高中数学-平面向量常用方法归纳

平面向量常用方法归纳

1、基底法

在处理平面向量问题时,有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的,我们利用平面向

量的基本定理,选取ー组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底,把所求向量都用

所选基底表示来处理问题.

【例1.1］在ハ4BC中,M是8C的中点,A〃=3,8C=10,则

【答案】-16

【解析】方法一:基底法

2

ABAC^\AM+MB]-\AM+MC]^AM+AM\MB+MC+MB-MC^9+0-25^-16

方法二:极化恒等式法

..'•2]-------2I

AB-AC=AM——BC=9---100=-16

44

【例1.2】已知菱形A8C。的边长为2,?BAD120。,点瓦ド分别在边BC,OC上,

2

BE=lBC,DF=mDC.若AE?AF1,CE2CF—,则/+m-(

3

D

【答案】C

AB

【解析】方法•:基底法

（AB+25C）（AD+〃皮）=1

AE-AF^l

くつ—yくっ

CECF=（2-l）fiC（//-l）5c=——,

ゝ3ゝ3

—2+4（几+4）-2丸〃-1

えルー（ス+〃）+1=4

令ス=ノ+〃,>=丸",贝リ原式可化为:

-2+4スー2y=1x=—

■］，解得?,

y-x+1=—3トマ1

..•ス,+〃=—5.

6

方法二:解析法

建立如图所示直角坐标系,则:

5（2,0）,C。词,£>（-1,73）,

又・：BE=2BC,DF=fjDC,易得E（2—/1,みl）,

F（2//-l,73）

AE-AF=4（ス+//）—2ルー2=1,

CECF^2（2+//）-22/z-2=ーー,

下同方法一..•.4+〃=2

6

【练习1.1】已知直角梯形ABC。中,A。〃8C,乙4DC=90°,AZ>=2,8C=l,P是腰。。上的

动点，则冋+3方］的最小值为.

【答案】5

【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法,可令。P=〃）C,当/1=之时取得最小值5.

【练习1.2】如图,△ABC是边长为2月的等边三角形,P是以C为圆心,半径为1的圆上

的任意一点,则AP-BP的取值范围是.

【答案】限⑶

【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理,当然也可以使用解析法处理..

2、平方法

在向量中,遇到和模长有关的问题,很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处

理,并且要灵活运用:向量的平方等于它模长的平方这个规律,即片=ほ匕

【例2.1】设£石是两个非零向量,（）

A.若|a+B|=|a|—|,则a丄お

B.若2丄B,则万+み|=|£|ー/|

C.若万+“ほ|一向,则存在实数え,使得さ=芯

D.若存在实数え,使得5=え-,^\a+b\=\a\-\b\

【答案】C

【解析】方法一:平方法

对式子IZ+B1=1ZI一面进行两边平方处理,

易得:COSb,り=一1,即向量4与g反向,

而“存在实数え,使得う=スヌ‘表示向量ス与3共线,

故选项C正确.

方法二:三角不等式

由三角不等式|一向区|a+B|等号成立的条件是向量。与う反向,

下同方法一.

【例2.2】11.如图,在△中,ZBAC=-,ハ为AB的中点,P为CD上一点、,且满足

uuuuuti1IIUD7./Quuu

AP=tAC+-AB,若△ABC的面积为把,则|AP|的最小值为

【答案】V2

ULUUUU1liun

【解析】由AP=/AC+-A3,点ク为A8的中点,易得:

3

―►——►2—►1

AP=tAC+-AD,又•「C、ハ、P三点共线,.」=一,

33

--1—*1—*

...AP=-AC+-AB,

AB+2\AB\\AC\cosA,

1—►—3V3——►

又・・・5"8。=5丨ん3|1AC|sinA=^-，/.|AB||AC|=6,

,-.|AP|=」叫+|AC『+6>^2\JB\\^C\+6=41,

当且仅当I而|=|AC\=76时取等号.

【练习2.1】设糸ズ为单位向量,非零向量みニE+谑ム丿^N若糸高的夹角为巳则屮的

6\b\

最大值等于.

【答案】2

【提示】平方法转化成二次函数最值问题,数形结合也可处理.

