高考数学圆锥曲线压轴解答题常考套路归类（精讲精练）（解析版）

专题13圆锥曲线压轴解答题常考套路归类

【命题规律】

解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量

大.令同学们畏惧.通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：

（1）解析几何通性通法研究；

（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；

（3）解析几何中的常见模型；

解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系所有的解析几何试题都是围绕这八

个字的内容与三大核心考点展开.

【核心考点目录】

核心考点一：轨迹方程

核心考点二：向量搭桥进行翻译

核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译

核心考点四：斜率之和差商积问题

核心考点五：弦长、面积范围与最值问题

核心考点六：定值问题

核心考点七：定点问题

核心考点八：三点共线问题

核心考点九：中点弦与对称问题

核心考点十：四点共圆问题

核心考点十一：切线问题

核心考点十二：定比点差法

核心考点十三：齐次化

核心考点十四：极点极线问题

【真题回归】

1.（2022•浙江•统考高考真题）如图，已知椭圆《+V=1.设A,B是椭圆上异于P（0,l）的两点，且点

在线段AB上，直线PAM分别交直线y=-gx+3于C,。两点.

⑵求181的最小值.

【解析】⑴设“（2指cos。,sin。）是椭圆上任意一点,P设1）,

|PH|2=12cos2+(1-sin0)2=13-1Isin，0-2sin0=-ll|sinO+三i喈理，当且仅当血。T时取

等号，故|叨|的最大值是u相

（2）设直线46:y=而+，直线AB方程与椭圆目+丁=1联立，可得f+心;一；=0,设

+

212\H

Xl+X2=----------f

k2+-

12

4（大,y）,8（孙力），所以，

3

xz二--7-------r

4*2+-

l12

因为直线尸A：y=X二L+1与直线y=-：x+3交于C.

为2

4X2

则xc=，同理可得,々,=则

X+2y—2(2攵+1)*—1X-)+2y2—2(2%+1)^2—1

\CD\=~XD\=

2(J2k+l)Xj—1(2,k+l)x2-1

--------:--=-------=ZvJ----------:--=---------

[(2A+1)工]—1][(2Z+l)x2—1](2k+1)~X[X>—Qk+1)(3+x,)+1

3石Jl6k2+T6石^16/：+1V16+1^6>/5^4A><4+1><J6非,

2|3女+1|5伙+1|-5|3%+1|5

当且仅当％=得时取等号，故|cq的最小值为竽.

2.(2022・全国・统考高考真题)已知双曲线。:，-，=13>0/>0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为>；=±7^.

(1)求C的方程；

⑵过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点尸(芭/),。(々,火)在C上，且为>七>0,必>0.过

产且斜率为-6的直线与过。且斜率为白的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一

个成立：

①加在A8上；@PQ//AB.®\MA\=\MB\.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】(D右焦点为F(2,0),.・.c=2,；渐近线方程为y=士石x,=#，.•"=岛，

a

c2=。2+人2=4。2=4，/.«=1,:・b=G.

.•.C的方程为：/-£=1；

3

(2)由已知得宜线产。的斜率存在且不为零，直线A8的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上，

即为焦点尸，此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而玉=工2，已知不符：

总之，直线AB的斜率存在且不为零.

设直线A8的斜率为h直线A8方程为y=&(x-2),

则条件①以在A8上，等价于%=刈/-2)=伙=42伉一2)；

两渐近线的方程合并为3/-丫？=0,

联立消去y并化简整理得：(二-3卜2-4&28+4二=0

设A«,线段中点为则/=审=番,如“(赤-2)=3，

2k,—Jk—J

设

则条件③|AM|=|3M|等价于伍一天)2+(%-%)2=(七-七『+(%-”)2，

移项并利用平方差公式整理得：

(%,一七)[2%一优+匕)]+(%一%)[2%—(%+1)]=0,

[2X0-(X3+X4)]+?_[2%一(力+乂)]=0,即毛-A+&(%-%)=0.

