高考数学（理）二轮讲义（二）函数与导数

基础回扣(二)函数与导数

［要点回扣］

1.函数的定义域

求函数的定义域，关键是依据含自变量％的代数式有意义来列出相应的不

等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；

列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.对抽象函数，只要对应关系相

同，括号里整体的取值范围就完全相同.

［对点专练1］函数尸yiogp—2的定义域是.

［答案］［o,1

2.换元法注意问题

用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.

［对点专练2］已知/(cosx)=sin2x,则«x)=.

［答案］1-^£［-1,1］)

3.分段函数

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系

的函数，它是一个函数，而不是几个函数.

停，1<0,

［对点专练3］已知函数八%)=4八

则阳=--------♦

I答案I;

4.函数的奇偶性

判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式

化简整理，但必须注意使定义域不受影响.

［对点专练4］於甘是_______函数(填“奇”“偶”或“非奇非

偶”).

［答案］奇

5.函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶

函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

(2)若火幻为偶函数，则八一%)=/(%)=丹园).

(3)若奇函数八%)的定义域中含有0,则必有火0)=0.故"#0)=0”是“«r)为

奇函数”的既不充分也不必要条件.

［对点专练5］若函数/(%)=jdn(%+Na+x2)为偶函数,则.

［答案］1

6.函数的单调区间

求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，

可用“及”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合

或不等式代替.

［对点专练6］函数X%)=；的减区间为.

［答案］(-8,0),(0,+8)

7.函数图象的几种常见变换

(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对％而言)；上下平移

——“上加下减”.

(2)翻折变换：兀r)-

(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心

(轴)的对称点仍在图象上；

②函数y=>(%)与y=—/(一%)的图象关于原点成中心对称；

③函数与y=/(—x)的图象关于直线％=0(y轴)对称；函数y=/a)与函

数y=—勺卤象关于置线y=0(%轴)对称.

［对点专练7］函数y=|log2|x-l||的递增区间是.

［答案］［0,1),［2,+8)

8.函数的周期性

(1次0=%+。)3>0)，则危)的周期7=。；

(2加工+。)=六(/(%)#0)或八%+4)=-/(%),则凡X)的周期T=2a.

［对点专练8］对于函数八%)定义域内任意的％,都有火%+2)=—氤，若当

2a<3时，f^x)=x,贝ij

式2012.5)=.

2

［答案］一5

9.一元二次方程实根分布

先观察二次项系数，/与。的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数

值符号，再根据上述特征画出草图.

尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二

次项系数可能为零的情形.

［对点专练9］若关于％的方程G2—%+1=0至少有一个正根，则。的范围

为_______•

［答案］］一8,1

10.函数的图象

可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取

值对有关性质的影响，另外，指数函数)=〃的图象恒过定点(0,1),对数函数y

=lOgaX的图象恒过定点(1,0).

［对点专练10］函数y=loga|x|的增区间为.

［答案］当。>1时，(0,+8)；当0<“<1时，(-8,0)

11.函数的零点

如果函数y=/a)在区间仅，口上的图象是一条连续曲线，且有犬GA份<0,

那么函数旷=1%)在区间［a,川内有零点，即存在c£(a,力，使得/(c)=0,此时

这个c就是方程«x)=0的根.反之不成立.

［对点专练11］已知定义在R上的函数八好二。2—3%+2>g(x)+3%—4,其中

函数y=g(%)的图象是一条连续曲线，则方程段)=0在下面哪个范围内必有实数

根()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

［答案］B

12.求导数的方法

(1)基本导数公式:c'=0(c为常数)；(的)'=rnxmI(m^Q)；(sinx)/=cos%；

(cos%)'=­sinx；O'=ex；(优)'=axina；(lnx)/=-；(log,/)'且

aWl).

(2)导数的四则运算：(〃切)'=u'±v';

,，,,(u\,"v—uv'

(uv)=〃v+uv；-=-------2-----①WO).

\yju

(3)复合函数的导数：yx'=%'•"」.

如求人以十份的导数，令u=ax+h,则

[对点专练12]«x)=4，则/(%)=.

eA?^—1?

［答案］

13.利用导数判断函数的单调性

设函数y=/U)在某个区间内可导，如果/(%)>0,那么«x)在该区间内为增

函数;如果/(%)<0,那么凡x)在该区间内为减函数;如果在某个区间内恒有了'(%)

=0,那么/(%)在该区间内为常函数.

注意：如果已知/U)为减函数求字母取值范围，那么不等式/a)wo恒成

立，但要验证了‘(%)是否恒等于0.增函数亦如此.

［对点专练13］函数兀¥)=浸一%2+x—5在R上是增函数，则。的取值范

围是.

［答案］心:

14.函数的极值

导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数八%)=必，有#(0)=0,但％

=0不是极值点.

［对点专练14］函数<%)=54一京的极值点是.