【练习2.2】设。为两个非零向量スみ的夹角,已知对任意实数f,|み+に|的最小值为1

()

A.若。确定,则|£||唯一确定B.若。确定,则|加唯一确定

C.若|£|确定,则。唯一确定D.若|す确定,则。唯一确定

【答案】B

【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题,或使用数形结合方法处理.

3、投影法

平面向量数量积(点乘)：a-b=\a\\b\cos<a,b>

①我们可以理解成:两向量的数量积等于他们各自的模长,乘以它们夹角的余弦值;

②也可以理解成:两向量的数量积等于其中一个向量的模长,乘以另外一个向量在它上面的

投影;

③B在a上的投影是|B|cos

④投影有正有负,正负代表投影的位置.

【例3.1】如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,A8是在正方形的一条边,

月(i=l,2,…,7)是小正方形的其余各个顶点,则丽•通(i=L2,…,7)的不同值的个数为

)

A.7B.5

C.3D.1

【答案】C

【解析】而在向量而上的投影有三种情况,

分别是んら、ム[的投影是0,AP],的投影是1,的投影是2,

所以共有三个不同的结果,故选C.

【例3.2】如图,在等腰直角ん!80中,=08=1,C为AS上靠近点A的四等分点,过。作

A3的垂线/,P为垂线上任一点,设西=£,砺=反而=万,则

p仅ーa)等于()

丄

A.B

2-J

3

C.D.|

2

【答案】A

【提示】投影法

ラ・G二）=OPAB=_j|的.|丽=_：|而ド，

又ンム430是等腰直角三角形,且。4=08=1,

.-.|AB\=42,

.•.建二）=+瓯2=_g

【练习3.1】已知る,马是平面单位向量,且る4=；.若平面向量み满足5•曷=5•爲=1,则

*--------------

【答案】华

【提示】方法一:投影法

由题意知|耳=!ふ=1,

又・.•み・q=あ-02=1，由向量数量积的几何意义,

可知み在［与［上的投影均为!,

又ン1..=3,弋ふ=や

则向量石如图所示,

由几何关系易得I加=孚

方法二:坐标法

建立如图所示的直角坐标系,设ち=(x,y)

易得:e,=(1,0)，%=ラ,§|，

I乙Z

•：e、•ち=e2%=ヽ,可得:

x=l[x=1

<X氐、，解得:V3,

[22r3

,7,2A/3

•.わ=丁

方法三:数形结合

丁,・ク=ム,み=1，

/.|み||q|cos，1冃いII%Icos。ユ=1>0，

a=仇,又‘•ム=一，,•,卜],ら)二—，

.•・伍=冬=と或包(舍)

66

代回已知みZ=i,易得|川=竿

【练习3.2】在VABC中,BC=5,G,。分别为VMC的重心和外心,且OG-8C=5,则

VA3C的形状是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C,直角三角形D.上述三种情况都有可能

【答案】B

【提示】方法一利用重心和外心的性质,利用投影的思想来处理。G-8C=5这个条件,方法

二利用基底代换,把条件而•前=5转化为余弦定理形式来判断/C为钝角.

4、坐标法

几何问题代数化是数学中比较重要的ー个思想方法,在平面向量中,这个思想在处理很

多问题时比较“直接无脑只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向

量问题。

【例4.1］如图,平面内有三个向量アX,砺,うで,其中丽与砺的夹角为120。,砺与祀的夹

角为30。，OC在。4与。8内部,5.|。4|=2,\OB\=-,\OC\=2y/3,若

2

OC=AOA+pOB（A,则（）

A.2=4,〃=2B.2=マ,〃=ラ

,4“34

C.2=2,〃D.2=5，/z=7

【答案】C

【提示】建立平面直角坐标系,把各个向量坐标化,易知答案为C.

【例4.2】.已知A,B是圆。:ゼ+び2=1上的两个点,尸是45线段上的动点,当ム4。8的面积

最大时,则あ・丽ース「一的最大值是（）

A.-lB.0C.-D.-

82

【答案】C

【提示】由题意知:SMOB=11OA||OB|sinZAOB,

JT

•.­|OA|=|OB|=1,易知当ク4。8=ー时,厶405面积最大.

