高考数学导数大招秒杀

板块三、导数

大招一导数的定义和运算

通关一、导数的概念

设函数y=/(x),当自变量X从X。变到X时，函数值从/(X。)变到/(占)，函数值关于X的平均变化率为

包=/&)-,(*)=/(%+At)二/('。).当不趋于X。,即Ax趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值,

AxXj-xoAx

那么这个值就是函数y=/(x)在/点的导数，通常用符号/'(%)表示，记作

/,(x0)=lim"=lim位竺上“

—Ax内―刃Ax

要点诠释：

1.导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的

瞬间变化率.

2.对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移s从时间。到a的平均变化率

即为。到％这段时间的平均速度

3.增量Ar可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于O.-fO的意义：Ar与0之间距离要多近有多

近，即2-O|可以小于给定的任意小的正数.

4.Axf()时，勺在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

"⑺无限接近.

AxAx

5.函数y=/(x)在/处的导数还可以用符号表示.

通关二、基本初等函数的导数

基本初等函数导数特别地

常数函数y=c(c为常数)y=o7rf=0,e'=0

鬲函数

(«)'=5

y=x"(〃为有理数)y，=〃■xn~l

指数函数了=优yf=ax•Ina(,)'=/

y,T

对数函数y=bg“x(Inx,=—

x9lna

正弦函数歹=sinxyf=cosx

/y/sin%、1

(tanx)--9

余弦函数y=cosxy'=-sinxVCOSX)COS-X

要点诠释：

1.常数函数的导数为0,即c'=o(C为常数)，其几何意义是曲线/(x)=c(C为常数)在任意点处

的切线平行于x轴.

2.有理数事函数的导数等于塞指数〃与自变量的("-1)次毒的乘积，即(x")'=Nx"T("e。).

3.在数学中，“In”表示以e(e=2.71828-)为底数的对数3g”表示以10为底数的常用对数.

通关三、和、差、积、商的导数

导数的加法法则[/(x)+g(x)]'=/"(x)+g，(x)

导数的减法法则[〃x)-g(x)]'=尸(x)-g[x)

导数的乘法法则[/(办g(x)]'=尸(x)g(x)+/(x)g，(x)

导数的除法法则

第二小笔件①(小。)

通关四、复合函数的导数

1.复合函数的概念

对于函数y=/(3(x)),令〃=e(x),则y=/(")是中间变量"的函数，〃=夕(》)是自变量X的函数，则函

数y=/(s(x))是自变量X的复合函数.例如，函数N=In(sinx)是由y=In"和〃=sinx复合而成的.

2.复合函数的导数

设函数w=e(x)在点X处可导，u'x=(p\x),函数y=/(")在点X处的对应点〃处也可导，工=/"(〃)，则

复合函数V=/(9(力)在点x处可导，并且工=乂*,或写作《(/(⑼=/乂。/。)

3.复合函数求导一般步骤

(1)分层：将复合函数夕=/(9(力)分出内层、外层.

(2)各层求导：对内层M=e(x),外层y=/(〃)分别求导，得到e'(X),/'(〃).

(3)求积并回代：求出两导数的积/'(")・d(x),然后将〃用*(x)替换，即可得到y=/(*(x))的导数.

结论一、平均变化率和瞬时变化率

1.函数的增量:8=/(玉)+Ar)-/(x(,);

2.平均变化率：包…)-小。)；

ArAx

+

3.瞬时变化率：f(x0)=lim^=lim/(^oAx)-/(xo)

例1：函数〃力=2工2+1在闭区间［1,1+Ar］内的平均变化率为()

A.1+2AxB.2+AxC.3+2AxD.4+2Ar

【答案】D

【解析】一+y/⑴2Ax.故选D.

AxAx

2

变式：若函数/(x)=：,则当x=-l时，函数的瞬时变化率为()

A.lB-IC.2D.-2

【答案】D

［解析］/(-I+Ax)-/(-l)=2-(-2)=-2Mlirrr""2)""=1淅八2］=-2.故选口.

-14-AxAr-1&f8Ax-Ax-

结论二、导数的定义

lim=〃-)-八…人山仅)

AiAx'(w+〃'0/

例2：设〃x)在与处可导，则lim〃玉>+、)：/(•%-3盘)等于()

AX-»8At

A.2r伉)B/(x0)C.3/'(x0)D.4f(x0)

【答案】D

【解析】

Hm/(』+©)-/(%-3Ar)=Kg/(/+©)-/(%)+/K)-/(%一如;)=斫/(x。+©)-/(二)।

AXTOOAYAX->8AXAYTSAX

,im3./(-Vo)-/(xo-3Ar)=Jim以生旦2g1+3.lim〃…>/(*=/，«)+3h%)=

AXTS3AXA'_+1®Ax&J8-3Ax

4尸(x0).故选D.

