高三数学（上）期中模拟卷（附答案）

高三数学(上)期中模拟卷(附答案)

一、选择题

1.已知集合4={x||x|<3,xeZ},B={x|(x+l)(x-2)<0},则AnB=()

A.{x|-1<x<2}B.{-l,0,l,2}

C.{O,1}D.{x|-1<x<2]

2.设复数z满足z+i=4—i,则点=()

A.4-2iB.4+2iC,-D.—

55

3.设向量2,b,K为非零向量，则“2・b=；•+是“b=+的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知百cos(a-匀-cosa=|,贝IJsin(2a-*)=()

5.某车间生产一种圆台型纸杯，其杯底直径为R,杯口直径为2R,高为儿将该纸杯

装满水(水面与杯口齐平)现将一直径为日R的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全

沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的三则)=()

/K

3V3473厂2an5百

AA-DBvc-D-

6.定义在R上的函数f(x)满足八2-x)=/(2+x),且在(2,+8)单调递增，f(4)=

0,g(x)=%4,则函数y=/Q+2)g(x)的图象可能是()

试卷第1页，总20页

7.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中

国人所崇尚的图腾.如图，AB是圆。的一条直径，且=4.C,。是圆。上的任意

两点，\CD\=2,点P在线段CD上，则向1•丽的取值范围是()

A.[-l,2]B.[V3,2]C.[3,4]D.[-1,O]

8.设a=151nl3,b=141nl4,c=131nl5,贝1J()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

二、多选题

已知f(x)=V3sin(2x+0)+cos(2x+。)(|。|<是偶函数，将函数/(%)图象上所有

点向右平移£个单位得到函数g(x)的图象，则()

A.g(x)在(―也9的值域为(—1,1)

B.y=g(x)的图象关于直线x=7对称

O

c.g(x)在[一名,等)有5个零点

D.y=g(x)的图象关于点管,0)对称

在△ABC中，BC=\[5,AB=l.tan^ABC=-2,将△ABC绕AB旋转至△4BP处，使

平面A8P_L平面力8C,贝IJ()

A.在旋转的过程中，点。的运动轨迹长度为乃

B.点B到平面P4C的距离为当

试卷第2页，总20页

C.直线4P与直线PC所成角为g

D.直线4B与平面PBC所成角的正弦值为苧

设a>O,b>O,a+b=l,则下列不等式中一定成立的是()

A.-+i>4B.a*2+b2>-

ab2

C.VaTT+VF+l>V6D.a3+b3>-

4

设函数f'(x)是函数/(x)的导函数，且满足广(X)-竽=lnx,fG)=：则()

A/(x)有极大值B.4f(2)<3/(4)C./•⑴〉((e)D.尸⑴〉;

三、填空题

设Z,匕为单位向量，且区+b|=l,则|2^-b|=.

已知关于x的方程2sin2x-V3sin2x+m-l=0在《,兀)上存在实数根，则实数m的

取值范围是________________.

过点P(2,e)可以作两条直线与曲线丫=aex(a>0)相切，则实数a的取值范围是

已知正四棱锥的侧棱长为，，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%且2s

l<3,则该正四棱锥体积的取值范围是_______.

四、解答题

已知命题p：A={x\a-1<x<a+1},命题q:B=(x\x2-4x+3>0].

(1)若4nB=0,AUB=R,求实数a的值；

(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.

设a,b,c分别为AABC的内角4,B,C的对边，4)为BC边上的中线，c=

1,Z.BAC=—,2csin4cosB=asinA—bsinB+-bsinC.

32

(1)求AD的长度；

(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为△ABC的重心，连接EG并延长与4C交于点F,

求4F的长度.

已知数列5}满足：%=1,*=+4n=2卜+1,k€N*.

Ian—2n,n=2k

试卷第3页，总20页

(1)求a2,a3；

(2)设“=a2n-2,n€N*,求证：数列｛%｝是等比数列，并求其通项公式；

⑶求数列｛%｝前10项中所有奇数项的和.

如图，平面五边形P4BCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，AD〃BC,AB=2BC=

2,AB1BC,将AP/ID沿AD翻折成四棱锥P-ABCD,E是棱PD上的动点(端点除

外)，F,M分别是AB,CE的中点，且PC=布.

(1)证明：AB_LFM；

(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面4CE与平面PAD夹角的余弦值.

据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降

温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为7°,那么经过t分

£

钟后，温度了满足7-兀=&)'(7。-7。，其中兀为室温，八为半衰期.为模拟观察空

调的降温效果，小明把一杯75。(?的茶水放在25。。的房间，10分钟后茶水降温至50。。.