2

不妨设单位圆与X轴和y轴正半轴的交点分别为点A、B,

A（1,O）,5（0,1）

易知直线48所在的直线方程为ムB：X+)'T=O,

可设尸(x,-x+1),0<x<l

-----.2

仙）=QAP-AP

=ホ（AO-AP）

=AP-~P0

=-2x~+3x—1

【练习4.1】设Ai，A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使ル滔,+"+ル+処=0

成立的点M的个数为...()

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【提示】坐标化,解出M点坐标只有一组解,故选B.

【练习4.2】平面向量”,0,6满足Ie1=1,a・e=l,e=2,\a-b\=29则。•わ的最小值为

【答案】-

【提示】建立如图所示的直角坐标系,

a-e=l,b-e=2利用向量数量积的几何意义,

可知向量〉与あ可以看成是终点在ス=1与X=2上自由移动,

\a-b\=2,可知々与あ终点的连线线段长为2,

设a=(l,a),み=(2,わ),有几何关系知:b-a±43,

当b=a+y/3时,

=aわ+2=グ+&+2,当a=一走时取得最大值,最小值为之；

24

当b=”8时,

a-b=ab+2^a2-A+2,当a=且时取得最大值,最小值为之.

24

综上可知,。年的最小值为2.

5、数形结合法

在处理一些平面向量的问题时,需要利用图形,结合向量的运算法则,综合分析,来处

理一些动态变化问题。这类问题主要包含:圆上动点、直线上动点等。

【例5.1】若平面向量反,万满足|£|=1,|万区1,且以向量之,ア为邻边的平行四边形的面积

为二,则a与耳的夹角。的取值范围是.

【答案】［'エ,且］BDc

66"1-----------------アし

A"a

【提示】方法一:

［ーー［

如所示，

图SABCD=2-SMBD=2--\a\\/3\sin(p=-,

一1

整理得:|/?|sin^9=—,

—*1

・］ガド1,:.sin(p>—,

方法二:

如右图建立平面直角坐标系,把1向量放在x轴非负半轴,

—1-------

当/?的终点在直线)，=さ上滑动时,可以满足以向量のタ为A

1/2

邻边的平行四边形的面积为;，'''、、、、、『ク./

0&ゝ

又•」ス区1，

由几何关系知Gび//,学,

【例5.2】己知。,あ是单位向量,ふス=0,若向量c满足|"-[一同=1,则|2|的取值范围是

()

A.[V2-1„V2+1]B.[V2-l„V2+2]

C.1,,岳1]D.[1,,夜+2」

【答案】A

【提示】方法一:数形结合

由题意知スル是单位向量,日|=|み|=1,

可取x轴和y轴正方向的单位向量分别记为[与ん

|c—aーみ|=1可化为|cーb+み)|=1,

由向量的计算法则,结合右图易知:

以々+3的终点(1,1)为圆心,以1为半径画一个圆,

则从原点出发连到该圆上的任意向量都是满足题意的向量七,

则|:归卜历_1,后+1].

方法二:解析法(坐标法)

由题意知],3是单位向量,0冃あ|=1,b

可取イ轴和y轴正方向的单位向量分别记为[与ん0

则a=(1,0),b=(0,1)，设c=(x,y),

・・・|c_Q_g|=[,.・.(1_1)2+(y-l)2=],

设x-l=cos。,y-l=sin氏0G[0,2^],

.•.x=cos8+l,y=sin6+l,

.-.|c|=^x2+y2=j2V2sinl（9+^j+3,

2五sin[6+7）+3eトー2后,3+2五],

.".|c|G[jE-1,V2+1].

【练习5.1】在AABC中,〃是边んB上ー定点,满足兄8=；AB,且对于边AB上任一点P,

恒有方-Pdと凡瓦留,则（）

A.ZABC=90°B.ZBAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

【答案】D

【提示】本题推荐三种方法,其ー是特殊值排除,其二是构造函数求解，其三是利用极化恒

等式处理,下面针对后两种情况详细说明.