X3X4

8*2

即吃+60=万二；

K.J

由题意知直线PM的斜率为-石，直线QM的斜率为6,

・,•由%一%=6（々一%），

+X-

**'y一32=_6（%22X0）,

所以直线PQ的斜率加='二%=_&-%）,

xl-x2x{-x2

直线PM:y=-V3（x-x0）+y0,BP丫=%+&/-石x,

代入双曲线的方程3/-V7=0，即（&+川底；-），）=3中,

得：（%+任（＞）［2属-（%+6%）］=3,

%

.•.条件②PQ//AB等价于m=&o仅=3%,

综上所述：

条件①M在AB上，等价于机=%2(x0-2)；

条件②尸。〃AB等价于6。=3与；

条件③=忸徵等价于天+后。=黑：

k—3

选①②推③：

Dk?区”2

由①②解得：=-,x+ky=4x0=-p，，③成立;

K,D(}()K~~J

选①③推②：

2k26k2

由①③解得：Xo=-r—,

k-3K-3

.•.仅)=3/，.•.②成立；

选②③推①：

由②③解得：/=分2k2，如,=6/k—2，•・•七一2=一6，

K-JK—3K—3

.=公(为一2)，...①成立.

3.(2022•全国•统考高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点。(p,0),过广的直线交C于M,

N两点.当直线垂直于x轴时，|Mr|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线M2MD与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为a1.当a-尸取得最大

值时，求直线AB的方程.

【解析】(1)抛物线的准线为x=-^，当MD与x轴垂直时，点”的横坐标为p.

此时尸|=p+5=3,所以p=2,

所以抛物线C的方程为V=4x；

(2)［方法一］:【最优解】直线方程横截式

设《卷,yj，直线"N:x=my+1,

\x=my+\.

由〈2，可得y--4股一4=°，A>0,yty2=-4,

［y=4x

k-Xf_4-_4

由斜率公式可得.一至三一不五，人"一支宝一五五，

4444

直线MD:x=±二-y+2,代入抛物线方程可得尸-也二义.丫-8=0,

A>O,y,y3=-8,所以％=2必，同理可得”=2乂，

44k,MN

所以%AB

%+为2(%+%)~2

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,£,所以^=tan/?=^=詈,

若要使a-4最大，则夕e(0，^

，设我,"N=2kAB=2k>0,则

tan(f)Jana-tan.k]_V2

1+tanatanp1+2公1+2k一4,

k

当且仅当;=2/即氏=立时，等号成立,

k2

所以当a一夕最大时，1^=与,设直线AB:x=&y+",

代入抛物线方程可得y2-4^2y-4n=0,

△>0,%>4=_4〃=4%必=-16,所以〃=4,

所以直线AB:x=>/2y+4.

［方法二］:直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设”（5,*）,'（々,％）4（电,为）8（%，％）直线的：丁=&（刀一1）

由］二£一。得：&2-0二+4卜+女2=0，占々=1,同理，>通=-<

直线加。:），=二4（》-2）,代入抛物线方程可得：x声=4,同理，X2X4=4.

代入抛物线方程可得:%为=-8,所以为=2%，同理可得％=2y,

k_2（--。）_必-MJ卜

ABMN

由斜率公式可得：x4-x3（11］2（X2-X,）2,

Ex\）

（下同方法一）若要使夕最大，则夕

/tana-tan/?_k_11_应

a2

设=2&,m=2%>0,则a1+tan«tanp\+2kL+2k21^2/c4'

当且仅当!=2%即％=正时，等号成立，

k2

所以当a-4最大时，*当,设直线AB:x=J^y+w,

代入抛物线方程可得丁-4应y-4〃=0,△>（）,乃以=-4〃=4），通=一16,所以〃=4,所以直线

A8:x=0y+4.