变式：已知函数/(X)在x=x0处可导，则出1〃与+义-m=()

c[r(x。)了

AJ'K)Bj(xo)D.2.f(x0)/(x0)

【答案】D

【解析】,R里口°°+&2[,(/)]='吧，您+R-/(/)・[//0+.)+/&)]=2/(%)/(%).故

选D.

结论三、复合函数求导

设函数〃=9(x)在点x处有导数="(力,函数》=/(〃)在点x处对应点〃处有导数立二/'(〃)，则复合

函数歹二/(9(耳)在点x处有导数，且工=立•〃；，或些写作£'(0(X))=/'(〃)・8'(X).

]

①[("+b)"]=a^a(<ax+by;②—)”•二+，

③[ln(ax+b)]=—；④[sin(or+b)]=〃cos(or+b)；

⑤[cos(〃x+b)]=-〃sin(or+b).

例3:已知y=sin2(2x+。)，贝IJy'=

【答案】2sin(4x+引

【解析】解法一：设J3/,w=sinv,v=2x+y则乂=乂・〃；••=2w*cosv<2=2sin2x+—•

tI3；

cos(2x+g]・2=2sin14x+2万

解法二：

sin2(2x+y兀=2sinI2x+—兀[•cosl2x+—j•I2x+—兀

yf=2sin|2x+—!•sinI2x+—

33333

2sinI2x+—Kcos2x+—71»2=2sin4x+21

33

变式：已知歹=/,贝ijy'=

【答案】xx(l+lnx)

【解析】y=V=/nx(xlnx)'=e”nxlnx+—=xr(1+Inx).

x

结论四、导数的运算

/(x)_/，(x卜g(x)-/(x)g,(x)

1.(g(x)xO),

_g(x)_/(X)

2岛卜喑产二阳但(加。),

3.=[/(x)+/,(x)]et.

,i.—..sinx-xcosx,

例7r4：已知y=----------；-,贝nIiJIy'=_______________.

cosx+xsinx

[答案]7—

(cosx+xsinx)

【解析】

,(sinx-xcosx)(cosx+xsinx)—(sinx-xcosx)(cosx+xsinx)_(cosx-cosx+xsinx)(cosx+xsinx)

(cosx+xsinx)2(cosx+xsinx)2

(sinx-xcosx)(-sinx+sinx+xcosx)—Xsinxcosx+Msit?x-xsinxcosx+x2cos之x_x2

(cosx+xsinx)2(cosx+xsinx)~(cosx+xsinx)2

变式：已知歹=(2--5工+1)/,贝IJj/=.

【答案】(2x7-4)，

【解析】y-(2x2-5x+l+4x-5)/=(2x-x-4)ex

结论五、/'(〃)实际是一个数

/'(〃)代表函数/(“在x=a处的导数值；[/(〃)]'是函数值的导数，且[/(〃)]'=().

例5：已知函数./"(月=/”图cosx+sinx,则/闺的值为----------------

【答案】1

【解析】/'(X)=/,W(-sinx)+cosx,尸图=r^Y-sin^+cos^,解得/。=应-1.所以

变式：(2020全国m卷文⑸设函数〃x)=£,若广⑴=(,贝股=.

【答案】1

【解析】由函数的解析式可得/'(x)=’'(：+")「「f+；：i)则广(1)=号产据

(x+a)(X+Q)(1+a)(Q+1)

此可得丁J=J/-2a+l=0,整理可得，解得。=1.

(4+1)-4

结论六、多用乘法求导运算

连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导

公式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或

较为简单的分式函数，再求导

对数形式先化为和、差的形式，再求导

根式形式先化为分数指数幕的形式，再求导

三南形式先利用三角函数公式转化为和或差的形

式，再求导

含待定系数如含/(a),a,b等的形式,先将待定系

数看成常数，再求导

例6：等比数列中，4=2,%=4,函数/(X)=x(x-“J(x-出>"(X-。8)，则/'(°)=()

A.26B.29C.212D.215

【答案】C

【解析】令g(x)=(x-q)(x-4)…(x-4)，则/(X)=Xg(x),/〈X)=g(x)+xg，(x),且g<0)有

,4

意义，于是//(0)=g(0)=ala2"as=(4％)"=8=2".故选C.