方法二:构造函数

取线段A8中点记为E,设|P8|=2|AB|,

:.PBPC=AAB-（AAB+BC）

c--k2------

=^AB+AABBC

令ア（ス）=43ス2+スス80,0</1<1

由题意知/（Z）＞fI}}

所以对称轴ー空竺=丄

2AB4

整理得:AB.《AB+叫=0,EPABEC^O,

AC=BC.

方法三:极化恒等式

取线段A8与线段8C中点分别记为瓜F,

——►——>21-2

PBPC=PFーーBC,又•：PBPCNRBRC,

可知玲ド丄AB,:.CELAB,:.AC=BC.

【练习5.2］设向量£ノ1满足I司=1す=1,73=一"石一Z>=60。,则|み的最大值等于

()

A.2B.A/3C.A/2D.1

【答案】A

【提示】:トーc,み-c)=60。且(a,ホ=120。,所以向量a,み,a-c,み-c内接与圆,当c为该圆的

直径时最大,为2.

【练习5.3】已知向量标,满足|吊=5,|在1,且|ス4*®,则スみ的最小值为.

25-5而

【答案】

4

【提小】考虑|a-4み|=,因为|a|=5,

以〉终点为圆心,以历为半径画圆,

可知由。的起点连到该圆上的向量为防向量,

由向量数量积的投影意义易得当品与Z同向时(左侧))(4可取得最小值,

此时スお也取得最小值为25二5亚

当|1-4小〈历时,|4向的最小值会把拉长,导致話在"投影边长,此时ノみ>25二5回,

综上:ス」也取得最小值为ニニ5叵

4

6、三点共线结论及其推广

在平面内,若点。4与。8不共线,对于任意的I有:若反=丸砺+ル砺,ス+〃=1,则A,8,C

三点共线.

①若;1>0,ル〉0,则点C在点A和点8之间,且有|AC|:16cl=〃:ス;

②若ス>O,〃<O,则点C在点A的外侧,且有|AC|:16cH川:|ス|；

③若;120,42〇,且把ス+〃=1改为;1+4<1,则点C在AABC内部及边界上.

【例6.1］如图所示,A,8,C是圆。上的三点,C。的延长线与线段胡的延长线交于圆。外

的一点。,若无=ノ〃函+〃砺,则〃的取值范围是()，r

A.(O,l)B.(1,-H»)C.(-oo,-l)D.(-1,O)fJ※ん

【答案】D

【提示】因为A、B、ハ三点共线,则存在实数え、ル使得:

OD=AOA+/uOB»ス+〃=1,

又因为〇、。、ハ三点共线,且点。在圆外,

则有:OC=tOD,re（-1,0）,:.OC=aOA+tjuOB,

又・・・OC-mOA+nOB,/.m=tAyれ=屮,

/.m+n=t（A+〃）=/£（一!,0）,

【练习6.1】在平面直角坐标系中,。是坐标原点,两定点んB满足网=岡=就砺=2,则

点集仍|丽=疝5+4函|刈+|4区1,ス,〃€夕｝所表示的区域的面积是（）

A.20B.20C.40D.473

【答案】D

【提示】由知识点第三条推导可得:点P所表示的区域范围是以。点为中心,AB为ー边,

04与。8为对角线一半的平行四边形,故面积为4G

ifrQr411

【练习6.2】“、b满足|a|=フ=,而=7=,若对任意（%,〉）6｛（あ刈"+例=1,孙＞0｝,都

715715

有|x+y|41成立,则の。的最小值为

【答案】-

【提示】方法一：利用结论

UUU111

设OC=xa+），わ,OC=\,点在单位圆上,

a

•.•町〉〇且|x+y|Wl,.•・点。要在图中阴影部分内,

即图中红色圆弧要在阴影部分内,

如右图所示,43与圆。相切于点C时,

此时ユ、ル夹角最大,

通过解三角形算得此时cos。=丄

4

.•・。メ的最小值为立

方法二:解析法

平方得64ギ+16ザ+30のか7=15,表示椭圆,满足-14x+y4l,且孙>0,

数形结合,即椭圆夹在两条平行线之间,联立椭圆和直线x+y=l,

化简为一元二次方程,(80-30a-h)x2+(30：-b-32)x+1=0,

A=(30：-b-32)2-4(80-30：-b)<0,

Qrrつク

解得と4“包4ム,

1515

•••二的最小值魅

7、绝对值不等式

绝对值不等式:\\a\-\b\^a+b\<\a\+\b\

①对于非零实数，左侧等号成立的条件是。与b异号,右侧等号成立的条件是。与b同号;