(1)若欲将这杯茶水继续降温至35。。大约还需要多少分钟？(结果保留整数参考数

据：lg2«0.30,Ig3«0.48)

(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入

固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本f(x)万元，且/(外=

(4%2+60%,0<x<40,

^3600Q7nnv>s已知每台空调的售价为3000元，且生产的空调能全部销

售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出

最大利润.

已知函数/'(x)=xlnx-巾炉有两个极值点%],犯，且与<x2.

试卷第4页，总20页

(1)求实数机的取值范围；

-107n2+3m+l

(2)证明.xl-xr<97n2

参考数据：1.64<y[e<1.65.

试卷第5页，总20页

参考答案与试题解析

2022-2023学年湖南省湘潭市某校高三（上）期中考试数学试卷

一、选择题

1.

【答案】

c

【考点】

交集及其运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

C

2.

【答案】

D

【考点】

复数代数形式的乘除运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

D

3.

【答案】

B

【考点】

数量积判断两个平面向量的垂直关系

必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】

试卷第6页，总20页

此题暂无解析

【解答】

B

4.

【答案】

A

【考点】

三角函数的恒等变换及化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

A

5.

【答案】

A

【考点】

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

A

6.

【答案】

B

【考点】

函数的图象

函数奇偶性的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试卷第7页，总20页

B

7.

【答案】

D

【考点】

向量在几何中的应用

平面向量数量积的运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

如图，。为圆心，连接0P,

则日1.而=（访+词.（而+茄）=访2-&2=而2-4.

因为点P在线段CC上，所以遍W|访|<2,所以3W访2W4,则一1W访2-4W0,

即届­丽的取值范围是[-1,0].

8.

【答案】

A

【考点】

对数值大小的比较

利用导数研究函数的单调性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试卷第8页，总20页

构造函数/"(x)=(28-x)lnx,xe[13,15],则/(x)=-Inx+<0,f(x)在x6

[13,15]上是减函数,故3(13)>/(14)>/故5),二a>b>c

二、多选题

【答案】

B,D

【考点】

正弦函数的奇偶性

正弦函数的对称性

三角函数的恒等变换及化简求值

正弦函数的定义域和值域

【解析】

此题暂无解析

【解答】

BD

【答案】

A,B,C

【考点】

点、线、面间的距离计算

异面直线及其所成的角

直线与平面所成的角

【解析】

此题暂无解析

【解答】

ABC

【答案】

A,B,D

【考点】

基本不等式

基本不等式在最值问题中的应用

试卷第9页，总20页

【解析】

此题暂无解析

【解答】

ABD

【答案】

B,D

【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的极值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

BD

三、填空题

【答案】

【考点】

向量的模

单位向量

【解析】

直接利用向量的模的平方，化简求解即可.

【解答】

【答案】

【考点】

函数的零点

二倍角的余弦公式

两角和与差的正弦公式

【解析】

此题暂无解析

试卷第10页，总20页

【解答】

【答案】

【考点】

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的极值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

【答案】

【考点】

棱锥的结构特征

柱体、锥体、台体的体积计算

利用导数研究函数的最值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

四、解答题

【答案】

解：(1)由题意解得B={x|x2-4x+3>0)=(x\x<1,Mx>3),

A={x\a—l<x<a+l},

由4nB=0,AuB=R,

得解得。=2，

••・满足AnB=0,4UB=R的实数a的值为2.

(2)Vp是q的充分条件，

AQB,且4#0,

结合数轴可知，a+l<l<a-l>3,

解得aSO,或a24,

•*.P是q的充分条件的实数a的取值范围是(-8,0]U[4,+~).

【考点】

集合关系中的参数取值问题

试卷第11页，总20页

交集及其运算

并集及其运算

根据充分必要条件求参数取值问题

【解析】

(1)把集合B化简后，由anB=。，AUB=R,借助于数轴列方程组可解a的值；

(2)把p是q的充分条件转化为集合4和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的

关系列不等式组求解a的取值范围.

【解答】

解：(1)由题意解得B={x\x2-4x+3>0}={x}xW1,或xN3},

A={x\a-1<x<a+1},

/.由力nB=0,AuB=R,

得优解得a=2,

la+1=3

/.满足4nB=0,4UB=R的实数a的值为2.

(2)Vp是q的充分条件，

AQB,且力力0,

结合数轴可知，a+l<l^a-l>3,

解得a<0,或a24,

AP是q的充分条件的实数a的取值范围是(-8,0]U[4,+8).

