高数下第1讲之一数项级数

高等数学(B,II)(多媒体教案)主讲：张勤Tel:

E-mail:2无穷级数数项级数幂级数Fourier级数第6章无穷级数(Infinite

Series)函数项级数反常积分判敛第1讲：数项级数，反常积分判敛第2讲：幂级数，Fourier级数3引例1

当我们写出时，意味着…表示无穷多项相加。项越多，和与p越接近。4¥称上式为无穷级数，其中第

n

项

un

叫做级数的一般项.定义：给定一个数列

u1

,

u2

,

u3

,

,

un

,

将各项依次相加,

简记为un

,

即n=11.无穷级数的概念+

+

++=

+¥nn21212221

1

132n

=1引例2

无穷级数部分和12S

=

1

,21

1

32

2

4S2

=+

=

,31

1

1

72

2

2

8S3

=+

2

+

=11

1

12

222nnSn

=+

2

++ =

1

-1122nnn¥nfi

¥n=1=

lim

S

=lim(1

-

)

=

1nfi

¥问题：你认为+

+

++=

+¥nn21212221

1

132n

=1应该等于多少？¥

n

=

1

+

2

+

3

++

n

+n=1级数的部分和数列发散¥(-1)n-1

=

1

-

1

+

1

-

1

++

(-1)n-1

+n=17¥称上式为无穷级数，其中第

n

项

un叫做级数的一般项,级数的前

n

项和定义：给定一个数列

u1

,

u2

,

u3

,

,

un

,

将各项依次相加,

简记为un

,

即n=1则称无穷级数称为级数的部分和.收敛,并称S

为级数的和,记作8则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然注：9¥1.讨论级数

an

的敛散性，等价于讨论其部分和数列n=1{Sn

}的敛散性.2.若要讨论级数{Sn

}的敛散性，令an

=

Sn

-

Sn-1

(n

‡

2)¥a1

=

S1

,等价于

ann=1的敛散性.¥称¥

¥rn

=S

-Sn

=uk

为级数un

的余项，Sn

与S

之间k=n+1

n=1的误差可由

rn

来衡量

，由于

lim

Sn

=S

，故

lim

r

n

=0

，nfi

¥

nfi

¥这表明

n

越大

，

Sn与

S

之间的误差越小。3.当级数un

收敛时，部分和Sn

可作为和S

的近似值，n=1数列极限结论nfi

¥lim

xn

=0nfi

¥1.

lim

xn

=0

。若lim

xn

=a

，则"k˛

N+，有lim

xn+k

=a

。nfi

¥

nfi

¥lim

xn

=a

lim

x2n-1

=lim

x2n

=a

。nfi

¥

nfi

¥

nfi

¥数列{xn

}收敛于a

，则{xn

}的任一子列{xnk

}也收敛于a

。以上结论可直接引用。1

1=

1

-n(n+1)

n

n+1解：∵un

=，12

2

3

3

4n

n+1=(1-

1

)+(

1

-

1

)+(

1

-

1

)++(

1

-1)

=1-n+1，1n+1∵

lim

Sn

=

lim

(1-nfi

¥

nfi

¥)=1

，∴级数收敛，其和S

=1

。例1．判别级数¥1n=1n(n+1)的敛散性，若收敛，求其和。11

2 2

3 3

4n(n+1)∴

Sn

=

1

+

1

+

1

++=

，1-q

1-q（1）当q

<1

时，∵lim

Sn

=limnfi

¥

nfi

¥∴级数收敛。1-qa(1-qn

)=¥

，（2）当q

>1

时，∵lim

Sn

=limnfi

¥

nfi

¥∴级数发散。¥n=1例2．讨论等比级数aqn-1(a„0)的敛散性。21-qna,a(1-qn

)

