高考数学复习05三角函数及解三角形

热点05三角函数与解三角形

【命题趋势】

新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对

应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考,而且文理有别，或”一大

一小",或''三小〃,或“二小〃（“小〃指选择题或填空题,〃大''指解答题），解答题以简单题或中档

题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的

题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内。鉴于新课标核心素养的要求，三角

函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点。考点主要集中在三角函数图像

及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用。本专题在以往高考常见

的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的

题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型

以及解答技巧有一定的提升。

【知识点分析以及满分技巧】

三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题，

ABCD选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高。总额和性的问题一般采用换元法转

化成最基本的函数问题去解答。

对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形。

解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的

面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式

的时候应注意不等式等号成立的条件。

【考查题型】选择题，填空，（解答题21题）（两小一大或者是三小）

【限时检测】（建议用时：40分钟）

1.（2020•莆田第十五中学高三期中（理））已知UN3C中，“

tan/（sinC-sin8）=cos8-cosC”是“4=60。,,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

•・•tanA(sinC-sin5)=cosB-cosC

解:

sinA

(sin。-sin8)=cos8-cosC

cosA

z.sinA(sinC-sin5)=cosA(cosB-cosC)

/.sin/sinC—sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC

sin/sinC+cosAcosC=cosAcosB+sinAsinB

cos(J-C)=cos(4-3)

所以在□/3C中，4—C=4—8或4—C+4—3=0

得C=B或2/=3+。=180°-/=>4=60°

所以。=8或4=60。不能推出〃=60。,

/=60。可以推出C=8或4=60”,

己知□/3C中，“tanA(sinC-sin8)=cos8—cosC.是“A=60°，，的必要不充分条

件.

故选：B.

2.（2020•深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数/（x）=2sintyx3〉0）在区

7171

间L3’4」上的最大值是2,则⑦的最小值等于（）

23

A.3B.2C.2D.3

【答案】C

---WxW-

【分析】因为34,

（071,,CD71

-<COX<-------

所以3---------4.

7171

因为函数/（x）=2sintyx（（y>0）^K|..][了]]上的最大值是2,

CO71〉71

所以4-2,解得：822,

所以刃的最小值等于2,

故选：C

3.（2020•全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，

南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、佥IJ、营造之学.1208年出生于普州

安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世.与李冶、杨辉、朱世杰并称

宋元数学四大家.他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条

边长求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜基并大斜嘉减中斜塞，余半之，自

乘于上，以小斜塞乘大斜基减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这

S=Ji八2/+/一与

段文字写成公式，即为丫412」，若口43。满足c^sin/

3

,cosB=一

=2sinC,5,且a<*c,则用“三斜求积”公式求得口力5c的面积为（）

34

A.5B.5

5

C.1D.4

【答案】B

【分析】因为Isin/=2sinC,

所以ac2=2c,/.ac=2

3.a2+c2-b2_6

cosB=—

因为5,所以2ac525.

故选：B

13万一

cosa=———<a<2万

4.（2020•宁县第二中学高三期中（理））已知2,则

sin(2;r-a)=(

A.2B.2c.2D.2

【答案】D

cosa=———<a<27r

【分析】解：因为2,2

sina=-Vl-cos2a=----

所以2,

.s\.5/3

sin（2^-«）=-sin«=——

所以2.

故选：D.

5.（2020•河南开封市•高三一模（理））在口/台。中，河是边8C的中点，N是线段

的中点.若6,口/NC的面积为行，则取最小值时，BC=（

）

16A/3_4

A.2B.4C.86-12D.3

【答案】A

【分析】因为在口/台。中，6,口/30的面积为百，

ylO-/I/®Csin-,4n

所以.6,则N,(O46

乂“是边BC的中点，％是线段的中点,

UULT1XLDuun、

AM=59+/C)

所以

"年国+而）中焉+/+；可沅

疯.丽=；娜+衣）仁荔+；就）=||两海.衣+:衣（

则

41阿+J画狗。崂+:匹上?研狗+今画国=*画画=6

当且仅当啊卜园,屈=2也

即U।时，等号成立,

所以在口/3。中,

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA^4+12-2x2x2^5x—=4

由余弦定理可得：2

则8C=2

故选：A.

