2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：【例1】因式分解．【解析】提取公因式，原式=．【变式】因式分解．【解析】提取公因式，原式=．【例2】计算．【解析】原式=．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知，，则________．【答案】【解析】∵m+n=4，mn=-5，∴m2n+mn2=mn（m+n）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：；【答案】【解析】：；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a2－b2=__；（平方差公式）（2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（两个数））（3）a3±b3=__； （立方和差公式）（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解．【解析】法一：原式=法二：原式=．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a2−16a+16；【答案】(1)4a−22；【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为a2（1）解：4=4a（2）解：a=a=x−y=x−y【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【答案】（1）（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；（2）（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a9＋b9＝（a3）3＋（b3）3＝（a3＋b3）（a6−a3b3＋b6）＝（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；（2）因式分解：a6−b6＝（a2）3−（b2）3＝（a2−b2）（a4＋a2b2＋b4）＝（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a6＋b6=（a2＋b2）（a4−a2b2＋b4）＝[（a＋b）2−2ab][（a2＋b2）2−2a2b2−a2b2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解．【答案】原式=．【解析】原式=【变式2】分解下列因式 (1) (2)【解析】：(1)(1)【变式3】分解因式：(1) (2)【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．(1) (2) 三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【答案】(1)(x-y)(x+6y)(2)(x-3a)(x-a-2)(3)(x+a-3b)(x-a-2b)(4)(20182x2+1)(x-1)【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a2+6a改写成−3a−（3）先化简，将ab+6b2−（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=x=(x-y)(x+6y)；(2)解：原式=x=(x-3a)(x-a-2)；(3)解：原式=x=x=x=(x+a-3b)(x-a-2b)；(4)解：原式=2018x=2018=2018=(20182x+1)(x-1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：．【方法探究】对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．所以例如，分解因式：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【答案】(1)（x－2）（x－3）(2)（2x＋3）（5x－7）(3)（x－1）（x－3）【解析】(1)=（x－2）（x－3）．(2)=（2x＋3）（5x－7）．(3)==（x－1）（x－3）．【变式1】将下列各式分解因式；（2）．【解析】（1）原式=；（2）原式=．【变式2】（1）；（2）．【答案】（1）原式=；（2）原式=．【变式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【解析】：(1)． (2)【例7】（提高型）：分解因式.【解析】设=，∵=，∴=，对比左右两边相同项的系数可得，解得.∴原式=.【变式】（1）；（2）.解：原式=原式=分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）；（2）．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展应用】已知：，．求：的值．【答案】（1）；（2）；【拓展应用】．【详解】（1）（2）【拓展应用】∵，，代入得：原式=．将下列各式分解因式（1）；（2）．【答案】（1）原式=（2）原式=【解析】（1）原式=；（2）原式=．【例9】分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===．或===．【变式】（1）；（2）．【答案】（1）原式=（2）原式=．【解析】（1）原式=（2）原式=．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于．解法一：设，则原式；解法二：设，，则原式．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求证：多项式的值一定是非负数．【答案】(1)（1）(2)(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设，则原式；方法二：设，则原式；(2)解：设，则原式；(3)解：，设，则原式，∵，∴，∴多项式的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）；【答案】原式=（2）【解析】原式=．．【变式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1【解析】（1）原式=；（2）原式=．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)原式＝＝＝＝；＝＝．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数能表示成（a，b是正整数，）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解，例如，所以是“明礼崇德数”与是的平方差分解；再如：(为正整数），所以也是“明礼崇德数”，（）与是的一个平方差分解．(1)判断“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知与是的一个平方差分解，求代数式P；(3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的值，并说明理由．【答案】(1)是(2)(3)k=-19【解析】(1)解∶∵，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：；(3)解：∵是“明礼崇德数”，∴19+k=0，∴k=-19．【例题13】．已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵，又，，∴，，∴【变式1】．（1）因式分解：．（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式==x+1；（2）原式=，当时，原式=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为x＋n，依题意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比较系数得：，解得．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2