a+aq

=

a(1-qn

)n-1n解：

S

=a+aq+aq

+,

q„1

，q=1综上可知，¥n=1n-1aq=

无和,q

‡1,

发散,

q

<1,

收敛1-qa。（3）当q

=1

时，①当q=1

时，lim

Sn

=lim

na

=¥

，故级数发散。nfi

¥

nfi

¥②当q=-1

时，Sn

=a-a+a-a++(-1)n-1

a

，0,若n

为偶数.a,若n

为奇数,S

=nn，故lim

Snfi

¥不存在，级数发散。2

3

4

n1

1

1

1例3．证明调和级数1+++++

发散。15结论：1n=1

n¥调和级数发散。解

考虑调和级数部分和数列{Sn

}的一个子列{S2k

}212S

=1+

14221

1

12

3

4S

=

S

=1+ +

+>1+

+

+

=1+

2

18231

1

12

4

4

21

1

1

15

6

7

8S

=

S

=

S4

+

+

+

+>1+

2

1

+

4

1

=1+

3

12

8

2…………11

112

222k2k

-1S

=

S

+++...

+>1+(k

-1)

1

+=1+

k

12k

-1

+12k

-1

+

2 2k

-1

+

2k

-12解：此级数为等比级数，公比q=ln2

=ln2

<lne

=1

，2∵q

<1

，∴级数收敛。ln21-

ln2∴

S

=

2

＝ln22-ln2。ln2

ln2

2

ln3

2例

4．判别级数

+

+

+

的敛散性，2

22

23若收敛，求其和。2数项级数收敛的条件定理1（级数收敛的必要条件）¥nfi

¥n=1若un收敛,

则

lim

un

=

0.¥证

明

：

设

un

=

S

，∵

un

=

Sn

-

Sn-1

，n

=1∴lim

un

=lim(Sn

-Sn-1

)=S

-S

=0

。nfi

¥

nfi

¥¥nfi

¥n=1若un收敛

lim

un

=

0

，¥n=1nfi¥即若

lim

un

„

0

un发散，nfi

¥¥n=1但

lim

un

=

0

un

收敛。例如调和级数¥1n=1n1n是发散的，而limnfi

¥=0

。例5．判别级数¥n

=1n

+

1nn

ln的敛散性。1(1+

1

)nnn+1n解：∵lim

un

=lim

nln=

lim

ln

=-1

，nfi

¥nfi

¥

nfi

¥∴级数¥n=1n

+1nnln发散。¥n=1¥6．1．3数项级数的基本性质性质

1

若级数

un

收敛，

其和为

S

，则对任意常数

k

，级数kun

也收敛，其和为kS

。n=1乘以非零常数不改变级数的敛散性。¥

¥性质

2

若级数

un

和

vn

都收敛，其和分别为

S

与T

，n=1

n=1¥则级数(un

–vn

)也收敛，其和为S

–T

。n=1两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。2

2

4

81

1

1如a1

=1,

q=

1

的等比级数1+

+

+

+

是收敛的，211-

1其和

S

= =2

，32

64

128减去它的前五项得到的级数

1

+

1

+

1

+

仍收敛

，16211-

1其和

S

=

32

=

1

。性质

3

在级数中去掉或加上有限多项，

不改变级数的敛散性。¥n=1性质

4

若级数un

收敛，则不改变它的各项次序任意¥添加括号后构成的新级数

vm

仍然收敛且其和不变。¥证明：设un

=S

，m=1v1

=u1

+u2

++un1

，n=1v2

=un1+1

++un2

，

，vm

=unm-1+1

++unm

，

，¥

¥级数un

和vm

的部分和分别为Sn

和s

n

，n=1

m=1则s1

=Sn1

，

s2

=Sn2

，

，

s

k

=Snk

，

，故{sn

}是{Sn

}的子列，从而当lim

Sn

存在时，lim

sn

必存在，且例如：级数(1-1)+(1-1)+

收敛于零，但级数1-1+1-1+

发散。nfi

¥

nfi

¥lim

sn

=lim

Sn

=S

，因此性质4成立。nfi¥

nfi¥注意：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数收敛。推论：如果加括号后的级数发散，则原级数也发散。1例如(¥n=1

2n+0.01)与¥n=1(-0.01)均发散，但逐项相¥¥1+0.01-0.01)=1加所组成的级数(n=12n=1

2nn

收敛。例7．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。（1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。解：说法不正确。（2）一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。解：说法正确。可用反证法证之。¥