［答案］X=1

15.定积分

运用微积分基本定理求定积分/筑x)dx值的关键是用求导公式逆向求出;U)

的原函数.

［对点专练15］计算定积分fL/f+siax)口=.

［答案］f2

［易错盘点］

易错点1函数概念不清致误，1'

【例1】已知函数/U2—3)=1与三，则ZU)的定义域为.

［错解］由不7°，得x>2或％<—2.

，函数«r)的定义域为{x\x>2或x<—2}.

［错因分析］没有得分的原因是将风必―3)的定义域与1%)的定义域等同起

来了.事实上，八%2—3)=lg■三与火%)是两个不同的函数，它们有不同的法则和

定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念.

/1+3

［正解］由<%2-3)=1呼二不设％2—3="则％2=f+3,因此式。=恒二p

•/^―>0,即r>4,.-.r+3>4,即行1.

x~4

.；/(%)的定义域为{小>1}.

|名师纠错A

求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式.

［对点专练1］

/一1,%20,

(1)设函数段)="若月/(。)］=一3,则实数。=()

x<0,

A.4B.-2

C.4或一gD.4或一2

］—

(2)已知g(%)=l—2］,则12)的值为.

［解析］(1)当。=4时，虺。)］=/(1)=-1符合题意，排除B；当。=—2

时，/区。)］=彳一3=一2,不符合题意，排除D；当Q=-g时，M«)］=X-2)

=-1,符合题意，排除A,故选C.

1

-

(2)由月(%)=1—2%=2,得%2

,1I2)

故L人2)=-7―R—=3.

hV

［答案］⑴c(2)3

易错点2忽视函数的定义域致误

【例2】函数y=log_L(d—5%+6)的单调递增区间为.

2

［错解］令U=f—5%+6,则。=炉一5%+6在(-8,|］上是减函数，二.y

=lo坛(%2—5%+6)的单调递增区间是1―8,

［错因分析］忽视了函数定义域，应加上条件5%+6>0.

［正解］由A2—5%+6>0知{小>3或％<2}.

令“=%2—5%+6,

则"=好一5x+6在(-8,2)上是减函数，

二.y=k)gl(/—5x+6)的单调递增区间为

(-8,2).

I名师纠错A

在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究

函数的最基本原则.

[对点专练2]

(1)若八%)=lg(x2—2办+1+幻在区间(-8,1]上递减，则a的取值范围是

()

A.[1,2)B.[1,2]

C.[1,+8)D.[2,+°0)

I~JQ2

(2)已知函数式x)=J3'，则/(ln3)=________.

17?%+1?,x<2

。与11

［解析］(1)令g(x)=%2-2QX+1+a,由题意可知，，，即

g?l?>0—。+2>0'

解得lWa<2,故选A.

(2ytln3)=Xln3+l)=|eln3'l=e,故填e.

［答案］(1)A(2)e

易错点3忽视二次项系数为。致误

［例3］函数/(的=(2—1)_?+2(%+1)%—1的图象与入轴只有一个交点，

则实数k的取值集合是.

［错解］由题意知/=4(%+1)2+4(%—1)=0.

即22+3%=0,解得上=0或%=—3.

二.人的取值集合是{-3,0}.

［错因分析］未考虑k—l=0的情况而直接令/=0求解导致失解.

［正解］当％=1时，八%)=4%—1,其图象与％轴只有一个交点《，0).

当公，时，由题意得/=4/+1)2+4(左一1)=0,

即3+32=0,解得k=0或k=-3.

...后的取值集合是{-3,0,1}.

|名师纠错A

对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系

数为0的情况.

［对点专练3］

(1)函数凡¥)=m%2-2%+1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范

围是.

3

(2)不等式2Ax?+履一工<0,对一切实数尢恒成立,则Z的取值范围是.

O

［解析］(1)当机=0时，为函数的零点.当机N0时，若4=0,即相=

1时，％=1是函数唯一的零点；若力70,显然函数％=0不是函数的零点，这样

函数有且仅有一个正实数零点等价于方程/nr2—2%+1=0有一个正根和一个负

根，即即m<°・综上，me(—0］U{1}.

⑵当仁。时，适合题意；由>岛<0,，即。［k<30,0,

得一3<k<0.故k的取值范围是(-3,0］.

［答案］(1)(—8,O］U{1}(2)(-3,0］

易错点4混淆“切点”致误

【例4】过曲线y=2—2%上的点(1,一1)的切线方程为

［错解］=3f—2,：,k=y'|.v=i=3Xl2-2=l.

二•切线方程为：y+l=%—1即％—y—2=0.

［错因分析］过曲线上的点(1,—1)的切线与曲线的切点可能是(1,-1),

也可能不是(1,-1).本题错误的根本原因就是把(1,一1)当成了切点.

［正解］设尸(%o,yo)为切点，则切线的斜率为y'|无=祝=3看一2.

，切线方程为y—州=(3焉一2)(%一%o),

即y-(%8—2%o)=(3局-2)(%一%o).