［方法三］:三点共线

设M仔,yj,喈,%L，%）喈,%），

设P（r,O）,若P、仞、N•:点共线，由PM=13T,yJ,

/2\/2\

所以3T%=乂，化简得乂必=-期，

I4/I47

反之，若X%=-十,可得MN过定点。,0）

因此，由M、N、尸三点共线，得丫跖=-4,

由M、D、4三点共线，得乂为=-8,

由N、。、B三点共线，得%以=-8,

则为北=4yly2=T6,A8过定点(4,0)

(下同方法一)若要使a-4最大，则力e(0，U，

,x_tana-tan/?_k_11_^2

设G=2L=2%>0,则t叫"〃尸1+tanatan尸=一?0』=才，

k2\k'2

当且仅当g=24即氏=立时、等号成立，

k2

所以当a-夕最大时，心“=1，所以直线AB:x=J^)，+4.

【整体点评】(2)法•：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线48的斜率关系，

由基本不等式即可求出直线A3的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法;

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB过定点，省去联立过程，也不失为一种简化

运算的好方法.

4.(2022•全国•统考高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

两点.

(1)求E的方程：

(2)设过点P(b2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足

MT=TH,证明：直线HN过定点.

【解析】⑴设椭圆E的方程为叩?+心1,过A(0,-2),唱,-1),

4〃=1

则<91,解得帆=!，〃，

—m+n=134

14

所以椭圆E的方程为：^+―=1.

43

3一2

(2)A(0,—2),B(—1),所以43:丁+2=3工，

①若过点尸(1，-2)的宜线斜率不存在，直线x=l.代入工+2=1,

34

可得半)，N(1,平)，代入4B方程y=|x-2,可得

T(-&+3,-半)，^MT=TH得至I」”(-2#+5,-孚).求得HN方程:

丫=(2+半》一2,过点(0,-2).

②若过点尸(1，-2)的直线斜率存在，设区-y-(%+2)=0,V⑻,y),N(%,y?).

kx-y-（k+2）=0

联立，x2y2，得（3公+4）f-6攵（2+Z）x+3Z（攵+4）=0,

—+—=1

34

62（2+A）-8（2+&）

…=而’

可得

3%（4+k）4（4+4"2公），

"2=3&2+4

一2妹小

且石必+々,=正百(*)

y=yx

2可得T（孕+3，X）,H（3X+6-N，X）.

联立

y=尸-22

可求得此时创:广当=3y二曷-

将（0,-2）,代入整理得2（%+々）-6（y+%）+%%+当乂-3yly2T2=0,

将（*）代入，得24k+12/+96+48%-24k-48-48%+24公-36公_48=0,

显然成立,

综上，可得直线，N过定点(0,-2).

22

5.(2022•全国•统考高考真题)已知点42,1)在双曲线=l(a＞l)上，直线/交C于尸，Q两点,

a~a-

直线AP,4。的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

⑵若tan/PAQ=20,求△PAQ的面积.

V-4

【解析】(1)因为点A(2,l)在双曲线C：=-Y—=1(。＞1)匕所以r-=1,解得〃=2,即双曲线

a-a^-1a

C：ji.

易知直线/的斜率存在，设/：丫="+机，尸(士,凶),。(々,％),

y=kx+m

联立1炉可得，（1一2公）12-4疝决一2加一2=0,

----y2=117

12-

4mk2m2+2,△=16机％2—4（2/+2）（2公一1）＞0=＞m2-1+2公＞（）且狂土日

所以，%+%=-

2&-2公-1

所以由心,，+分。=0可得，&4+上二1=°,

x2-2%1-2

即（3-2）（乜+zn—1）+（七-2）（脑+/7?-1）=0,

即2g9+（小一1一2Z）（x,+^）-4（m-l）=0,

”2m2+2/<…\（4mk、，/八八

所以2人定一^+（巾-1-2&）-赤：-4（机-1）=0,

化简得，8公+4左一4+4〃?（％+1）=0,即（Z+l）（2k-l+m）=0,

所以左=—1或m=1-2Z,

当机=1一2々时，直线/:y=h+m=A：(x-2)+l过点4(2,1),与题意不符，舍去,

故％=-1.