¥假设un

收敛，vn

发散，n=1

n=1¥¥

¥n=1

n=1若(un

+vn

)收敛，则由级数的性质2可知，

n=1

vn

=[(un

+vn

)-un

]也收敛，这与假设矛盾，

¥故(un

+vn

)一定发散。n=1例8．判别下列级数的敛散性：（1）

1-lnp+ln

2

p-ln

3

p+¥解：∵(-1)n-1(lnp)n-1

是等比级数，公比n=1q=-lnp

，q

=lnp>lne=1

，∴原级数发散。（

2）32[n

n-(-1)

(

)

]4n(n

+1)¥n=1解：∵

¥2n=1n(n

+1)收敛；

¥4n=1n3

n

3(-1)

(

)

为公比q=-的等比级数，4q

<1

，收敛的；∴32[n

nn(n

+1)¥n=1-(-1)

(

)

]也收敛。4（

3）31

2nn[

+

]¥n=1解：∵

¥1n=1n发散，

¥32n=1n13是q=的等比级数，收敛，∴31

2nn[

+¥n=1]发散。（4）

¥nn+1n=1

(n+

n

)n；1

nnnn

nn)1n21

n

=

lim解：∵lim

un

=limn+

1nfi

¥

(n+

)

nfi

¥

(1+nfi

¥1=en2lim

[(1+

1

)n2

]nnfi

¥nlim

n

nnfi

¥1

=

0

=1„0

，∴级数¥nn+1n=1

(n+

n

)n发散。1

n（5）¥1n=1-(5n-4)(5n+1)1

=

1

1

1(5n-4)(5n+1) 5

5n-4

5n+1解：un

=-)1

16

6

115

5n-4

5n+1

∵

Sn

=1

(1-

1

)+(

1

-

1

)++(1=

1(1-5

5n+1)

，15n+1

5nfi

¥

5∴

lim

Sn

=

lim

1(1-nfi

¥)=

1

，∴级数收敛，其和为1

。522

2n(6)1

+

1

+

+

1

+

2

+2

k

3

32

+

+

3n

+小结：本节判定级数敛散性的思维程序等比级数¥

q

‡1,发散aqn=1n-1

q

<1,收敛¥级数unn=1nfi

¥lim

un

„0发散lim

un

=0,

不一定收敛.nfi

¥利用级数的基本性质判定其敛散性利用级数收敛和发散的定义判定其敛散性作

业习题一（P7）3

（1）（2）（3）（裂项相消）（4）（5）（6）；5

（裂项相消）6（考察部分和数列的极限）34一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛6.1.4常数项级数的审敛法第六章35¥n=1收敛部分和序列定理3.

正项级数有界.收敛,∴部分和数列有界,

故又已知故有界.一、正项级数及其审敛法若

un

‡

0,

则称un

为正项级数

.单调递增,收敛,从而也收敛.证:““”若”定理7（积分判别法）设（1）

f

˛

C[1,+¥

)，f

‡0

且单调递减；（2）

un

=

f

(n)(n

=1,2,)

，则反常积分+¥

f

(x)dx

收敛或发散时，1¥正项级数un

也随之收敛或发散。n=136例2．判别下列级数的敛散性。（1）

¥1p

(

p>0)