【答案】

解：(1)正弦定理角化边得2cacosB=a2-b2+|bc,

再用余弦定理得。2+。2-炉=02-62+10,；.b=2,

''j'TT'2

又40=2（4B+4C）,AB+AC),

即疝)2=|(l+4+2xlx2x(-|))=|

AD=—2.

T1T1T

(2)*/AD=-AB+-AC,

''22

-

：.^IAG*=^2ATE+AATF(其中；14C=/LT4F),

试卷第12页，总20页

T4T24T

，

AG=-9AE+—3AF

G,E,尸三点共线，1+^=1,

：A=；

.6'.AF=-5.

【考点】

余弦定理

正弦定理

向量在几何中的应用

向量的共线定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：（1）正弦定理角化边得2cacosB=a2-b2+^bc,

再用余弦定理得a?+c2-Z）2=a2-炉+：bc,b=2,

2TT

又访=★6+元1）,/.AD=i（ABAC）,

即成=；（i+4+2xlx2x（一切=:

AD=—2.

（2）AD=^AB+^AC,

^AG=^AE+XAF（其中）C=；L4F）,

AG=-9A3E+—AF

G,E,F三点共线，；+1,

2=-,AF=-.

65

【答案】

14

解：（l）令71=1,得&2=鼻。1+1=3，

令n=2,得＜23=a2-4=-1.

试卷第13页，总20页

(2)根据题意得仇=。2-2=­；，a2n+2=|«2n+i+(2n+1)=|(a2n-2x2n)+

1

2n4-1=-a2n+1

・%+l_azn+2-2_1a2n+l-2_；(而一2)_1

.*——~

bna2n-2a2n-2a2n-22

•••数列｛4｝是瓦=_Jq=京勺等比数列，故%=_?xg)"T=_gy.

(3)由(2)可得a2n=2+垢.

数列｛%J前10项中所有奇数项的和S=ai+a3+•••+。9

【考点】

数列递推式

等比数列的通项公式

数列的求和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)令71=1,得。2=：%+1=|.

令n=2,得。3=a2—4=—|.

(2)根据题意得瓦=a?-2=-]a2n+2=1«2n+i+(2n+1)=j(a2n-2x2n)+

2n+1=1a2n+1

.bn+1_a2n+2-2_扣zn+1-2_知”-2)_1

••--------------------------------------------—

bna2n-2a2n-2a2n-22

•••数列｛“｝是仇=-[q=:的等比数列，故bn=-ixg)n-1=-g)n.

⑶由(2)可得a2n=2+.

数列｛a“｝前10项中所有奇数项的和S=ar+a3+•••+a9

【答案】

(1)证明：取4。，CO的中点。，G,连接PO,FG,MG.OC,

则0C=AB=2,0P=V3VPC=V7,?.PC2=OP2+OC2,：.BA1PO

又BA140,4。nP。=。，二BA1平面PA。.

•••M,G分别为CE,CD的中点，...MG//PD,且MG不在平面PAD内，

,/PO在平面24。内，MG〃平面PAO.

试卷第14页，总20页

同理，FG〃平面/MD.

MGr\FG=G,：.平面尸GM〃平面PAD,，B41平面FGM.

FM在平面FGM内，；.BA1FM

(2)由(1)可知AB1平面PAD,，乙4EF即为直线EF与平面PAD所成的角.

•••tan〃EF=W=±当AE的长最小时，4AEF最大，此时AE1PD,即E为

PD的中点.

因此，以点。为坐标原点，以oc所在的直线为x轴，。。所在的直线为y轴，OP所在的

直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则4(0,-1,0)40,评),(7(2,0,0)..，.族=(01多&=(2,1,0)

设平面4CE的法向量为就=则切1+学Z1=°,

(2xi+%=0

令Z]=得m-&T，g)

由题意易知平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0)

一向向一

/.平面4CE与平面P4O夹角的余弦值为崇

【考点】

两条直线垂直的判定

二面角的平面角及求法

直线与平面所成的角

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)证明：取4。，CD的中点。，G,连接PO,FG,MG,OC,

则OC=4B=2,OP=K：PC=V7,；.PC2=OP2+OC2,：.BA1PO

又B41AD,ADnP0=。，，B41平面PAD.

M,G分别为CE,CD的中点，.IMG//PD,且MG不在平面PA。内，

PD在平面PAD内，；.MG〃平面PAC.

同理，FG〃平面/M。.

试卷第15页，总20页

,/MGDFG=G,：.平面FGM〃平面P/W,1平面FGM.

FM在平面FGM内，，BA1FM

(2)由(1)可知4B1平面/MD,；.N4EF即为直线EF与平面PAD所成的角.