6.（2020•四川成都市•高三其他模拟（理））己知口//。中，内角48,C的对边分别为

4=空b=2

。加了,若3'，且口/BC的面积为百，则。的值为（）

A.2百B.8C,2D.12

【答案】A

•C=—bcsinN=—x2cx——=百

・ABC

【分析】222解得c=2,

a2=b2+c2-2bccosA=4+4-2x2x2x12

由余弦定理:

a=25/3

故选：A.

2

7.（2020•全国高考真题（理））在“8C中，cosC=3,AC=4,BC=3,则cosB=（

)

j_]_12

A.9B.3C.2D.3

【答案】A

cosC_2

【分析】；在口/与。中，C0S3,4C=4,BC=3

根据余弦定理：AB'=AC2+BC2-2ACBCCOSC

2

z4S2=42+32-2X4X3X-

3

可得AB2=9,即=3

nAB-+BC2-AC29+9-161

由・.・2AB•BC2x3x39

cosB=-

故9.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

8.（2020•黑龙江鹤岗市•鹤岗一中高三期中（理））在口力/。中，角4SC的对边分别

为a,b,c,若bsin2/-2asin〃cos8=0,则口力3c的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】B

【分析】

利用二倍角公式以及0<4〈万，可得bcos/-acos8=0,再利用正弦定理的边角互化

以及两角差的正弦公式即可判断.

【详解】

由hsin24-2。sin/cos6=0,

得2bsinAcosA-2asinAcos8=0,

即2sinAx(bcosA-acosB)=0

又0<4<乃，

则sin4。0,

bcosA-acosB=Ot

由正弦定理得sinBcosA-cos5sin4=0,

即sin(6-4)=0

因为角48，C在口/80中，

所以4=8.

故选：B.

7T

_AB=2,C=-

9.(2020・贵州安顺市•高三其他模拟(理))在口工台。中，6,则

"+百8C的最大值为()

A.5币B.4币c.3币D,277

【答案】B

abc2A

sin/sin5sinCs.in万—

【分析】有正弦定理得6

所以"=4sin',"=4sin'

所以/C+VJ3C=6+y/3a=4sin5+4A/3sinA

=4sinS+4V3sin（fi+C）=4sin5+4V3sinB+一

I6

=4sin5+4\/3sinBcos—+cosBsin—

I66

=4sin5+473——sin5+—cos5

二10sinB+2\/3cosB=J100+12sin（B+°）=4Asin（5+夕）

2百G百八7T

tane=-----=——<——=0<0<一

其中10536

一<5<——<B+夕<乃

由于66,所以3

故当8+02时，NC+总C的最大值为4夕

故选：B

10.（2020•江西南昌市•高三其他模拟（理））己知直线/与圆C：x2+y2-2x-4y^o

12

相交于4,B两点,。为坐标原点，若锐角口力台。的面积为5,贝ijsin/Z06=（

）

22334

A.25B.5C.4D.5

【答案】B

【分析】圆C：/+/-2x-4尸0整理得（x-1）+（尸2）=5,

可知圆心为°'2）,半径为石，且圆过原点°,

根据圆的性质可得，弦48所对的圆周角N/O5等于圆心角4cB的一半，

12

•••锐角口/30的面积为5,

111,

SABC=-\AC\•|5C|sinZy4CS=-XV5XV5sinAACB=—

24243

sinZT!C8=——sin2NA0B=—sinZAOB=-

25，贝ij25，解得5.

故选：B.

/（x）=Gsinx-2cos2—+1

11.（2020•四川泸州市•高三一模（理））已知函数2.

/3）=2何。+3

（I）若I6（求tana的值；

（II）若函数"X）图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的5倍得函数g（x）

_0,-

的图象，且关于X的方程g（x）一加=°在L2」上有解，求加的取值范围.

tana=----r_i”

【答案】（I）9.（11）「小」.

•/f（x）=V3sinx-2cos2-+1r-.=2sinx-y

【分析】：（I）2=V3sinx-cosxk6人

/(«)

sina--\=2A/3sina

1O)

V3.1

...——sma——COS6Z=2Gsina

22

即-3石sina=cosa

.V3

tana------

9.