；n=1n解：（1）

un

=

1

，取

f

(

x)=

1

，n

p

x

p则f

(x)在[1,+¥

)上非负，连续，单减。∵当p>1时收敛.+¥

1

dx=当p£1时发散,1xp∴

37¥1n=1np

，当p£1

时发散；当p>1

时收敛。¥当p£1时,

发散

.1

当p>1时,

收敛

,p

级数n=1

np

结论P

积分1当p>1时收敛.+¥

1

dx=当p£1时发散,x

p38393）

¥21n=1(n+1)ln

(n+1)。11解：

un

=

，取

f

(

x)=，(n+1)ln2

(n+1) (

x

+1)ln2

(

x

+1)则f

(x)在[1,+¥

)上非负，连续，单减。∵

1

ln2=+¥1+¥1

1

ln(

x

+1)dx

=-

1

(

x

+1)ln2

(

x

+1)，∴+¥1

1

(

x

+1)ln2

(

x

+1)dx

收敛，从而40¥21n=1(n+1)ln

(n+1)收敛。定理4（比较判别法）¥

¥n=1

n=1¥

¥若vn

收敛，则un

也收敛；n=1

n=1¥

¥若un

发散，则vn

也发散。n=1

n=1设有正项级数un

和vn

，且un

£vn

(n=1,2,)41¥

¥42推论：设un

和vn

都是正项级数，若存在常数n=1

n=1C

>0

，N˛

N

+，使当n‡N

时恒有un

£Cvn

成立，则¥

¥由

vn

收敛

un

收敛；n=1

n=1¥

¥由

un

发散

vn

发散。n=1

n=1用比较审敛法判定正项级数是否收敛时，常用等比级数和p

级数作为比较级数。43（

1）

¥1n=1

2n-n1

12n-12n

-n∴

£

(

n=1, 2,

)，而1221是公比为¥n=1n-1的收敛的等比级数，∴

44¥1n=1

2n-n收敛。例3．判定级数的敛散性：解：（1）∵2n

-n=2n-1

+(2n-1

-n)‡2n-1

，自习¥1（2）

n=1n(n+1)解：∵11>n+1n(n+1)（

n=1,

2,

），而=

+

++¥11

1

1n+1n+1

2

3n=1+

，发散，¥451∴

n=1n(n+1)发散。（3）¥n=1

01ndx1+

xx0302

1231113

n

2xx

2

n

=xdx=0

1+

xdx£

n解：∵un

=

n3

，¥1n=1

n

2而3

收敛，∴46¥n=1

01n1+

xxdx

收敛。自习1(4)nn¥2

+

3n=1(5)

1

ln

n¥n=211,<2n

+

3n

2解1n¥n=1

2n

收敛1nn¥\2

+

3n=1收敛解ln

n

<n,

1

>

11¥n=1

nln

n

n1¥n=2

ln

n发散\发散

1

¥(6)1

1n!

2n-1<解

1

2n=1

n!¥n-1n=1收敛1n!¥\n=1收敛47复习：不论a,b

是什么样的正数，总有b(ln

x)axlimxfi

+¥=

0上册P94

例2（3），定理4

（比较判别法的极限形式）设n

¥

¥n=1

n=1nv48nunu

和

v

均为正项级数，且

limnfi

¥=L

，则¥

¥当0

<L

<+¥

时，un

与vn

具有相同的敛散性；n=1

n=1¥

¥当L

=0

，且vn

收敛时，un

也收敛；n=1

n=1¥

¥当L

=+¥

，且vn

发散时，un

也发散。n=1

n=1极限形式的比较判别法在两个正项级数的通项均49趋向于零的情况下，其实是比较两个通项作为无穷小量的阶。它表明：当nfi

¥

时，如果un

是比vn

高阶或¥

¥是与vn

同阶的无穷小，而级数vn

收敛，则级数unn=1收敛；如果un

是比vn

低阶或是与n=1vn

同阶的无穷小，¥

¥而级数vn

发散，则级数un

发散。n=1

n=1例4．判别下列正项级数的敛散性¥sin1

2（

1）

n=1n

n解：对级数的通项先作分析：1

sin

22nnfi

¥¥n=1n∵lim

n n

=1

，而

2

发散，¥2sin1∴

n=1nn发散。2当

nfi

¥

时，

sin

2

～ ，从而n

n1

sin

2

～n

nn502

。（2）nln13n+2n+1¥n=1对级数的通项先作分析：1

1

n+2

2

2当

nfi

¥

时，

3

n+1

～

3

n

，

ln

n

=ln(1+

n

)

～

n

，从而

1

ln

n+2

与

1

同阶。3

n+1

n

n

341ln(1+

2

)=

lim

31nnn+13

n

4n

3n1

ln

n+23

n+1nfi

¥解：∵limnfi

¥=2

，∴nln13n+

2n+1¥n=1收敛。¥511而n=1n

34

收敛，¥（3）

n=1lnnnfi

¥nlnn解：∵limnfi

¥n

=

lim

lnn=+¥

，而¥n=11n发散，¥52∴

n=1n1nln

n发散。为了便于使用比较判别法，需了解下列无穷大之间的关系，它们按照阶由低往高排列为：lna

n

，

nb

，

an

(a>1)

，

n!

