高考数学主观题预测题高考练习模拟题

高考数学主观题预测题

1已知函数产=/(力=竺一-(a,6,cGR,“>0,6>0)是奇函数，当x>0时，/(x)有最小值2,其中

bx+c

bGN且

(1)试求函数的解析式；

(2)问函数F(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若

不存在，说明理由.

2.在△ABC中,分别为角A,B,C的对边，且a,6,c成等比数列.

(I)求NB的范围；(II)求尸2sin28+sin28+(■的取值范围.

3.某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，^ABC外的地方种草，AABC的内

接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花。若BC=a,ZABC=0,设AABC的面积为

S1，正方形的面积为S2。

⑴用a,0表示Si和S2；

(2)当a固定，9变化时，求之•取最小值时的角9。

S2

4、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L底面ABCD,PA=PB=1,AD=JL

点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

(1)求三棱锥E-PAD的体积；

⑵点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由;

(3)证明：无论点E在BC边的何处，都有PELAF；

5.在三棱锥S—ABC中，AABC是边长为4的正三角形，

平面SAC_L平面ABC,SA=SC=2JJ,M、N分别为AB、SB的中点.

(1)证明:AC±SB；

(2)求二面角N—CM—B的大小；

(3)求点B到平面CMN的距离.

6.数列｛4｝的前项〃和记为S“，数列｛曳｝是首项为2,公比也为2的等比数歹U.

n

(I)求明;(H)若数列｛之｝的前〃项和不小于100,问此数列最少有多少项？

一

7.设函数f(x)=——x2-3x-3a,(a>0).

(I)如果a=l,点P为曲线y=/(x)上一个动点，求以P为切点的切线其斜率取最小值时的

切线方程；

(II)若xe[a,3a]时J(x)20恒成立，求。的取值范围.

8.设数列｛。“｝是首项为6,公差为1的等差数列；5.为数列｛〃｝的前〃项和，且

S,,=”2+2〃

(1)求｛%｝及也,｝的通项公式。“和”；

(2)若“〃)=1%，”为奇数，问是否存在左wN*使/(左+27)=4/(幻成立？若存在，

为偶数

求出左的值；若不存在，说明理由；

(3)若对任意的正整数“，不等式a___________1，/恒成立,求正数

(1+1)(1+1)-(1+1)J"2+a“

ab2b“

a的取值范围。

9.已知两点M(-2,0),N⑵0),动点尸(xy)在y轴上的射影为，，|P4|是2和777•丽

的等比中项.

(1)求动点尸的轨迹方程；

(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线尤+产1上的点。，求实轴最长的双曲线C的方

程.

10.设抛物线过定点Z(—1,0),且以直线x=l为准线.

(1)求抛物线顶点的轨迹。的方程；

(II)若直线/与轨迹C交于不同的两点且线段MN恰被直线》=-l平分，

2

设弦，眈的垂直平分线的方程为y=kx+m,试求加的取值范围.

11.已知函数/淀义域为[0,1],且同时满足

(1)对于任意xG[0,1],且同时满足；(2)/(1)=4；

(3)若X1K),X2>0,X1+X2<1,则有J(X\+X2)>/(X1)+/(X2)—3.

(I)试求/(0)的值；(H)试求函数/)的最大值；

(III)设数列｛an｝的前〃项和为Sn，满足0=1,Sn='(an-3),"WN*.

2

求证：7(ai)+/(«2)H---M。n)<310g34.

2%

07届惠来一中文科数学主观题高考预测题参考答案

L解；(1)：加0是奇函数，

.*./(—x)=—/(x),即⑪+1=--0X+1=bx+c=bx-c

bx-{-c-bx+c

・・c=0,・(7>0,/>>0^>0,・・/(x)=---------=—x+—>2J—

bxbbx\b

当且仅当时等号成立，于是2品=2,；.a=b2,

由/(I)V2得色乂<-即<-,工2接-5b+2V0,解得」VbV2,又

2b2b22

b£N,/.b=l,，〃=1,/(x)=x+—,

x

(2)设存在一点(xo/o)在月(x)的图象上，并且关于(1,0)的对称点(2-xo,-yo)也在月(x)

•42+1

-

ZOI—

图象上，贝U./消去州得蜡一2xo—1=0/o=l±J2.

(2f)2+l.I，

Z-Z0

2一工0

.•.月(x)图象上存在两点(1+也,2V2),(1-VI-2V2送于(1,0)对称

2.解：(I)因为a,b,c成等比数列，所以b・ac.