②对于非零向量,第一个等号成立的条件是「与3反向,第二个等号成立的条件是〉与3同向。

【例题?.1］已知向量〉,b,|«|=1,向=2.若对任意单位向量エ,均有"|+|かe区后,

则〉ス的最大值是。

【答案】丄

【提示】方法一:

ノ6^a・e|+|かe闫セ+り•e|,

ーTセー2-♦2—♦-♦—*2

（a+bj-e-a+2a-b+b,

又a\=\,Iみ|=2,:.a-b<^

方法二:

由|a-e|+|"e|wj^得:|a||cosq|+网Icos^|<V6

该式子表示向量Z与3在々向量上投影绝对值之和小于等于V6,

由向量运算法则可知,当エ与。+わ共线时取得最大值,

且该最大值为|7+みI，.1a+わ区后,.,.スレg

【练习7.1】已知向量a,b,Itz|=1,\b\-2,のあ=1,若e为平面内任意单位向量,则

\a-e\+\b-e\的最大值是.

【答案】V7

【提示】由例题7.1的方法易得最大值为".

【练习7.2】已知平面上三个不同的单位向量a、み、c满足のう=反じ=丄,若e为平面内的任

意单位向量,则Iス"|+2|ド"|+3|とエ|的最大值为

【答案】V21

【提示】方法一:

如图构造,3=(ー毘,)，み=(0,1)，C=(^,1),

设e=(cos6,sin。),根据题意,I|+21|+31c•«|=

I—cos^~—sin^|+21sin01+31且cos6+丄sin61，要取

2222

得最大,・\|a・e|+2|仮・e|+3|c・e|=2>/3cos^+3sin^<>/21,即最大值为01.

方法二:

由例7」的方法二可知,当"与。±。±;四个向量某ー个同向时|ス1|+2|ん"|+3|"・"|取得

最大值,

即4a・e|+2|あ•e|+3|c・e|Lax=max{a+2Z?+3c|,|a-£+3c\,\a+2b-3c|,|a-2^-3c||,

建立如图所示的坐标系,£=(—セ」),ろ=(0/),之=(も;)，

则|ス+4+3じ|,|.ー5+32|,0+2わ-3ヌ,日ー2みー32|1={719,73,713,721)

.［ニ］|+2|ルe|+3|c-e|的最大值为ぐ21.

8、极化恒等式

极化恒等式:a-b=^(a+bj-\a-bj

(1)平行四边形模式:如图在平行四边形ABCD中,

则有A6-AO=；［(AC-ク3丿］D________C

b.

AB

（2）在三角形模式中:如图在んL8。中,M为中点,

，.121------

则有——DB

（3）题目中遇到求两个共起点（或共终点）的向量的数量积问题时,可优先考虑极化恒等式

是否可行.

【例题8.1］已知△45C是边长为的正三角形,PQ为AMC外接圆。的一条直径,M为

\ABC边上的动点,则PM-MQ的最大值是.

【答案】3

【提示】由极化恒等式得:

■■,■［3212ヽ

PMMQ=-MPMQ=-\MO--PQ，

由题意知:|而|=4,|砺1mhi=1,二一］荻2-:而］43

即两.诙的最大值为3.

【例题8.2】已知正方形んBCO长为8,BE=反,而=3所,若在正方形边上恰有6个不同

的点P,使万•戸戸=ノ,则ス的取值范围________

【答案】（一1,8）

【解析】以为x轴,84为y轴建立空间直角坐标系,

设P（x,y）,取线段Eド的中点记为0,

由极化恒等式可得:PEPF=PO一一EF

4

整理得:P0=2+17

产点的轨迹方程为:（スー3）2+（ツー4）2=ス+17,

与正方形四条边有6个交点,则半径6万G（4,5）

可得ル€（—1,8）

【练习8」】如图,在同一平面内,点P位于两平行直线いム外部,且P到いム距离分别为

1、3,点M、N分别在い/2上，I两+而1=8,则丽・・丽的最大值为（）

A.15B.12

C.10D.9

【答案】A

【练习8.21在△ABC中,0、E分别是A3、AC的中点,M是直线£>E上的动点.若△

A8C的面积为!,则MB-MC+BC的最小值为.