变式：设函数/(x)=(X—a)(x-b)(X-c)(a,6,c是两两不等的常数)，则

ab+___c__=

f'M__『(b)___f(c)----------'

【答案】0

【解析】因为广(x)=(x-b)(x-c)-(x-a)[(x-b)(x-C)T,所以f'(a)=(a-b)(a-c),

同理：/⑹=。-a)(b-c),/G)=(c-a)(c-b),所以原式=-一?——-+-一之一-

(a—h)[a-c)(h-a)\b-c)

c_a(b-c)—b(a-c)+c(〃-b)_0

(c—a)(c—h)(a—b)(a—c)(b—c)

结论七、特殊函数的导函数

l.(sinx)f=cosx,(cosx),=-sinx,(-sinx)r=-cosx,(-cosx)'=sinx.

2.(1xI)，=]=3.

r

例7：设/o(x)=sinx,工(x)=fQ\x),f2(x)=/；G),・•・，/〃+1(x)=fQ(x),n£N,则/2020(功等于()

A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx

【答案】A

【解析】因为/o(x)=sinx,所以£(x)=fQ\x)=cosx,f2(x)=/G)=-sinx,

r

f3(x)=f2(x)=-cosX,f4(x)=f3\x)=sinX,所以人020G)=A)5x4(x)=-G)=sinX,故选A.

变式：设a,b£R,则“〃>b”是“〃a|>b|b|”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】设函数/(X)=XXI.当XN0时，/'(X)=1X+X•H=2XI;又/-(0)=

X

lim-/“)二△())=lim-"-0=1加|*|=0,所以/-(x)=2IxI20(xeR)(当且仅当

Ar->0x—0Ax-0%—0Ax->0

x=0时.r(x)=0),所以/(x)是R上的增函数.故选C.

大招二导数的几何意义

知C只通关

通关一、导数的几何意义

/'(/)表示曲线y=/(x)在X=X。处的切线的斜率，即/'(%)=tana(a为切线的倾斜角).

已知点尸(40,%))是曲线y=/(X)上一定点，点。(%+Ax-。+»)是曲线y=/(x)上的动点，我

们知道平均变化率型表示割线PQ的斜率，如图所示.当点0无限接近于点P,即Ax-0时，割线PQ

Ar

的极限位置直线尸7■叫作曲线在点尸处的切线.也就是当Arf0时，割线尸0斜率的极限，就是切线

的斜率，即：

,,.Ay/(/+Ax)-/(x)

k=lim—=lim--------------------------=f().

A.v->0AxArf0Ax'

通关二、曲线在点P处的切线

点P在曲线上，在点P处作曲线的切线（P是切点），此时数量唯一，如图所示.

通关三、曲线经过点P处的切线

点P位置不确定（在曲线上或曲线外），过点尸作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点尸可）,

数量不唯一.如图（a）和图（b）所示，无论点尸在曲线上还是曲线外，过点尸都可以作两条直线4/2,

与曲线相切.

结论一、求曲线y=/（x）在x=xo处切线的步骤

1.先求/'（刈），即曲线y=f（x）在尸（xo,/（xo））处切线的斜率.

2.再求/（M＞）,因为切线过点（xo,f（xo））：

3.最后由点斜式写出直线方程:"（xo）=f（xo）（x-xo）.

特别地，如果月G）在点（XO,/（X0））处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定

义切线方程为:x=xo.

例1：（2020全国I卷理6）函数［（x）=x4-2x3的图像在点（1,/（I））处的切线方程为（）.

A.y="2x-lB.尸-2x+lC.y=2x・3D.y=2x+1

【答案】B

【解析】因为/(x)=x4-2x3,所以r(x)=4x3-6x2,所以/(I)=-1,AD=-2.因

此，所求切线的方程为夕+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.

变式：设曲线y=x«+,(HeN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x“，则

西,…X“等于()

A.lB,1C.nD.1

nn4-1n+1

【答案】B

【解析】对y=求导得_/=(〃+l)x",令x=1得在点(1,1)处的切线的斜率k=〃+1,在

点(1,1)处的切线方程为y-\=(7?+1)(X-1),令y=0,得工=----,则X,X…X

n+12

123n1钻、比D

234勿+1n+1

结论二、求曲线/G)经过点尸G。，外)切线方程的步骤

1.求导函数/(x);

2.验证点P是否在曲线上：计算f(xo),观察/'(xo)=泗是否成立；

3.求切点，设切点坐标为(a,/(a)),则切线方程"f(a)=f(a)(x-a),代入点P(祀，州)坐

标，求出。的值(注意存出)，可得切线方程.

例2：过曲线y=1x3+g的点P(2,4)的切线方程为.