珀用入1+—工用4曰naJ+c2—b'a2+c2—ac2ac—ac1

根据余弦定理，得cosB=-------------=--------------2-----------=-.

2ac2ac2ac2

ITjrjr

又因为OVBV-,所以OVBW-.所以NB的范围是(0,—].

233

(II)y=2sin-B+sin(2BH----)=1—cos2B+sin2BcosFcos2Bsin—

666

=l+sin2Bcos------cos2Bsin—=l+sin(2B-----).

666

Jl一JlJlJl1JT

因为OVBW一，所以---V2B-----W—,所以Vsin(2B-------)W1,所以一VyW2.

3662262

所以y=2si/B+sin(2B+一五)的取值范围是1(匕2].

62

3.(1)vAC=asin0,AB=acos0

11,

/.S.=—ao2sin0cos9=—a2sin20(2分)

124

设正方形边长为x则BQ=xcot。，RC=xtan0

/.xcot04-x+xtan0=a

_a_asin0cos0_asin20

(4分)

cot6+tan0+1l+sin0cos02+sin20

/asin20,a2sin220

ob2—()2-Z（6分）

-2+sin204+sin220+4sin20

（2）当a固定，。变化时，&=l（」_+sin20+4）（8分）

S24sin20

八兀

令sin20=t,贝1J—=—(t+-+4)0<0<—..0<t<1

S24t2

.44

令f(t)=t+-f'(t)=1——<0，函数f（t）=t+±在（0,1］是减函数

tt2t

.•.当t=l时，皂取最小值，此时0=二（12分）

4

S2

4、解：(1)y-v-15AEDgPA=—x^-x1=

t.—rAUr—nr.U3•nt.U326

(2)点E为BC的中点时，EF〃平面PAC。

证明如下：：BE=CE,BF=PF，EF〃PC

又EF在平面PAC外，PC在平面PAC内，所以EF〃平面PAC

(3)VPA=AB,BF=PFAAFIPB：PA_L平面ABCD

APA1BC

又BC_LAB，BC_L平面PAB而AF在平面PAB内，

AAF1BC

VBC.PB是平面PBC内的两条相交直线...AF,平面PBC

:无论点E在BC边的何处，PE都在平面PBC内APEIAF

5.解：(1)取AC中点D,连结SD、DB.

VSA=SC,AB=BC,AC_LSD且ACJ_BD,

平面SDB,又SBu平面SDB,

AAC±SB.....4分

(2)♦AC，平面SDB,ACu平面ABC,

.,.平面SDB_L平面ABC.

过N作NE_LBD于E,NE_L平面ABC,

过E作EFJ_CM于F,连结NF,

则NF±CM.

NNFE为二面角N—CM—B的平面角.....6分

•.•平面SAC_L平面ABC,SD1AC,，SD_L平面ABC.

又：NE_L平面ABC,；.NE〃SD.

VSN=NB,ANE=-SD=--sjSA2-AD2=-V12-4=72,且ED=EB.

222

在正AABC中，由平几知识可求得EF=LMB='，

42

在RtZiNEF中，tanZNFE=——EN=2,r2~,

EF

.•.二面角N—CM—B的大小是arctan2.....10分

(3)在RSNEF中，NF=V^2+EN22

2

[3]

•,-SAc^-CM•NF=-V3,$△<：『一BM•CM=2百-------------11分

222

设点B到平面CMN的距离为h,

•••VzkxB，NE_L平面CMB,

A-SA«•h=-SA„,•NE,；•h=$CMBNE=4VF'-

33q?

即点B到平面CMN的距离为生区.....14分

3

6.解：(1)由题意e=2-2'1=2"，

SN=n-T.当“22时，%=S“-S“T=〃-2"—(〃—1)2"T=(〃+l)2"T,又当

〃=1时，q=S]=2,适合上式，二。“=(〃+1)2"T.

(II)M=

2"2

/.数列｛等｝是首项为1,公差为g的等差数列，其前〃项和为〃+；〃(〃-1),故

»+1M(»-1)>100,«2+«>200,得(〃+故2200+：,

满足它的最小整数是14,即此数列最少有14项.

70

7.解(I)设切线斜率为左则左=//(x)=x2-2X-3当x=l时％最小值为-4./(l)=-y

所以切线方程为y+宁20=-4(x-l)即12x+3y+8=0

(II)由％=//(口=/一2X—3〉0k=f\x)=x2-2x-3<0得.