【答案】V3

9、等和线

引理:已知不共线的向量A民AC,对于任意向量A。,必存在ー组ス、），使得AO=xAB+yAC,

x+y=l。则8、C、ハ三点共线.

等和线:看到AM=xAB+yAC,可考虑两边同时除以x+y得:

----AM=——AB+^—AC,令んV=AM,则有⑷V=，一AB+亠ーAC此

x+yx+yx+yx+y----------------x+yx+y

时有B、C、N三点共线.

【例题9.1］给定两个长度为1的平面向量力和仍,它们的夹角为90。.如图所示,点C在

以。为圆心的圆弧A3上运动.^Ot=xO^+yO^,其中x、yeR,则x+y的最大值是

【答案】V2

【解析】由OC=xQ4+yQ3,得:

苏+丄丽,

OD=----OC,所以。、C、ク三点共线,

%+y

.•.。。=—^。4+一ユ。8,所以A、B、ハ三点共线,

x+yy

.•.x+y=^S,易知|。。|=1,\OD\E—,1,----------

\OD\\_2J/

,x+y寸,利,当C点在弧AB中点时取得最大值V2.

【例题9.2】如图,在扇形。A3中,乙4。8=60",网=1,C为弧48上的一个动点.若

OC=xOA+yOB,则x+4y的取值范围是,

【答案】［1,4］

A

【提示】取九=;而,\-OC=xdA+yOB,

!---x---*V---*

—0C=—Q4+—06,

x+4yx+4yx+4y

丄を、」-苏+上丄を‘

x+4yx+4yx+4y4

------1—►

令0M=-----0C,所以。、M、。三点共线,

x+4y

又・••QM=」ー。4+上ー0E,所以A、M、E三点共线,

x+4yx+4y

.•.x+4y=丄2且,因为|OC|=1,由图易知|0M|e-,1,

\0M\14」

/.x+4ye[1,4].

【练习9.1】已知P是A4BC内任一点,且满足而=x通+yた,八yeR,则シ+2x的取值范

围是.

【答案】（0,2）

【练习9.2】已知AA3C中,AB=12,AC^IO,。在边AC的中垂线上（不在直线A3、AC上）,

且满足AO=xAB+yAC,6x+10y=5,则3C=.

【答案】2庖

强化练习

1、如图,已知半圆。的直径AB=4,△OAC是等边三角形,若点P是边AC（包含端点A、C）

上的动点,点。在弧8c上,且满足。。丄。P,则0户•み。的最小值为.

【答案】2

【解析】因为的=（而ーを）,

所以〇尸.BQ=OP（OQ_丽）=0尸.0@_冰08=_丽・丽,

而。3=ー。4,所以。PBQ=-0P08=0P0A

而万.砺=|而，砺卜osNR9A表示。户在。ス上的投影,即点P在点。时,投影最小.