【答案】4x-y-4=0或x-y+2=0

【解析】设曲线y=；/+：与过点尸(2,4)的切线相切于点力卜0，；片+则切线的斜率

k=儿，=君，所以切线方程为y-(累+胃=X：(x—x0),即y=X；-x-找+g.因为点

尸(2,4)在切线上，所以4=2x；-+；即片—3年+4=0,所以片+-4xj+4=0,

所以片(x04-1)-4(x04-1)(x0-1)=0,所以(%+1)_2)“=0,解得X。=-1或%=2,

代入y-/(x0)=f(x0)(x-%).故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

变式：(2020全国I卷文15)曲线y=Inx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为

【答案】y=2x.

【解析】设切线的切点坐标为(x°,,y=Inx+x+\,y'=—+=—+1=2,x0

=1,%)=2,所以切点坐标为(1，2),所求的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

大招三导数的应用

知识通关

通关一、导数的符号与丞数的单调性

一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，

(1)若/(x)>0,则/(x)在这个区间上为增函数；

(2)若/(x)<0,则/(x)在这个区间上为减函数；

(3)若恒有/(x)=0,则/(x)在这一区间上为常函数.

反之，若/(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有/(x)20恒成立(但不恒等于0)；若/

G)在某区间上单调递减，则在该区间上有/(x)W0恒成立(但不恒等于0).

要点诠释：

(1)因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上/(»>0,即切线斜率为正时，

函数/(x)在这个区间上为增函数；当在某区间上/(x)<0,即切线斜率为负时，函数/(x)在这个区

间上为减函数：即导函数的正负决定了原函数的增减.

(2)若在某区间上有有限个点使/(X)=0,在其余点恒有广金)>0,则/(x)仍为增函数(减

函数的情形完全类似)，即在某区间上，/'(X)>0=>/(x)在这个区间上为增函数：f'(x)<0n/(x)

在这个区间上为减函数，但反之不成立.

(3)/(x)在某区间上为增函数n在该区间r(x)》0；/(x)在某区间上为减函数n在该区间

/&运0.在区间36)内，/'(6>0(或/(X)<0是/(x)在区间(a,6)内单调递增(或减)的充分不

必要条件.

(4)只有在某区间内恒有：(x)=0,这个函数y=/(x)在这个区间上才为常数函数.

通关二、函数的极值

一般地，设函数/(X)在点X=%及其附近有定义.

(1)若对X。附近的所有点，都有/(X)</卜0),则称函数/(X)在/处取极大值，

记作y就产/卜。)，并把/称为函数/(x)的一个极大值点.

(2)若对/附近的所有点，都有/(%)>/(X。)，则称函数/(x)在X。处取极小值，记作y如小=/(x0),

并把X。称为函数/(X)的一个极小值点.

要点诠释：

在函数的极值定义中，一定要明确函数夕=/(x)在x=/及其附近有定义，否则无从比较.

函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可

能有多个极值，也可能无极值.由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大

或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

极大值与极小值之间无确定的大小关系.一个函数的极大值未必大于极小值，极小值不一定是整个

定义区间上的最小值.

函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值

的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

通关三函数的最值

若函数y=/(X)在闭区间［a,6］上连续，则/(x)在［a,6］上必有最大值和最小值；在开区间(a,6)内

连续的函数/(x)不一定有最大值与最小值.

要点诠释：

函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；

函数的极值可以有多个，但最值只有一个.

转加大招

结论一、求函数单调区间的一般步骤和方法

第一步:确定函数/(x)的定义域：

第二步:求/《X),令/〈X)=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实根；

第三步:把函数/(x)在间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺

序排列起来，然后用这些点把函数/(X)的定义区间分成若干个小区间；

第四步:确定//(X)在各个小区间的符号，根据.广(X)的符号判断函数/(X)在每个相应小区间

的增减性.

要点诠释：

函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；

当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用连接，可用“，”

或“和”连接.

例1：已知函数fix)=ln(l+x)-x+?》2(人》0).

(1)当k=2时，求曲线y=，(x)在点(1,/⑴)处的切线方程：

(2)求/(x)的单调区间.

【解析】(1)当*=2时，/(x)=In(1+x)-x+x2,f'(.x)------1+2x,由于

/⑴=皿2,01)=申3所以曲线了=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为y-In2-13(x-1),即

3x-2y+21n2-3=0.

(2)/，(x)=x("D,xe(_i*).

当左=0时，/(x)=---,所以，在区间(一1,0)上，r(x)>0；在区间(0,+00)上,

r(x)<0.故/(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是S,+oo).