(2)［方法一］:【最优解】常规转化

不妨设直线PAAQ的倾斜角为。，夕因为原户+七2=。，所以a+£=兀，由（1）知,

2

xtx2=2m+2>0,

当AB均在双曲线左支时，ZPAQ=2a,所以tan2a=2后,

艮Sa/a+tana-夜=。，解得tana当(负值舍去)

此时必与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当A8均在双曲线右支时，

因为tanN尸40=2近，所以tan(力-a)=20,即tan2c=-2&,

Bl-I-Jltan2a-tana-V2=0,解得tana=5/^(负值舍去)，

于是，直线PA:y=0(x—2)+1,直线QA:y=-0(x-2)+l,

y=&(x-2)+l

（&-4）x+lO_40=O,

联立，j可得,lx》

因为方程有一个根为2,所以呼=吐逑，y±/2-5；

33

同理可得，&=胆逆，%=如上.

°33

51A2+1--r-

所以PQ:x+y—7=0,|PQ|==，点A到直线尸。的距离3_2V2,

33"=飞-=亍

故△FAQ的面积为_lx更x述=史亚.

2339

[方法二1:

设直线A尸的倾斜角为a,由tanNPA。=2后，得tan筲义=*，

Hl2a+Z.P.AQ—7i,得kAP=tana=y[2,即~~~=及,

联立河=及,及4"1a=印，内车，

X（-2233

e工田10+4应-4>/2-5卅工2068

同理，x,=------,>*=-------，JxXj+x=—,=—-

323239

而|”|=历…I,\AQ\=y/3\x2-2\,

由tanNPAQ=2拒，得sinNPAQ=半，

&I.SPAQ=^\AP\\AQ\sm^PAQ=y/2\xlx2-2（xA+x2）+4\=^^.

【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线抬,依的斜率，从而联立求出点尸，。坐

标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；

法二：前面解答与法一求解点P,。坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式

的选择不一样.

【方法技巧与总结】

1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值.

2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关.

3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围.

4、建立目标函数，使用基本不等式求最值.

5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围.

【核心考点】

核心考点一：轨迹方程

【规律方法】

求动点的轨迹方程有如下几种方法：

（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

（3）相关点法：用动点。的坐标X、y表示相关点尸的坐标与、%,然后代入点户的坐标（七,％）所满

足的曲线方程，整理化简可得出动点。的轨迹方程；

（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、）'与某一参数，得到方程，

即为动点的轨迹方程;

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

【典型例题】

例1.（2022•全国•高三专题练习）双曲线C:，-，=l（a>0乃>0）的一条渐近线为广行工，且一个焦点到渐

近线的距离为G.

（1）求双曲线方程；

（2）过点（0,1）的直线/与双曲线交于异支两点P,Q,OM=OP+OQ,求点M的轨迹方程.

【解析】（1）由渐近线为y=J5x知，2=百①，又焦点到渐近线的距离为6,即（。,0）到直线y=Gx的距

a

离^^=匝=石，所以c=2,/+/=4②，联立①②，解得/=i,从=3,则双曲线方程为*2-片=1.

V3+123

（2）因为直线/与双曲线交于异支两点RQ,所以直线I的斜率必存在,且经过（0,1）点，可设直线l-.y=kx+\,

与双曲线联立得：（3-公）/-2"-4=0,

A>0

2k

设A/（x,y）,P（办,％）,Q（x?，%），则有，Xj+x2=——解得—<k<，

-4

X.-=------7<0

1-3-k?

2k

X=X1,+X2.=----------27

UUUUUL1UUII3-k

由OM=OP+OQ知，'

y=y+%=%(*+%)+2=获正

xk346

两式相除得一=£,即改=女代入y得/-2丫-3/=0,

yJy5-k,

又-如<k<£,所以）"2,

所以点M的轨迹方程为2y-3x2=0（y..2）.

2

例2.（2022春•吉林辽源♦高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点P（0,l）的直线/交曲线f一5=1于A,

B两点.