2、在边长为1的正六边形/WCDE尸中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为I，I

ス,て,ス,若ス与行的夹角记为ル,其中i,ノセ{1,2,3,4,5},且一/,则iZl.cosq的最大

值为

【答案】け

【解析】ル=祈,NC4£>=ZE4T>=30。,

则|q.|.cos年的最大值是ト3卜cos/CAD=2xj_=6

3、已知平面向量。、6满足条件:ab=Q,|a|=coscr,|Z?|=sin«,ae（0,三）.若向量

c=/la+ルわ（九,/eR）,且（2ん一ピcos2a+（2卩ー1）旦in2a=：,则|c|的最小值

为

【答案】（

【解析】由题知(2ん一I)2cos2a+(2N—I)2sin2a=§

得3?(2えーI)2cos2a+32(2ル一I)?sin2a=1,根据cosn6+sin?8=1,

1(cos31

え--------+l

cos3=3(22-1)cosa213cosa

整体换元得=><

sin。=3(2ル-1)sina1(sin6

ル二--+----1-------

2(3sina

而ナ=ガ(2

cosa)+〃2(sina)2,带入化简得レ「=—+—cos(^-6r)>----=—

1861869

rI

所以1Cし,=§

4、已知向量。=9〇5%5亩£),み=g〇5/7ぷI1/?),且£ータ=(,若向量C满足，ー。ース=1,则冋

的最大值为

【答案】1+G

【解析】设と夕)」+[y-(sina+sin/?)]=I

nバ+ブ+2=(3x-6y)cosa+(V§x+3))sina=，1^ギ+12ザ$皿3+ガ),可得

=ギ+ザ+24，12八12ザ=&+ザ<1+^/3

5、在平面直角坐标系中,已知向量。=(1,2),。是坐标原点,M是曲线国+2田=2上的动点,

则。。例的取值范围()

A、[-2,2]B、[-V5,Vs]

C、［一込坐］D、］ー述,以

55J［5

【答案】A

【解析】设则。0A1=x+2y,令イ+2y=f,

可看做y=ー丄x+ユ平移过程中,与曲线有交点时,

截距的最值情形,利用线性规划解题

6、已知点A0,-2),8(2,0),P为曲线y=卜一士ザ上任意一点,则福.瓶的取值范围为

()

A、［1,7］B、［-1,7］

C、［1,3+26］D、［-1,3+2冋

【答案】A

【解析】依题意画图,为半个椭圆图像,］+1=l(yN0)如图

设P(x,y),则ARA8=x+2y+3,数形结合,

令z=x+2y+3,

利用根的判别式求出直线与椭圆上半部分

相切时z的值,

即为最大值,解得为7,最小值在点。处取得为1,

所以范围是R,7],答案选A

7、已知平面向量レが、2满足问=1,ルト，=2,且れ=0,则当0“く1时,

|a-AS-(l-2)c|的取值范围是.

【答案】[72-1,3]

【解析】。月=反。ぐ=デ,同=1,表示以原点为圆心,1为半径的圆记其终点为A,

ス仮+(1—/1)ご表示〇わ,则ロー花一(1一2)c|=|a-("+(l-2)c)|=|m|其最小值

d-r=丘ー1,Aカ的最大值为3

8、已知圆M:ゼ+(y-1—=1,圆N:ゼ+(y+1)2=1.直线ム、ム分别过圆心M、N,且/[与

圆M相交于A,3两点,/2与圆N相交于C,。两点,点P是椭圆J+J=l上任意一点,则

94

PAPB+PCPD的最小值为.

【答案】8

2

【解析】设尸(乂力み，ス=命-1,则丽•丽+前・丽

=PM+PN-2=2(X2+/)G[4.9]

9、设点P在以A为圆心,半径为1的圆弧BC上运动(包含8、C两个端点)，4BAC=ダ,

AP=xAB+yAC,x+y+孙的取值范围为

【答案】［1,3］

【解析】以A为原点,AB为x正半轴建立平面直角坐标系,，厶豆=(1,0),

AC=(一;,^■),设尸(cos。,sin6),0e[0,笄],AP=xAB+yAC=(九ー丄y,*y),

..x——y=cos0,——y=sin”,B|Jy=-----sm”,x=cos，H------smJ,

2233

[r1I01

x+y+^y=cos。+石sin6H——-sin20——cos26+—=2sin(6+—)+—sin(2。-—)+-

3336363

,/y=sin(6+马和ル=sin(26ー马均在［0，］上单调递增,在に,包］上单调递减,

66333

且X=ミ为两个三角函数的对称轴,8=0或-^时,(x+y+孙)min=1，タニエ时,

(x+y+xy)max=3,エス+シ+町的取值范围为［1,3］.

u=sin(6■1--)

10、过点P(L-2)作圆C:(x-ヨ机)2+けー机+1)2=1(机eR)的切线,切点分别为A、B,则

23

PA•P8的最小值为_____________________

【答案】2血ー3

【解析】设/ACP=e,6e(0,—)，ZACB^IO,CP=------

2cos。

:.PAPB=(PC+CA)(PC+CB)

^PC1+PC-CB+CA-PC+CACB

―\--1-l+cos26=—V-+2COS2^-3>2V2-3,

cos"0cos"0

当温日等时等号成立.

