

0双曲线y

=

E

B双曲型D3

=

0相交两直线0

D2D2

<

0（实或虚）D2

=

0抛物型D2

=

0D3

„

0抛物线y2

=

2

px式中

-Dp

=

3D31D3

=

0平行两直线（实、虚、重合）Ax2

+

2Bxy

+

Cy2

+

2Dx

+

2Ey

+

F

=

0XYZPHαθO例15－1

试求平面与正圆锥的截交线如图15－7所示，设圆锥的顶点在坐标原点则有O，锥轴与Z轴重合，母线与锥轴的夹角为θ，则锥面的方程为：x2

+

y2

-

z2

tan2

q

=

0与锥面相截的平面P与Z轴的夹角为α，截距为H,则方程为y

=

(z

-

H

tan

a联立上述两方程即得截交线方程，将平面方程代入锥面方程，消去y，则得截交线在xoz坐标面上的投影方程：x2

+

(tan2

a

-

tan2

q

z2

-

2H

tan2

a

•z

+

H

2

tan2

a

=

0式中

A

=1,

B

=

0,C

=

tan2

a

-

tan2

q,

D

=

0,

E

=

-H

tan2

a

,

F

=

H

2

tan2

a2

2D1

=

A

+

C

=1+

tan

a

-

tan

q2B

CA

BD

= =

AC

-

B2

=

tan2

a

-

tan2

qD3

=

BA

B

DE

=

-H

2

tan2

a

tan2qE

F讨论：（1）当a

=q

时2

4D3

=

-H

tan

a

„

0D2

=

0故截交线为抛物线2

4D3

=

-H

tan

a

„

0故截交线为双曲线当

a

<

q

时2

2D2

=

tan

a

-

tan

q

<

0当a

>q

时2D

=

tan2

a

-

tan2

q

>

01

3D

D

=

-(1+

tan2

a

-

tan2

q

H

2

tan2

a

tan2

q

<0故截交线为椭圆（4）当

H

=

0

a

<

q

（截平面通过锥顶）时D3

=

0故截交线为相交于锥顶的两直线2

2D2

=

tan

a

-

tan

q

<

0（5）当a

=90

时故截交线为圆x2

+

y2

-

z2

tan2

q

=

0z

=

H§15－6

用形数结合的方法求相贯线一、结式法的基本概念曲面相贯线的方程为：F1

(x,

y,

z)

=

0F

(x,

y,

z)

=

0

2可将相贯线的方程写为：(1nnF1

(

x,

y

,

z

)

=

a0

(x,

y

z+

a

x,y+

a

(x,

y1mz

mF2

(

x,

y

,

z

)

=

b0

(x,

y+

b

(x,

yz

n

-1

+z

m

-1

++

b

(x,

yn,j

=0,1,

m其中ai

(x,

y

,bi

(x,

y

,(i

=0,1,是关于x，y的多项式系数设有Rz

(F1

,F2

=0

令其为(

)

(

)01z

1

2ma0

(x,

ya1

(x,

ya0

(x,

y)an

(x,

ya1

(x,

y)

an

(x,

y)a0

(x,

y)

a1

(x,

y)an

(x,

y)b

x,

yb

x,

yR

(F

,

F

)

=b

(x,

y)b0

(x,

y)

b1

(x,

y)

bm

(x,

y)m行n行b0

(x,

y)

b1

(x,

y)

bm

(x,

y)Rz

(F1

,F2

称为多项式F1，F2的结式，这是一个关于x，y的多项式系数。如果 是相贯线方程组的一组实数解，那么x0

,

y0,

z0x0

,

y0就是

Rz

(F1,

F2

=

0的一组根；反过来，如果x0

,

y0是

Rz

(F1

,

F2=0

的一组实根，那么相贯线方程组a0

(x0

,y0

=b0

(x0

,y0

=0

，或者存在一个实数z0使(x0

,y0

,z0的一组解。二、举例例15－4

试求具有公共对称面的正圆锥与斜圆柱的相贯线o'x'xyox1'αss'

z'设顶点s（0，0，4），底圆半径为2，圆y1心'

在坐标原点o。两轴线的夹角α＝45度。锥面方程为两坐标系的变换为同向变换，它保留V面，换掉H面。则点的新坐标为4

(x2

+

y2-(z

-

4)2

=

0圆柱在o

-x1

y1

z1中的方程为x2

+

y2

=11

11x1

=

x

cosa

+

z

sin

a

y

=

yz

=

-x

sin

a

+

z

cosa

1则柱面在o

-xyz

坐标系中的方程为(xcosa

+

z

sin

a

)2

+

y2

=1(x

+

z

)2

+

2

y2

-

2

=

0两曲面相贯线的方程为4

(x2

+

y2-(z

-

4)2

=

0(x

+

z

)2

+

2

y2

-

2

=

0改写为)2224

x

2

-

(z

-

4

)2=

0(1)

y

2

+4x

+

z

-4y

+=

0(2)

(令即=

0Ry

(1),

(2)

=

01

0

A

00

1 0

A1

0

B

00

1 0

B式中44x2

-(z

-

4)2A

=2(x

+

z

)2

-

2B=对行列式进行整理得2(2x2

-

3z2

-

4xz

+8z

-12

=

0(2x2

-

3z2

-

4xz

+8z

-12

=

0A

=

2,

B

=

-2