⑴若直线/的倾斜角为45。，求|相|；

（2）若线段A8的中点为〃，求点M的轨迹方程.

【解析】⑴由题得/方程为：尸川’将其与联立有

y=x+1

,y2,消去y得：3X2-2X-5=0,解得4-1或%="

x---=l3

4

8啦

亍

（2）山题，直线/存在，故设/方程为：y=kx+l.

y=kx+\

将其与=1联立有：’2丁,消去y得：（4-k2）x2-2kx-5=0

X---=1

4

4-公工0

因/与双曲线有两个交点,则

△=80-16^2>0

2

得0<k<5且无2H4.设A（%，x）,B（x2,y2）.

又设M坐标为（不，%）,则土？=%"21=%・

2

X1=1

44（%+^）X-%=4%_/：

因A,8在双曲线上，则有，=

y+必玉一々%

r2%

又M,尸（04）在直线/上，则&=2二

x（）

%_口="22=0

吆丫、，一七人0几于Jo0

玉）为

2k8

由韦达定理有，玉+%2=­,%+%

—一K4-k2

k

则M坐标为

、4_A

4

又"=二不,°"<5且心4,则为21或%—

综上点M的轨迹方程为：4x2-y2+y=0,其中yW（YO,-4）31,+8）.

例3.（2022.全国•高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.

（1）已知动点P为圆O：/+y2=/外一点，过尸引圆。的两条切线B4、PB,A、8为切点，若2473=0,

求动点尸的轨迹方程；

（2）若动点Q为椭圆M:4+[=l外一点，过。引椭圆M的两条切线。C、Q。，C、。为切点，若QCQD=0,

94

求出动点Q的轨迹方程；

22

⑶在（2）问中若椭圆方程为■+4=1（。>6>0）,其余条件都不变，那么动点。的轨迹方程是什么（直接

ab-

写出答案即可，无需过程）.

【解析】（1）山切线的性质及P4PB=0可知，四边形加生为正方形，

所以点尸在以。为圆心，IOPI长为半径的圆上，且|OP|=&|OA|=&r,

进而动点p的轨迹方程为x2+r=2r

（2）设两切线为4，4，

①当人与x轴不垂直且不平行时，设点。的坐标为。（与，%）则与工±3,

设4的斜率为左，则女二0，4的斜率为-J，

k

4的方程为y-%=z（x-A）,联立工+t=1,

94

得（4+942）%2+184（%一线）％+9（%一处）产-36=0,

因为直线与椭圆相切，所以△=（）,得18*2（%-㈣）2-4（4+%2）.9[（%-5）2-4]=0,

化简,9吐%-心）2_（4+9^）（%_什尸+（4+9公）4=0,

进而（为-5）2-（4+9&2）=0,

2

所以（片-9U-2xoyok+$-4=0

所以火是方程（x；-9）二-+y：-4=0的一个根，

同理-；是方程（片-9正-2Xoyok+q-4=0的另一个根，

K

*-3，得呼+尤=13,其中々#±3,

②当4与X轴垂直或平行时，4与X轴平行或垂直,

可知：P点坐标为：（±3,±2）,

P点坐标也满足X；+7o=13,

综上所述，点尸的轨迹方程为：x：+y；=13.

（3）动点。的轨迹方程是石+¥=/+/

以卜是证明：

设两切线为4，4,

①当4与x轴不垂直且不平行时，设点。的坐标为。（%，%）则/中士a,

心的斜率为左,则七。，，2的斜率为f

f丫2

4的方程为y-%=%（x-与）,联立『,

22222222

得(从+ak)x+2ak(y0-kx„)x+a(y0-kx0)-ab=0,

因为直线与椭圆相切，所以△=（）,

得（2*”（券-5）2-4（6+储&2）./[（为_此）2"]=0,

2222222122

化简，ak(y0-kxa)-(h+ak)(y0-AJ0)+(b+ak-)h=0,

进而（%-此）2-（/+。%）=0，

所以（X；-*-24犷+$-/=（）

所以火是方程（片~a2）k2-2%），/+y：-从=0的一个根,

同理-1是方程（片-。2*-2与），/+y：-/=0的另一个根,

k

».（-：）=；二：,得X+yinT+b。其中

②当4与x轴垂直或平行时，。与x轴平行或垂直，

可知：尸点坐标为：（土a±份，

P点坐标也满足片+y；=a2+lr,

综上所述，点P的轨迹方程为：x-+yl=a2+b2.