，

nn

，其中(a>0,

b>0)

。（4）

¥3n=1

n

2lnn3

1

5n

2

n

4

n

4lnn

lnn

1n=解：

∵

u

=，11n

4nfi

¥

nfi

¥∴

lim

un

=

lim

lnn

=0

，而¥55n

41n=1

n

4收敛，故¥3n=1

n

2lnn收敛。复习：不论a,b

是什么样的正数，总有b53(ln

x)axlimxfi

+¥=

0上册P94

例2（3）¥n=1nnfi

¥uun+1设un

为正项级数，若lim=r

，则¥（1）当r<1时，un

收敛；n=1¥（2）当r>1

时，un

发散；n=1¥（3）当r=1

时，un

可能收敛也可能发散。n=1定理5（比值判别法，达朗贝尔判别法）54例5．判定下列正项级数的敛散性。¥p3n=1n（

1）

2

tan

n

；nnu32

tanpp2n+1tannfi

¥

n解：∵lim

un+1

=limnfi

¥32pp3n+1

=

limn3n+1nfi

¥2=

3

<1

，¥55p3∴级数

2n

=1ntan

n

收敛。¥

5

nn=1

n（

2

）

5

；unnfi

¥5

n解：∵

lim

un+1

=

limn+1

5nfi

¥

(n+1)5

5n（

3）

¥n=12

5

8(3n

-1)，1

5

9(4n

-

3)3n解：∵

lim

un+1

=

lim

3n+2nfi

¥u

n

=

<1

，fi

¥

4n+1

4∴原级数收敛。n+1=

lim

5(

n

)5

=5>1,nfi

¥¥

5n56n=1n∴级数

5

发散。例6．讨论级数¥nxn

!(

)nn

=1(x

>0)的收敛性。x

nunn

!(

)nx

)n+1nfi

¥

nfi

¥(n+1)!(exxnfi

¥1

n(1+

n

)∵

lim

un+1=

lim

n+1

=

lim=

，e∴当

x<e

，即

x

<1

时，级数收敛；e57当x>e

，即x

>1

时，级数发散；当x=e

时，比值法失效。n=(1+

1

)n(1+

1

)nen

nxun∵

(1+

1

)n

<e

，∴

un+1

=>1

(n=1,

2,

3,

,)

，故lim

un

„0

，所以级数也发散。nfi

¥un

un58nfi

¥例6说明，虽然定理3对于r=1的情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在lim

un+1

=1

的过程中，un+1总是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的。定理6（根值判别法，柯西判别法）¥n=1nfi

¥设un

为正项级数，且lim

n

un

=r

，则¥（1）当r<1时，un

收敛；n=1nfi

¥59¥n=1（2）当r>1时（或lim

n

un

=+¥

）时，un

发散。（3）当r=1时，不能判别。例7．判别下列级数的敛散性。（1）

¥n=1

(ln

2)narctan

n；1(

)2(ln2)p

0nnfi

¥n解：∵limnfi

¥arctannun

=

lim

n=

ln2

=ln2

>1

，∴

60¥n=1

(ln2)narctan

n发散。（2）(¥)

(a>0)ann+1n=1nnfi

¥

nfi

¥n+1

nfi

¥

n+1解：∵

lim

n

un

=

lim

n

(

an

)n

=

lim

an

=a

，∴当a<1

时，级数收敛；当a>1

时，级数发散；当a

=1

时，根值判别法失效。e61nn+1n

1nfi

¥

(1+

1

)n)n

=

lim但∵lim

un

=lim(nfi

¥

nfi

¥=

1

„0

，∴当a

=1

时，级数发散。3¥（

）

2n=1-n-(-1)n1nn=

lim

2nfi

¥n(-1)n-n-(-1)n

=

lim

2-1-nfi

¥解：∵lim

n

u=

2

<1

，¥nfi

¥∴

2n=1-n-(-1)