又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程，得

-1—(地一2%o)=(3就—2)(1—%o),

整理，得(祀一1)2(2%。+1)=0,解得祝=1,

31

或沏=-2-

故所求切线方程为y—(l—2)=(3—2)(%—1),

或'―(一/+1\仔一2卜+?

即——y—2=0,或5%+4y—1=0.

|名师纠错A

解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的

切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切

点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.

［对点专练4］

⑴曲线y=%+2cosx在点(0,2)处的切线方程是()

A.y=%+2B.y——%+2

C.y=2%+2D.y=~2x+2

(2)过曲线y=ln(%+l)上的点(0,0)的切线方程为.

［解析］⑴由题意得＜=l-2sinx,把％=0代入得＜=1,即切线方程的

斜率2=1,所以所求的切线方程为y—2=%—0,即y=x+2,故选A.

(2)设切点P(xo,yo),=言7，，切线方程为y—ln(%o+1)=—；1(％一

xo).

—X。

•.•切线过点(0,0)点，...一ln(%o+l)=开Y，解得xo=o,...切线方程为y=x,

即％―y=0.

［答案］(1)A(2)%—y=0

易错点5极值概念不清致误

【例5】已知凡^二^+^^+云+4在％=i处有极值为10,则a-\-h=

f?1?=0

［错解］，(x)=3X2+2利+乩由％=1时，函数取得极值10,得，

/?1?=10,

3+2a+b=0,。=4,

即解得

1+。+。+。2=1().b=—ll,

\a=­3,

或彳，故a+b=-7或a+b=0,故填一7或0.

［h=3.

［错因分析］忽视了条件的等价性，(1)=0"是'”=1为«x)的极值点”

的必要不充分条件.

［正解］/(%)=3_?+2办+儿由x=l时，函数取得极值10,得

f?1?=3+2。+6=0,①

<

y?l?=l+a+b+屋=10,②

。=4,a=—3,

联立①②得<或'

b=—ll9b=3.

当a=4,b=—ll时，f(jOuBd+gx—11=(3%+11)(%—1)在％=1两侧的

符号相反，符合题意.

当。=-3,。=3时，/(%)=3(%—在％=1两侧的符号相同，所以。=一

3,。=3不符合题意，舍去.

综上可知a=4,/?=—11,.*.a+Z>=—7.

名师纠错A

对于可导函数“X)：X0是极值点的充要条件是/(%0)=0且在配点两侧导数

异号，即/(%)在方程/(%)=0的根刈的左右的年号：“左正右负”讥0在％o

处取极大值；“左负右正”"(%)在％o处取极小值，而不仅是/(M))=O.f'(%o)=

。是％o为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件，一定要

既考虑/(%o)=O,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根.

［对点专练5］

(1)设函数/U)的导函数为/(%),那么下列说法正确的是()

A.若/'(%o)=O,则祀是函数«r)的极值点

B.若％o是函数/(%)的极值点，且段)在％o处可导则f'(Xo)=O

C.若&是函数兀r)的极值点，则/(xo)可能不存在

D.若/'(&)=0无实根，则函数7(%)必无极值点

(2)“r)=%(%—c)2在％=2处有极大值，则常数c的值为.

［解析］(1)A项中若犬%)=必，/'(0)=0,但％=0不是极值点，故A错误;

x,%20

%o是极值点/(%)存在，则/(我)=0,故B正确、C错误;若抬尸八，

—X,x<0

则(%)=0无实根，但«r)有极小值点，故D错误.综上，故选B.

(2)f(x)=^-2cx2-\~c2x,f(X)=3X2—4CX~\-C2,f'(2)=0?c=2或c=6.若c

2.?

=2,f(%)=3%2—8%+4,令f(%)>O?x<g或x>2,f(%)<0?g<%<2,故函数在

(—8,I)及(2,+8)上单调递增，在修，2)上单调递减，

，％=2是极小值点，故c=2不合题意，同样验证可知c=6符合题意.

［答案］(1)B(2)6

易错点6导数与函数单调性关系不清致误

【例6】函数八x)=2—a?-3%在［2,+8)上是增函数，则实数。的取值

范围是.

［错解］(%)=3/-2分一3,由题意可知，

f(x)>0,即—：)(%与2)恒成立，

又翡一故所以4的取值范围是(一8,胃.

［错因分析］求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响,

容易认为函数4犬)的导数在区间［2,+8)上大于零，忽视了函数的导数在［2,+

8)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性.

［正解］由题意，知/(%)=3%2—2办一3,

令/(%)20(%N2)恒成立，得。忘|卜一口(%与2)恒成立.

记*%)=翡一3，当％22时，/(%)是增函数，

09

所以fa)min=3/X((2_/J=a，所以qg(［-8,-9.

9

经检验，当q=w时，函数/(%)在［2,+8)上是增函数.

|名师纠错A

由单调性求参数范围时