核心考点二：向量搭桥进行翻译

【规律方法】

把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决.

【典型例题】

22

例4.（2023・广西南宁・南宁二中校考一模）已知椭圆C:§+与=1（。>6>0）,倾斜角为30。的直线过椭圆的

ab-

左焦点/和上顶点&且“「1+日（其中A为右顶点）.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若过点M（0,时的直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,且PM=2MQ,求实数加的取值范围.

b

1J3

【解析】（1）由题可知5（。+9=1+,

/=/+c2

a=2,

解得b=L

.c="

故椭圆的方程为t+y2=l.

4

（2）当直线/的斜率不存在时，设尸（0,1）,2（0,-1）,M（0,m）,

由PM=2MQ,（0,/n-l）=2（0,-l-w）,得加=-；,

同理，当Q（O,1）.P（O,-1）时，得机=；，所以机=土;，

当直线/的斜率存在时，即mw士g时，

设直线PQ的方程为丫=履+，”，

联立

[x+4y=4,

消去y得（1+4/）Y2+Skmx+4m2-4=0.

因为直线/与椭圆C交于不同的两点P、Q,

所以△=（8km）2-4（1+4Z:2）（4/M2-4）>0,

即4A:2-m2+l>0@.

设P（x，yJ，Q（孙％），

8km4/n2-4

贝!|+x,=-②,

1+4二1+4k2

则PM=(<-xl,m-yl),MQ-(x2,y2-m),

由PM=2M。，得一%=2々③,

(8攵加)2W-4

③代入②得一2'

(1+4公)2-1+4公

化简整理得A=④,

36加一

将④代入①得上s>疗-1,

9m"-1

化简得[<病<1,

解得T<???<--sg-</n<1.

33

综上，〃?的取值范围为1-1,-gUg,l）.

例5.（2023.全国•高三专题练习）已知椭圆C：/■+/=">b>0）的离心率e考，点A（a,0）、8（0力）

之间的距离为石.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若经过点（0,正）且斜率为左的直线/与椭圆C有两个不同的交点P和。，则是否存在常数%,使得

OP+OQ与A8共线？如果存在，求女的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】（D因为点A（”,0）、8（0乃）之间的距离为

所以^/77p■=G，因为椭圆的离心率e=9Z,所以有£=也，而〃=巨+。2,

2a2

\/a2+b2—G

因此组成方程组为：\-=~n[(=：=E+y2=i；

a2[b2=I2

a2=h2+c2

(2)设/的方程为y=fcv+0,与椭圆的标准联立为:

《+2-1

■~2+'=(1+2/"+4限:+2=0,

y=kx+垃

T是有（40幻2-4（1+2/）.2>0=公>；,此时设P（%,%），Q（W，%），

-4垃k

于是有％+九2=

1+2公

假设存在常数M使得OP+OQ与A8共线，

因为OP+OQ=（X+冗2,必+%），AB=（—a,b）=（->/2,1）,

所以后+%）=—（玉+x,）=>>/2（AX）+\/2+kx2+5/2）=—（X|+%），

=血&（玉+X）+4=-（X+£）,因为41+%=，

21J%,

所以近匕巴生+4=-土空nk=显,不满足&2>:，

因此不存在常数3使得OP+OQ与A8共线.

例6.（2023•全国•高三专题练习）已知双曲线=1与圆「2：f+y2=4+/（6>0）交于点4（乙,%）（

4h~

第一象限），曲线「为口、「2上取满足x>|xj的部分.