,/tan乙4EF=*=3；.当4E的长最小时，N4EF最大，此时4E1PD,即E为

AEAE

P。的中点.

因此，以点0为坐标原点，以0C所在的直线为X轴，0D所在的直线为y轴，0P所在的

直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则4(0,-1,0)E(0,消),C(2,0,0).族=(0,|片),晶=(2,1,0)

一(3立

设平面4CE的法向量为m=设,则2yi+TZ1=U,

I"+%=0

令Z]=百得蓝=Q,-1,V3)

由题意易知平面P4C的一个法向量为:=(1,0,0)

—>mn_>/17

cos(m,n

同向一17

平面4CE与平面以。夹角的余弦值为力.

【答案】

10

解：(1)由题意可得50-25=0("X(75-25),解得h=1。

/1、=X(5O-25)

设经过t分钟，这杯茶水降温至35。。，贝lj35-25=ei°,

解得t=10log25-10=10x(log210-2)=10x嗫-2”13(分钟)，

故欲将这杯茶水降温至35P,大约还需要13分钟.

(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为〃(%)

当0<x<40时，W(x)=300x-200-4x2-60x=-4(%-30)2+3400,

当x=30时,W(x)取得最大值3400；

当x>40时，W(x)=300%-200-301x一等+3700=3500-(x+等)，

因为x+等22圆所=120,当且仅当x=60时，等号成立，

所以当乂=60时，WQ)取得最大值3380.

试卷第16页，总20页

因为3400>3380,所以该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最

大利润为3400.

【考点】

函数模型的选择与应用

函数的最值及其几何意义

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

10

解：(1)由题意可得50—25=(3"X(75-25),解得％=1。

-^-x(50—25)

©10,

解得t=101og25-10=10x(log210-2)=10x%-2卜13(分钟)，

故欲将这杯茶水降温至35。的大约还需要13分钟.

(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为IV(x)

当0cx<40时，WZ(x)=300%-200-4x2-60x=-4(%-30)2+3400,

当x=30时,W(x)取得最大值3400；

当x>40时，IV(x)=300x-200-301%-等+3700=3500-(%+等)，

因为x+等227^面=120,当且仅当x=60时，等号成立，

所以当x=60时，W(x)取得最大值3380.

因为3400>3380,所以该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最

大利润为3400.

【答案】

解析：(1)令g(x)==Inx-3mM+l,x€(0,+8),由题意g(x)有两个不同

的零点：

%1，%2且°<X1<无2,g'(.x)=1—6mx=—6：”,

当znWO时，g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

•••g(x)在(0,+8)上单增，至多有一个零点，不合题意；

试卷第17页，总20页

当>。时，x60,，二g'(x)>O,g(x)单增;x6,+8)时，g'(x)<

o,g(x)单减，要使得g(x)有两个不同零点，贝以+->0=>m<-,

26

取&=*，贝叼(沏)=lnx0-3mx^+1<x0-3mx^=0

且，+8)使得g(x。=g(%2)=0,

eo,,X2G

0<m<:时g(x)有两个零点，符合题意.

o

⑵・・,g3)=g(%2)=0,

In%1—3mxl+1=0

=lnx2-In%!=37n(%2一后),

\nx2—3mxl+1=0

V0<<X2.*,•资>11**,In：?［詈1=3m(x2+%i),

令八⑴=Int-等=Int+搭一2,t>1

则"(t)=?一舟=矫当>0对t>l恒成立，，以。在t>l时单增，

/i(t)>/i(l)=0=>Int>^F，t>1

)2

令t=资，则>-^―=3m(x2+%!>-^―=(%1+X2)>>；=>X1+

XjX2-兀］“2十兀1%2十3me

X2>R

xl-Xy<xl+x2-xl+x2-^,

要证据+*zW岛)+煮

/(X)=x2+x在xG(0,+8)单增，只需证犯<三，

••・3皿=曙，只需证,21,

lnx

又“2>>：01+2>o,只需证X2-1>lnx2,

1V—1

令〃(%)=x—1—Inx=〃'(x)=1--=

.xE(0,l),〃'(％)<0,x6(1,+8),//(久)>0=>〃(％)>〃⑴=0

-10m2+3m+l

x—1>lnx,出一％iV

2297n2

【考点】

利用导数研究函数的极值

试卷第18页，总20页

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究不等式恒成立问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解析：(1)令g(x)=/'(x)=Inx-37nx2+Lxe(0,+8),由题意g(x)有两个不同

的零点：

%1，芯2且。<久1<g'M=--6mx=