高中数学2023新高考二轮复习12导数解答题之证明不等式问题（原卷版）

微专题12导数解答题之证明不等式问题

【秒杀总结】

利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或〃x)<g(x”转化为证明〃x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

【典型例题】

例1.(河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题)已知函数/\x)=Inx,

g(x)=x+GR).

⑴若/(x)Vg(x)恒成立，求实数加的取值范围；

(2)求证：当x>0时，+&二二12[nx+1.

例2.(2023届高三数学一轮复习)已知函数〃x)=lnx-x,g(x)=x+f,且函数/(x)与g(x)有相同的极值

点.

(1)求实数。的值；

(2)若对Wx,wetj],不等式恒成立,求实数上的取值范围；

_eJ〃+1

(3)求证：/")+g(x)<e」cosx

例3.(云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题)已知函数f(x)=x-sinx,xe(0,+s).

(1)求曲线y=/(x)在点《,/《))处的切线方程;

(2)证明：2ex-f(x)+cosxex>1.

例4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'sinx-"zsin(x-；)xw[0,7i].

(1)若判断函数/J)的单调性;

(2)证明：ev(?r-x)+l>sinx-cosx.

例5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=W卫,aeR.

⑴若x=l是〃x)的极值点，求公

⑵当a4-1EI寸，证明：/(x)<ex-2-l.

例6.(2023•江苏南京・南京市第一中学校考模拟预测)设/(x)=ln(x+l)-x-f,g(x)=aV,xe-pl

⑴求/(x)的单调区间；

(2)证明：当时，/(x)4g(x).

例7.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)="-4x+2lnx(aeR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若a=2,证明：/(x)+(2x-2)-Inx<2(e,-2x).

例8.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'-x-l.

⑴求/(x)的最小值；

(2)证明：/(x)>e2lnx+x2-3x.

【过关测试】

1.(2023秋•山东德州•高三统考期末)设函数/'(x)=e"-ex-ax(lnx-l)(aeR),g(x)=/'(x)+e其中e为自

然对数的底数.

⑴当”<0时，判断函数y=/(x)的单调性；

(2)若直线P=e是函数y=g(x)的切线，求实数。的值：

(3)当a>0时，证明:g(x)>2a-a\na.

2.(2023秋•贵州铜仁•高三统考期末)已知函数〃x)=x-aln高aeR).

⑴讨论函数的单调性及极值，并判断方程b-2x-lnx=0的实根个数;

(2)证明：eY+4x4lnx>x5+x4.

3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(司=迎詈.

(1)求函数/")的单调区间；

(2)证明：当X>0时，都有〃x)ln(x+l)<(+台.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(力=笑皿.

⑴讨论/*)在区间(1,+8)上的单调性；

(2)当a=1时，证明：x-es",Jt>x-/(x)+sinx.

5.(2023秋・辽宁•高三校联考期末)已知函数/(x)=e'-4x-l(aeR).

⑴若〃x)20在xe(-*+8)上恒成立，求实数。的值：

(2)证明：当xe(O,l)时，x(lTnx)<x+12.

6.(2023秋•全国•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=ei+ox.

(1)若/(x)20恒成立，求。的取值范围；

(2)当〃?2/时，证明\nx+-------sinx>l恒成立.

x

7.(2023・四川成都•统考一模)已知函数/(x)=lnr+QTaER.

(1)若求。的取值范围；

⑵当"(0』时，证明：/(x)4七里.

8.(2023•四川德阳•统考一模)已知函数/("二号，xe(0,+8).

e—1

(1)判断函数/(X)的单调性；

(2)证明：1</(x)<l.

e+1

9.(2023秋・广东•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=ei-lnx(其中e=2.71828…是自然对数底数).

⑴求/(X)的最小值；

a2

(2)若过点(〃,b)(ax0)可作曲线/(尤)的两条切线，求证：h<2e-'-2\n\a\-a+2a-^.(参考数据：

ln2»0.693l,ln3=1.0986,ln5«1.6094)

10.(2023秋•河北张家口•高三统考期末)已知函数/(X)=-犹"1

(I)讨论函数/(x)的单调性:

(2)证明:lnx+ar-1>——

/W

11.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xln(x+l).

(1)判断0是否为/(x)的极小值点，并说明理由；

(2)证明：§>-gx+l.

12.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/。)=62，-取2一_1,8(》)=2/(/-/+幻

(1)若/(x)在R上单调递增，求。的取值范围；

(2)当。=一1时,证明：/(x)>g(x).

13.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=21nx-ax+l

⑴若/(x)存在零点，求实数。的取值范围；

(2)若%是/(x)的零点，求证：

X。X,

14.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Hnr+x2,其中aeR.

⑴当。=-2时，求〃x)的极值；

(2)当a=1时，证明：j(-V)^x2+x—\；

15.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xhrt+“(a€R).

⑴若/(x)最小值为0,求。的值；

(2)g(x)=-^--x--+l(x>0)>若a》N,g(b)<0,证明/(x)>b.

8xe

16.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=axlnx+x2,g(x)=er+x-l,tzeR.

(1)讨论函数/(x)极值点的个数；

(2)若0<a41,求证：/(x)<g(x).

17.(2023秋•河南•高三安阳一中校联考阶段练习)已知函数/(x)=e;；--ax-1,若/(x)=当"H"*,

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其中g(x)为偶函数,〃(x)为奇函数.

⑴当4=1时，求出函数g(x)的表达式并讨论函数g(x)的单调性；

⑵设/'⑺是/(x)的导数.当"