成对力保守力势能

关于成对力保守力势能第1页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

在元位移

中，重力所做的元功是

第2页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体所经历的路径无关。

设物体沿任一闭合路径运动一周，重力所作的功为：第3页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。第4页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

如用矢量点积的方法描述重力的功，则更方便。

此式表明重力的功只决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关。dAmgdydr===P·(+mgj).(dxidyj)yx0yyaabbdrPmgdyyy==()Aabmgmgybya沿任意闭合路径一周

保守力作功为零：第5页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三2.弹性力的功

弹簧劲度系数为k

，一端固定于墙壁，另一端系一质量为m的物体，置于光滑水平地面。XOXxbOxax设

a、b

两点为弹簧伸长后物体的两个位置，xa

和

xb

分别表示物体在a、b

两点时距

0

点的距离。ab第6页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三XxbOxax

由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。第7页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三3.

万有引力的功

两个物体的质量分别为M和m，它们之间有万有引力作用。M静止，以M为原点O建立坐标系，研究m相对M的运动。第8页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三MmrrGabF=2rFmrabM第9页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三MmrrGabθF==dA2Fdr.rdrFmrdrabM第10页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三cosMmMmrrrGGabsinθθF====()dA22FFdr.90+0θrdrFMmrdrab第11页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三cosMmMmMmMmrrrrGGGGabsinθθF=====()))(([]dAA2222FFdr.90+0θdr==rraabbdrrGMmGMmrrrdrFMmrdrab第12页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三万有引力的功

由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。第13页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三重力、万有引力、弹性力都是保守力摩擦力不是保守力记住

保守力的判据是：第14页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三二、成对力的功

设有两个质点1和2，质量分别为和，为质点1受到质点2的作用力，为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。第15页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力及相对位移有关，而与每个质点各自的运动无关。表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质。第16页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关。

表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质。第17页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三根据这一特点，就可以按下述方法计算一对力的功：例如，质量为m的物体在地面以上下落高度h时，重力及其反作用力所做的功为mgh.认为一个质点静止而以它所在的位置为坐标原点，再计算另一个质点在此坐标系中运动时它所受的力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就是相应的一对力所做的功之和。第18页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三每对内力所做功并不一定为零

有人认为作用力和反作用力大小相等、方向相反，因此，系统内力的功的代数和必等于零，这是错误的！第19页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。三、势能几种常见的势能：重力势能弹性势能万有引力势能第20页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三

涉及重力势能时，一定要将地球列入系统。重力势能是指质量为m的物体与地球所组成的系统拥有的重力势能，而不属于其中个别的物体。并设质量为m的物体在地球表面时，系统的重力势能为零。注意上述公式的适用条件：第21页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三设弹簧为原长时弹性势能为零。弹性势能即:式中x代表弹簧的绝对变形量.第22页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三万有引力势能上述公式成立条件：两物体质量分别为M和m，两者间的距离为r,并设两者间的距离为无穷远时引力势能为零。第23页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三此时的引力势能应等于把质点m从目前位置移动到无穷远处(引力势能为零处)万有引力所做的功。第24页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三注意

万有引力势能是由质量分别为M和m两物体组成的系统所共同拥有的。第25页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三保守力的功

上式的意思是，系统在由位置a

改变到位置

b时，成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。第26页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三注意：

（1）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。（2）物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。第27页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三势能属于保守力相互作用系统,是由相对位置决定的函数.上式的意思是，系统在由位置a

改变到位置

b时，成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。第28页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三空间某点的势能是相对零势能点的,数值上等于由该点移动到势能零点时,保守力所作的功.令b点的势能为零第29页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三CalculationoftheforcefrompotentialenergyTheworkdonebytheconservativeforceonanobjectcanbemeasuredasthedecreaseofthepotentialenergyoftheobjectintheconservativefield:dW=F∙dr

=Fxdx+Fydy+Fzdz=–dUThemathematicalexpressionofthetotaldifferentiationofthepotentialenergy第30页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三4.势能曲线重力势能弹性势能引力势能第31页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三势能曲线的作用：

（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。

（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。设系统内的物体在保守力F的作用下，沿x轴发生位移dx时，保守力作功第32页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三势能曲线的作用：

（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。

（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。

表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。第33页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三例题3-1

一质量为m=1kg的物体，在保守力F（x）的作用下，沿x轴正向运动（x>0）。与该保守力相应的势能是式中x以m为单位，势能以J为单位a=1J·m2,b=2J·m

。a）画出物体的势能曲线；b）设物体的总能量E=-0.50J保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。第34页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三例题3-1一质量为m=1kg的物体，在保守力F（x）的作用下，沿x轴正向运动（x>0）。与该保守力相应的势能是式中x以m为单位，势能以J为单位a=1J·m2,b=2J·m

。（a）画出物体的势能曲线；（b）设物体的总能量E=-0.50J保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。解（a)

根据取下列数据来画出势能曲线第35页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三x/mEp(x)/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.55-0.44234现在，用式（3-8）求物体的平衡位置令F=0,解得x=1m

，这就是物体的平衡位置，在该点，势能有极小值，如图所示。-10121234x/mEP/J第36页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三（b）当物体的总能量E=-0.50J保持不变时，令Ep(x)