11、已知。为△ABC的外心,NA3C=《,Bd=ABA+/.tBC,则ス+〃的最大值为

【答案】-

3

【解析】如图所示,作8D丄AC,OFA.BD,OE±AC,

Bd^ABA+jjBC^BdBb^ABABb+^BCBD,

・・・曲・同=由+频量+"好幫，

设外接圆半径为1,则8。4ヨ,0E=—,即ス+,4一.

223

12、在ム钻。中,已知丽=2方,尸为线段A。上的一点,且满足CP=〃zC4+—C3,若AABC

9

的面积为G，ZACB=y,则|函的最小值为

【答案】ク

3

【解析】CP=mCA+-CB=tnCA-v-CD,由共线定理,

93

根=1,由S4ABe=あ可得CA-CB=4,/.CA-CB=2,

CP=(-C4+ーCB)2=(-C4)2+4cB)2+—C4CB>2(-G4)(-CB)+—=—,

39392739279

：.\CP\>-,

3

13、正方形ABC。的边长为2,对角线AC6O相交于点。,动点P满足|而卜日,若

AP—mAB4-nAD,其中相,/?wR,则-----的最大值是

2ル+2

【答案】1

【解析】以点A为原点,A民Aの所在直线分别为属y轴,建立直角坐标系。则

3(2,0),0(0,2),0(1,1)。因为|而卜当,则的轨迹方程为(スー1)2+(ザー1)2=丄

（J7万ヽ

设Pl+^-cos6>,l+^-sin^,6¢[0,2万]根据AP=，〃AB+〃ん。得

ノ

后

0,V2.722m+\2+VC°S^

2m=14cos42〃=1+—sin0,贝リ-----二塔-----

222〃+2へ6.ハ

3+——sin。

2

n3rd----fsin6=2d----cos6=>——，sin6----cos0=2-31

2222

,へ、12-3^17

sin（。+シ）=2—3/=>;レ<1=>—<t<\

V2f+2

2加+1

"即

2nd-2max

14、已知正三角形ん3C的边长为け,点"是AABC所在平面内的任一动点,若|応|=1,则

|応+初方+敬|的取值范围为

【答案】[0,6]

【解析】根据题意,作出示意图

\MA+MB+MC\=\MA+MA+AB+MA+AC\

-\3MA+AB+AC\^\3MA+AD\,|Mス|=1,\AD\^3

当诉与而反向时,有最小值〇,当加与而同向时,

有最大值6,所以|赤+痂+初で|的取值范围为[0,6].

15、向量i、j是平面直角坐标系イ轴、y轴的基本单位向量,K|«-/|+|«-2y：|=V5,则

|£+2:|的取值范围为

【答案】[?,3]

【解析】根据题意,；=(1,0),ノ.=(0,1),设£=(x,y),

根据I4-i|+|a-2ノ|=お的几何意义,(x,y)轨

迹是一条线段(图中AB),|£+2；|的几何意义为(x,y)到点(-2,0)的距离,由图可知,距

离最短为。ハ=铝,最长为4)=3,范围为[9£,3]

16、已知S,为数列｛q｝的前"项和,4=%=1,平面内三个不共线的向量丽、丽、反满

足反=(4i+«川)砺+(1-%)を,n>2,れeN*，若A、B、C在同一直线上,则

$2018=--------------

【答案】2

【解析】由题意,A、B、C在同一直线上,・'ルI+%+|+1-4=1,即ク〃t+%+i=,

4=W=1，<23=0,〃4=%=-1,tz6=0,%=%=1,％=0，.......,可知周期为6,

且每6项之ホロ为〇,72018=6x336+2,.ゝS刈g=ム+g+336x0=2.

17、在AABC中,ク是BC的中点,点列B（〃eN*）在直线AC上,且满足

^A=an+lP^B+ai,^D,若q=l,则数列｛%｝的通项公式％=

【答案】

【解析】P"B；P“C=恥,9=ム+「”2c