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文档简介
“数的整除性”美在何处?
数学家揭示了美的数学概念和逻辑结构,但是数学美却不象艺术美那样外显,它是美的高级形式,是理论思维与审美意识交融的产物。对于学生来说,由于受年龄、知识水平、审美能力的限制,很难把数学中的美的真正意蕴充分体味出来。为把数学的教学过程变为数学的审美过程,这就对教师提出了一个非常现实的问题:必须深入发掘、精心提炼数学教材中的美育因素,要对教材进行一番分析概括和生动直观的整体性认识,使教材内容成为教师脑海中非常直观浅显的东西,才能不失时机地引导学生去体会数学中内蕴的美的独特品质。为此,本文针对小学五年级教材“数的整除”一章,具体剖析数学美的表现。
一、结构美:法国数学家庞加莱说:“数学的结构美是指一种内在的美,它来自各部分的和谐有序,并能为纯粹的理智所领会,可以说正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架,……。”“数的整除”一章是《初等数论》中的一部分,为了照顾小学生的年龄特点,在教材中进行了简化处理,但其整体结构还是非常完美的,如下图:
(附图{图})
由图看出:本章以倍数、约数为核心构建了知识的结构美。著名数学家华罗庚说,善于退,退到最原始的而不失重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。教师在教学中应把核心知识打牢,把用处最多的最大公约数、最小公倍数练熟,在学生的头脑中形成完美的知识结构,这样就为学生学习后面的知识打了坚实的基础。
又如:将60分解质因数
(附图{图})
这种分解法,逐层展示60内部的结构美,层次清楚,操作方便,同时又显现出简洁美。
二、语言美:本章汉语言的叙述极其概括严密、简洁、有序,给读者以美的感受。如本章开头仅用108个字就把自然数、0、整数的概念及“数的整除”所研究的数交代清楚,深入体味,这108个字就给人们以简洁、有序的和谐美感。
我国古代常用形象的语言去描述概念,借助生动的比喻去理解题意。明代程大位在《算法统宗》里用四句优美的诗来表达“韩信点兵”问题的解法,诗曰:
“三人同行七十稀,
五树梅花廿一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知。”
这首优美的诗,把枯燥的数字,赋在人和美丽的梅花上;又把70与成语,15与月半,巧妙地联系在一起,语言通俗生动,朗朗上口的韵律,既有音乐之美,又有记忆之效。反映了数学语言美的感染力。
数学符号系统是一种世界公认的特殊的数学语言。本章11处用圈代表韦恩图,借助韦恩图渗透集合思想,并把运算过程扼要地表现出来,是语言美的精彩之处。古希腊毕达哥拉斯学派,把均衡与对称作为美的主要标准,他们把圆或椭圆视为最完美的几何图形,因为它们的简单性、整齐性、对称性,给人以美感。因此,本章用圈代表韦恩图也体现了数学形态美。
三、方法美:美的数学方法是指在解决复杂问题中,体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇。本章为了照顾小学生的年龄特点,均采用了由例子引出定义、由例子引出方法、由例子引出定理的观察法。在逻辑方法上,叫不完全归纳法。这样符合学生的认识规律,使学生在具体、形象、生动的审美感受中,愉快地接受了数学理论。教师要首先体味教材中的方法美,再适当补充些类似的例子,帮助、引导学生自己去归纳、总结、发现其中的规律。提高学生学习数学的兴趣,使枯燥无味的数学教学变成生动活泼的审美过程。
例如:整除的定义、质数与合数、质因数、公约数、公倍数的定义,都是在充分观察例子的基础上,然后给出定义。
在分析例子的基础上,归纳得出分解质因数的方法,求最大公约数的方法,求最小公倍数的方法。
尤其精彩的是:本章借助韦恩图,将自然数乘以2、5、3得到一个新的集合,渗透了集合、逆推、映射思想,设置了观察能被2、5、3整除的环境。这样既避免了繁琐的逻辑推理,又便于学生观察、归纳、总结出能被2、5、3整除的数的特征,是一种很美妙的方法。请看:右边圈里的数,个位数有什么特征。
(附图{图})
图中的省略号,开启学生的想象力,体现有限与无限的统一美。
为了形象、直观地表示最大公约数、最小公倍数,本章借助韦恩图,用交集深刻地揭示了“公”的本质。如:
(附图{图})
这既是一种方法美,又是一种形态美。
在数学史上,无论是一个新的数学分支的产生,还是具体给出一个概念的定义,都经历过一个积累经验材料的时期。从大量观察、实验得来的材料发现其规律,总结出数学定理或新概念,这是数学研究工作中最初步的然而又是最基本的工作。“数学王子”高斯说过,他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法,但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律,为我们提供研究方向。素数分布论中许多著名定理,如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等,都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想,然后再经过严格数学推导,设法给予证明的。当然还有的猜想至今未得到证明,如:
6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,
14=7+7,16=3+13,18=5+13,20=7+13,
22=3+19,24=5+19,26=3+23,28=5+23,
……
由此归纳出可能有:凡是大于4的偶数都是二个奇素数之和,这就是著名的哥德巴赫猜想。这个猜想直到现在还没有肯定的或否定的答案,我们认为肯定的可能性很大。这个问题现在
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