(Il)把图象上所有点横坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象,

g（x）=2sin|2x--|

，函数g(x)的解析式/

0,-

关于X的方程g(x)一〃?=°在L2」上有解，

0,-

等价于求g(x)在L2

上的值域，

*/0<x<—

2,

666

即一lKg(x)<2,

故加的取值范围为卜L2],

12.（2020•贵州安顺市•高三其他模拟（理））已知向量

J)]=(sinx,cosx)

a=x

f(x)=a-b

（1）求/（“）的最大值及/（X）取得最大值时x的取值集合“：

C71..

—I—wM

（2）在口力台。中，a、bc分别是角4BC的对边，若24且c=l,求

□/6C面积的最大值.

1--M=lx\x=k7i+—,kez\2/E

【答案】⑴最大值为2,I12J；⑵4

【分析】（1）

(cosx,->/3cosx)5=(sinx,cosx)

/，(x)=a-b-sinxcosx-V3cos2x--sin2x--^-cos2x--^-

v7222

.(c兀\6

I3J2)

1一直

.•./(X)的最大值为2,

-71_7C.5万.—

2x=24f乃HX—K7V---，左£Z

此时32,即12,

Af={x|x=kyr+^-,kez|

CTCC.5)兀，r

—d——eM——卜一二k7r+——C=2k兀+一、kwZ

(2)・.・24,j2412,3

•.C").c=H

•，・・，

22222

c=1=6f+/>-2abcosC=a-i-h-ah>ah9当且仅沙|。二人时，等号成立，

c1,.^一百

SNARC=—absinC——ab<—

所以MBC244,

A/3

所以口/台。面积的最大值4.

8

13.(2020•广西北海市•高三一模(理))已知在匚4c中，角力,B,C的对边分别为

abc计(a+〃)sin/=csinC+(24-b)sinB

(1)求角。的大小；

(2)若C=6,求口/5。面积的最大值.

71

【答案】⑴3；⑵2.

［分析］(］)•••(〃+b)sin/=csinC+(2a-b)sin3(a4-b)a=c2+(2a-b)b

-a2+b2-c2ab1「4

1.a'+b?-c'=ab,2ahlab2又=C$(°，))，3

(2)据(1)求解知，a1+b2-c2^ab^-：c=42,:.a2+h2^2+ah

又a?+b?N2ab,当且仅当。=力时等号成立，，曲^?,

:.(S.„c)=—V(a/?)maxsinC=—x2xsin—=—/-

'"""2’max?32,此时4=6=J2

14.（2020•广西高三一模（理））在口N3c中，角4、8、C的对边分别为。、b、c

,已知c+46sin8cosC=44sin8,且Z为钝角

（1）求角8的大小；

8/sin（3J-S）

（2）若6=灰一夜，5，求cos3C的值.

n万5万11^3+2

D-....-------------

【答案】⑴12或12：（2）22

【分析】（1）：c+4bsin8cosc=4asin8,由正弦定理可得

sinC+4sin2BcosC=4sin/sin89

所以，

sinC+4sin25cosC=4sin/sin5=4sin（5+C）sin5=4sin25cosc+4singeos5sinC

即sinC=4sinBcos5sinC=2sin28sinC,

sin25=—

在口/3。中，由于角4为钝角，则8、C均为锐角，可得smC>0,2

.♦cVRn<兀.0dRC—兀QARn-、兀RC—71371

.2,可得0<28〈万，•6或6,因此，12或12；

c=40<B<-:.B=—

⑵•.・b=j6-j2,5，则6<c,.•.8<C,则4,12,

.C.TV.（左兀、.nn.nV6-V2

sinB=sin—=sin-------=sin—cos------cos—sin—=-----------

12134j34344

875G血

b_c.°csinB5*42A/5

sinC=--------=J厂——六——=-----

由正弦定理可得sin8sinC所以，b5,

cosC-Vl-sin2B--tanC-=2

・・・C为锐角，则5,cosC

+2

tan2C+tanC42

tan3C=------------------

»2tanC41-tan2CtanCTT

tan2C=-------=一一

则1一tan?C3,

71sin（8；3C）sin『；—3C）sin%—（3C+g

./xsin3ii"-c