n收敛。可以证明，凡是能用比值判别法判定其敛散性的级数必能用根值判别法判别其敛散性，反之未必。n+162=

lim

2-1+2(-1)nfi

¥2-n-(-1)n2-(n+1)-(-1)n+1对上例：lim

n+1

=

limnfi

¥

nfi

¥unu不存在，可见比值判别法失效。作

业习题二（P16）1（2）（3）（5）；2（2）（4）；3（2）（3）；4（1）（3）（5）（7）（9）；7

；8

（参见习题课教程P181）；9。63¥¥二、变号级数及其判敛法（一）交错级数及其判敛法形如(-1)n-1

un

=u1

-u2

+u3

-u4

++(-1)n-1

un

+,n=1其中(un

>0,n=1,2,)的级数称为交错级数。定理6（莱布尼兹判别法）若交错级数

(-1)n

-1

un

(un

>0)满足条件：n

=1（1）un

‡un+1（2）

lim

un

=0(n=1,2,)

；；nfi

¥则该交错级数收敛，且其和S

£u1

，余项rn

满足rn

£un+1

。¥（1）

(-1)n=1n-11n1+n

n+1解：∵un

=1

>=un

1

(n=1, 2,

)

，nfi

¥

nnfi

¥且

lim

un

=

lim

1

=0

，¥n-1

1∴(-1)

n

收敛。n=1例1．判定下列交错级数的敛散性：¥n=12n2（2）

(-1)n+1

n

!n

n

nnfi

¥

nfi

¥1

2n2

2=

lim

2nfi

¥n!解：∵

lim

un

=

lim

2n

2=¥

，¥2n2∴(-1)n+1

发散。¥2n=1（

3）

(-1)n=1nn!n-1

2n

-1解：设f

(x)=2

x-1

，则f

(n)=un

=2n-1

，x

2

n2x

3∵

f

¢(

x)=

2(1-

x)

£0 (

x£1

)

，自习n2nfi

¥

nfi

¥又∵lim

un

=lim

2n-1=0

，¥2∴级数

(-1)n=1nn-1

2

n

-1收敛。∴

f

(

x)

在[1,

+¥

)

内单调减少，2+

n

即

un

‡un+1

(n=1,

2, 3

,

)

，从而{f

(n)}=

2n-1

(n˛

N)单调减少。判定{un}单调减少的方法：un差值法：判定un+1

-un

£0

；比值法：判定un+1

£1

；（3）导数法：设un

=f

(n)，判定在[a,+¥

)内f

¢(x)£0

，从而f

(x)fl

，则当n

足够大时，un+1

£un

。（二）绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛n

=1若级数

un¥

¥收敛，

则称原级数

un

绝对收敛。n

=1¥

¥定理

7

若

un

收敛，则un

必收敛。n=1

n=1¥¥n=1un

=u1

+u2

+u3

++un

+

（1）n=1

un

=

u1

+

u2

+

u3

++

un

+

（2）¥

¥

un

收敛

un

收敛；n=1

n=1¥

¥但

un

收敛

un

收敛；n=1

n=1¥例如：(-1)n=1n-1

1n收敛，但¥n=11n发散。¥n=1若用比值判别法或根值判别法判断出

un发散时，

¥则可断定un

也发散。n=1¥4例2.证明级数n=1nsin

na绝对收敛。证明：∵

sinna

£

1

，n4

n4¥4∴

n=1nsin

n

a也收敛，

¥4故n=1nsin

na绝对收敛。而p

级数¥1n=1n4

收敛，¥22例3.判别级数

(-1)n=1n(

n-1)n

2n

的敛散性。¥22解：

(-1)n=1

2n=1¥

n2n(n-1)

2nn

=

n

，22nfi

¥n

=

lim∵

limnfi

¥(n

n

)2

1n

n2=

2

<1

，n=12¥

n2¥22∴

n

收敛，故(-1)n=1n(n-1)

2nn

绝对收敛。2．条件收敛¥

¥n=1若级数

un

发散，但级数

un

收敛，¥n=1则称级数un

为条件收敛。n=1例4.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛。（1）nna(-1)

(1-¥n=1cos

)（常数a>0

）n解:设un

=(-1)n

(1-cosa

)，a当nfi

¥

时，un

=1-cos

n

～12a

2，n2故nna(-1)