函数/(x)=——x~—3x—3a,(a>0)在(—oo,—1),(3,+oo)为增函数,在(—1,3)减函数

0<a<3a<30<。<3<3〃

⑴，无解;无解;

/(3a)>0/(3)>0

|a>3

⑶一，解得〃26.综上所述心6.

W)>0

8.(1)。“=q+(〃一l)d=6+〃-1=〃+5I分

又当〃=1时，4=£=3

当〃22时力〃+—m———

上式对〃=1也成立，

・\=2〃+1(〃£N*),总之，%=〃+5,'=2〃+1

〃〃为奇数，...当人为奇数时，上+为偶数,

（2）由已知〃力）=+5,27

2〃+1,”为偶数，

由/（左+27）=4/（左）,得2（k+27）+1=4（攵+5）,

二左=募（舍去）

24=35,6分

当人为偶数时，左+27为奇数，

由/伏+27）=4/（左），得（左+27）+5=4（2左+1）,即77=28,,，左=4适合题意。

总之，存在整数左=4,使结论成立8分

（3）将不等式变形并把为=〃+5代入得:

"，看（"'+挪（号）

设g（〃）二人（号g(n+1)=,1(1+-^-)(1+7-)-(1+7^-)

j2〃+5AAb.*i

・g(〃+l)[2〃+3八112n+32/1+42〃+4

>•------------------—--------------------11—1.1—--------------------....................—---------------------------------------

g(N)-J2〃+5b„+t-j2"+52〃+3-j2〃+5j2〃+3

又J(2N+5)(2〃+3)<(2〃+5)；(2〃+3)=2〃+4

...g("+D>],即g(〃+l)>g(〃)

g(")

g(〃)随〃的增大而增大，g(〃焉=g⑴=w(i+g=坐，.•.05警

yJ5315

9.解：(1)动点为尸(x,y),则//(0,y),PH=(-x,0),PM=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y),

PM・PN=N_4+y2,且J|2=%2由题意得|/V//=20M•尸N,即/=2（/-4廿卜

.,.^+£=i为所求点p的轨迹方程.

84

（2）若直线x+y=l与双曲线C右支交于点。时;而N（2,0）关于直线x+y=l的对称点E（l,

-1）,则|QE|=|Q川，

...双曲线C的实轴长2a=||QMTOMTIQMTQ£UW|ME|=Jid（当且仅当0、E、/共线时取

此时,实轴长2a最大为痴；

若直线》+产1与双曲线C左支交于点。时，同理可求得双曲线C的实轴长2a最大为师.

所以，双曲线C的实半轴长环巫.

2

1322

又c=—\MM=2,h2=c2-a2=—.故双曲线方程为2一_=

2253

10解：（I）设抛物线的顶点为G（x,y）,则其焦点为b（2x-l,y）.由抛物线的定义可

知:等于点Z到直线x=l的距离,即司=2.

所以，y/4x2+y2=2.

所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：/+?=1（XH1）.

（II）显然，直线/与坐标轴不可能平行，所以，设直线/的方程为/.p=__Lr+b，代入

k

椭圆方程得：广；+1卜2等+/4=0

由于/与轨迹。交于不同的两点,所以，A=4,4）＞o,即

4A:2-k2b2+1＞0（左/0）.（*）

又线段MN恰被直线x=q平分，所以，如+无

所以，bk=4代+、.代入（*）可解得：一立〈后＜立

-222

设弦仞V的中点在/:y=-：x+b中，令工=一；，

将点尸,后）代入y=依+加，可得：m=一~—.

所以，一乎＜,”乎且….

解法二.设弦研的中点为尸鸟,为）,则由点A1,N为椭圆上的点,

可知：f4V+V=4.

l4V+Zv2=4

两式相减得：4(%-xN)(与+4.)+(3-%)(加+yN)=0

又由于x“+XN=2xj_2]=_l,yM+yN=2y0,也二次=一；，代入上式得:

I2）“一八k

又点尸,另。在弦的垂直平分线上，所以，%=-；%+加.所以，m=%+权=%。.

由点尸,；,队)在线段BB'上(B'、B为直线》=一；与椭圆的交点，如图)，所以，

yB'<y0<yB-也即：-V3<y0<^■所以，-述<毡且„,*()♦