当0〈左<1时，由/'(x)=二。<0及—>0知，在区间(一1,0)和(一，+8)上,

/,(x)>0;在区间。，1［上，/(X)<0,故/(x)的单调递增区间是(-1,0)和］一(

单调递减区间是

当k=1时，f'(x)=—J,故/(X)的单调递增区间是(-1,”).

当人>1时，由/'(x)=，叱1-D=0,得玉=与幺e(-1,0),X2=0.所以，在区间

1-1,1］和(0,+8)上，f'(x)>0;在区间11,o］上，/-(%)<0.

综上，/(x)的单调递增区间是)和(0,+oo),单调递减区间是11，0.

变式：设函数/(x)=xekx(k*0).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)若函数/(x)在区间(-1,1)内单调递增，求人的取值范围.

【解析】(1)f'(x)=(1+丘)*,广(0)=1,/(0)=0,曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的

切线方程为y=X.

(2)由f'(x)=(1+kx)e"=0得x=——(A:丰0).

k

若k>0,则当x£(一°°，一时，f'(x)<0,函数/(x)单调递减；

若左<0,则当xt1-00,1寸，f\x)>0,函数/(x)单调递增；

当X£(-，，+X)>寸，/'(X)<0,函数/(X)单调递减.

(3)由(2)知，若％>0,则当且仅当-1,即％4时，函数/G)在内单调递增；若左<0,

k

则当且仅当即女》-1时，函数/(x)在内单调递增.

k

综上，函数/(X)在区间(-1,1)内单调递增时，%的取值范围是[-1,0)。(0,1].

结论二、求函数极值的一般步骤和方法

第一步:确定函数/(x)定义域；

第二步:求/(X),令r(x)=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实根；

第三步:把函数/(x)在间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序

排列起来，然后用这些点把函数/(%)的定义区间分成若干个小区间：

第四步:检查/Q)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/(x)在这个根处取得极大值;

如果左负右正，那么/(X)在这个根处取得极小值.

要点诠释：

使_r(x)无意义的点也要讨论.可先求出/-(%)=o的根和使/《X)无意义的点，这些点都称为可疑

点，再用定义去判断.

极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点.极大值是极大值点附近曲线由

上升到下降的过渡点的函数值；极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.

例2：已知函数/(x)=e"〃+—+Inx，其中4Z€R.

(1)若曲线y/(X)在x=1处的切线与直线y垂直，求的值;

(2)当ae(0,In2)时，证明:/(x)存在极小值.

【解析】(1)/(X)的导函数为/Q)=ev

a+———+Inx].依题意，有/,(l)=e-(a+1)=e,解得a=0.

x/；

21

(2)证明由/z(x)=e"•a+-----+Inx及e*〉0知，/<x)与a+--------+Inx与同

kx2)xx2

号.令g(x)=a+2-4+InX,则g'(x)='=2=仁D'l.所以对任意xe(0,

XX2x3x3

内)，有gG)>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增.因为。£(0,In2),所以

g(l)=a+1>0,g=a+In；<0,故存在/e,1j,使得g(x0)=0./(x)与/"(x)在区间

f1,l]上的情况如下：

X&，1)

1"X。

——0+

/(X)极小值/

所以/(x)在区间;，为上单调递减，在区间(%,1)上单调递增.所以/(x)存在极小值了(%).

变式：设函数/(x)=浮+底+ex+d{a>0),且方程/((x)-9%=0的两个根分别为1,4.

(1)当a=3且曲线y=/(x)过原点时，求/(x)的解析式；

(2)若/(x)在(-8,*»)内无极值点，求a的取值范围.

【解析】由/(x)=£+bx2+ex+d得f'(x)=ax2+2bx+c.因为f'[x)-9x=ax2+

2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以+2"+c-9=°

[16a+86+c-36=0

(1)当a=3时，由式得+°-6=0,解得b=7,c=口.又因为曲线y=/(x)过原点，所

[%+c+12=0

3

以4=0.故/(x)=x-3x2+12x

(2)由于a>0,所以"/(x)=-|x3+bx2+ex+d在(-oo,+oo)内无极值点”等价于

"/'(x)=ax2+2hx+c20在(一co,-KO)内恒成立”.由式得2b=9-5a,c=4。.又

△=(26)2-4*=9(〃-1)(.-9).解[">°得ae[1,9],即a的取值范围是

[△=9(a-DU-9)@

[1,9].

结论三、求函数在[a,b]上量值的一般步骤和方法

第一步:确定函数/(X)定义域；

第二步:求广(X),令/，(x)=o,解此方程，求出它在定义域内的一切实根；

第三步:判定函数v=/(X)在(a,6)内的单调性；

第四步:将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/彷)比较