(1-cos¥n=1)绝对收敛。2121-cosanfi

¥∵lim

n

=a

，而¥n21n=1

n2

收敛，∴¥a(1-cosn=1n)收敛，∴

¥n=1lnnnn

ln

n¥n=1（

2）

(-1)nn

lnn¥n=1也发散，故(-1)n非绝对收敛。设f

(x)=ln

x

，x¥¥=解：

(-1)n=1n=1nlnnnn

lnn，nnfi¥

nfi

¥n1lnn∵

lim¥1n=1n=

lim

lnn=+¥

，而

发散，2x1

x

-

ln

x∵

f

¢(

x)=

xx

=

2-ln

x

<0, (

x>e2

)

，2

x

x∴f

(x)=ln

x

在(e

2

,+¥

)内单调减少，x

n

故{f

(n)}=

lnn

当n‡8

时也单调减少，1x1又∵

lim

ln

x

=

lim=

limxfi

+¥

xxfi

+¥

x

xfi

+¥nfi

¥

n2

=0

，∴lim

lnn

=0

。由

Leibniz

法可知，nn

lnn2

x¥n=1(-1)收敛，且为条件收敛。nn=1

n=1n

n

n¥

¥

¥n=1证：（

1）∵a

2

和b

2

都收敛，∴(a

2

+b

2

)也收敛。∵

a

2

+b2

‡2

a

b

‡0

，n

n

n

n¥∴

由比较判别法知2

anbn

收敛，¥n=1n=1再由级数的性质

1

得

anbn

收敛。¥

¥n=1

n=1n

n例5．如果a2

和b2

都收敛，证明下列级数都收敛：2n=1

n=1¥

¥（1）

anbn

；

（2）

(an

+bn

)¥n=1an；（3）

n

。n

n¥

¥n=1

n=1（2）∵

(an

+bn

)2

=

(a

2

+b

2

+2anbn

)

，¥

¥n=1

n=1n

na2

和b2

都收敛，¥n=1¥又由（1）知2anbn

绝对收敛，∴由级数的性质2可知(an

+bn

)2

收敛。¥

¥

¥n=11n=1

n=1

n=1n

nn2（3）∵a2

和b2

=都收敛，¥

¥n=1n=1an∴由（1）得

anbn

=

n

收敛。¥n=1n（1）设常数l>0

，且级数a2

收敛，¥则级数(-1)n=1nn2

+lan（）（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与l

有关。例6．选择题¥解：为了把(-1)n=1nn2

+lan¥2n=1与an

联系起来，2利用不等式ab

£1(a2

+b2

)，1n2

+l=

an2

+lnan(-1)n212n2nnn2

+l£1(a2

+)<1(a2

+

1

)

，2∵an

与¥

¥1n=1

n2

收敛，∴11222n=1¥n=1nn(a

+)收敛，从而¥2(-1)n=1nn

+lan绝对收敛，故应选（

C

）。¥

¥n=1

n=1（2）若级数an

与bn

都发散，则（）¥

¥¥（A）

(an

+bn

)发散；n=1（C）

(an

+bn

)发散；¥（B）

anbn

发散；n=1（D）

(an2

+bn2

)发散。¥

¥n=1

n=1¥否则，由

an

£

an

+

bn

就推出an

收敛，n=1与题设矛盾，则应选（C）。n=1

¥

n=1n=1解：∵

an

与

bn

都发散，

∴

(

an

+

bn

)

必发散。（A）、（B）、（D）不对。例如：n=1与1

1n¥

¥n=1n(-)都发散，¥

¥1

1n=1n=1n

n但

(

-

)=

0

收敛；¥¥211

1( )

(-

)=-n=1n=1nn

n收敛；¥¥221

2

1

2(

)

+(-

)

=n=1n=1nnn收敛。n（3）设

un

=(-1)n

ln(1+

1

)

，则级数（

）n=1¥

¥n=1n（A）

un

与u2

都收敛；¥

¥n=1

n=1n（B）

un

与u2

都发散；n=1¥

¥n=1n（C）

un

收敛而u2

发散；n=1¥

¥n=1n（D）

un

发散而u2

收敛。¥11)>ln(1+解：un

是交错级数，ln(1+n=1n+1n)

，1nlim

ln(1+nfi

¥¥)=0

，则un

收敛。n=1nnn

n当nfi

¥

时，

u2

=ln2

(1+

1

)

～

(

1

)2

=

1

，而¥n=11n发散，则¥2n=1

nu

发散。故应选（C）。¥n=1例7．设正数列{un

}单调减少，且级数(-1)n

un

发散，试证¥1n=1nnu

+1(

)

收敛。nfi

¥证：∵正数列{un

}单调减少，un

‡0

，∴{un

}必收敛，设lim

un

=A

，则A‡0

。¥n=1∵(-1)n

un

发散，∴lim

un

=A„0

，否则与Leibniz

判别法矛盾。11

1A+1nfi

¥

un

+1)n

=

lim

=un

+1nfi

¥∵

lim

n

(nfi

¥<1

，∴¥+11n=1nnu(

)

收敛。例8.数项级数判敛法的思维程序¥已给级数un

(1)n=1nfi

¥lim

un

=0

?否(1)发散(1)是否为正项级数否(1)是否为交错级数否定义法或绝对收敛判别法是是分析通项特点比较判别法比值判别法根值判别法积分判别法是莱布尼兹判别法极限式直截式作

业习题二（P17）5（1）（3）（5）（7）（8）（9）；6

；10

。1．反常积分无界函数的反常积分复习：

无穷限的反常积分2．P

积分89(a>0)+¥a

dx

x

p当p>1时收敛；当p£1时发散。（上册P203

例5）3.

q

积分

b

dx

及

b

dx

(a<b)a

(

x-a)q

a

(b-

x)q当q<1时收敛；当q‡1

时发散。（上册P204

例8P205

习题十，2则（1）当+¥ag(x)dx

收敛时，+¥

f

(x)dx

也收敛；a（2）当+¥af

(x)dx

发散时，+¥ag(x)dx

也发散。法1：利用反常积分的定义。法2：利用反常积分的判敛法。定理1(比较判别法)设

f

(

x),

g(

x)˛C[a,+¥

)，且0

£

f

(

x)

£

Mg(

x)

（

x˛[a,+¥

)

）§6.2

反常积分判敛法9091-x+¥02e dx

称为概率积分，利用重积分的知识可得2

p2+¥0e

dx

=-x。例1

试证概率积分+¥02e

dx-

x收敛。+¥11022e

dxe dx

+-

x-

x证+¥02e

dx

=-

x定积分+¥12-

x+¥1+¥1=e-1

,收敛，e-

x

dx

=

-e-

x当x

˛

[1,+¥

)时，2e-

x

£

e-

xe

dx收敛。

概率积分+¥02e

dx-

x收敛。例2．判别下列反常积分的敛散性：（1）dx+¥1x21sin解：∵

0<sin

1

<

1

，而x2

x2x

2+¥11

dx

收敛，∴1sinx

2+¥1dx

收敛。（2）+¥01+

x

sin

x

dx

解：∵

1

1

1+

x

sin

x

1+

x‡ >0

，而=+¥+¥0+¥0=ln(1+

x

)

dx

1+

x，∴+¥0

dx

1+

x发散，故+¥01+

x

sin

x

dx

也发散。92定理2(极限判别法)设

f

(

x)˛C[a,+¥

)

，

f

(

x)‡0

，且

lim

x

p

f

(

x)=l

，则xfi

+¥（1）当p>1

，0£l

<+¥

时，+¥af

(x)dx

收敛；（2）当p£1

，0<l

£+¥

时，+¥af

(x)dx

发散。由于+¥a

dx

x

p(a>0)当p>1时收敛；当p£1时发散，因此x

p93在定理

1

中取

g(

x)=

1

，即可得反常积分的极限判别法。（1）+¥1x

arctan

xdx解：∵23

x4

+15x43

x4

+1xfi

+¥

3

1+

1lim

x

6xfi

+¥x

arctan

x

=

lim

arctan

x

=p

，6

25p(

p=

<1,