（1）若4=m，求b的值；

⑵当b=非,「2与X轴交点记作点6、弓，尸是曲线r上一点，且在第一象限，且|「用=8,求/"6；

（h1\b

（3）过点。0,—+2斜率为-g的直线/与曲线「只有两个交点，记为M、N,用。表示OM.ON,并求

OM-ON的取值范围.

【解析】（1〉由七=卡，点A为曲线J与曲线后的交点，

（22

"_A_=1

联立，4b2,解得〃=&,b=2；

.x；+y：=4+〃

（2）由题意可得耳，鸟为曲线口的两个焦点,

由双曲线的定义可得|延卜|「局=2即

又|P耳|=8,2a=4,

所以|明=8-4=4,

因为。=逐，则°="7?=3,

所以忸国=6,

在△居居中,由余弦定理可得

忖6F+归工『一|片鸟『

COSZFPF=

}22俨6卜|尸耳

64+16-36J2

2x8x4-16

ill0</尸尸居<7i,可得/耳尸£,=arccos—；

16

|4+£|

（3）设直线/：y=-^x+丝1,可得原点。到直线/的距离d=L=^L="TF,

22楼

所以直线/是圆的切线，设切点为M,

所以勺”=7,并设。加：丫=工工与圆/+丁=4+〃联立,

bb

可得x?+Q2=4+/，

可得x=b,y=2,即例仅,2）,

注意直线/与双曲线的斜率为负的渐近线平行，

所以只有当然>2时，直线/才能与曲线「有两个交点,

o2

工江=1A4

由{4b-可得）

_V+V=4+^

I4

所以有4V——r,解得/>2+2退或/<2-2右（舍去）,

4+b~

因为0例为ON在。M上的投影可得，OMON=4+b2>

所以OMON=4+〃>6+2若，

贝i]OM.ONe（6+26+8）.

22

例7.（2022・全国•高三专题练习）已知双曲线C:二-与=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为"，尸2,且

ab~

忻闾=8,P（4,6）是C上一点.

（1）求C的方程；

⑵过点的直线与C交于两点A,B,与直线/：y=3x-12交于点N.设W4=zlAA/,NB=pBM,求证:

2+〃为定值.

【解析】（D设C的焦距为2c,则忻闾=加=8,

即c=4,E（TO）,片（4,0）；

由双曲线的定义，得双=|P用-闸|=，（4+4了+62-J（4-4y+62=4,即a=2,

2*>

所以匕=>/?=7=Ji直4=2。故c的方程为:4=1.

⑵设A（x「yJ,8（孙必），N（m,〃），显然直线AB的斜率存在，

可设直线AB的方程为y-1=-x-l）,代入3/-V=[2,

得（3-公卜2-2%（1-少+213-%2=0.

由过点的直线与C交于两点A,B,得3-小w0,

由韦达定理，得%+工,=也;。，玷=21二13£①

由N（〃7,〃）在直线/:y=3x-12上，得〃=3〃?一12,即12—3加+仕=0；②

由N（m,〃）在直线A8上，得〃-1=氏（加-1）.③

由NA=/IAM，得（%一，珥%-"）=几（1一%,1->|）,

八/x>4x.-tn.,X.-tn

即X1_/〃=4(1_斗)解4得)=]—x.同理，由NB=〃B例>得〃=x

+x)-2xx-2m

结合①②③，得4+〃=-^—+7—2t2

1-X]l-Xj

2k(\-k]2k-U-k2.

(加+1>3〃-2x3r-2m2耳助[)6社+26

2(〃一1)-6m+262(〃-3〃z+12)

故义+〃是定值.

(1-%])(1-%2)(1-X1)(1-X2)

核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译

【规律方法】

首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点

设线、直由联立、看判别式、韦达定理.

将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公

式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关

于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的

关系.

【典型例题】

例8.（2022春•内蒙古呼和浩特•高三呼市二中阶段练习）已知椭圆C:二■+£=1（。>0）的左、右焦点分别为

/8

K，工，P为C上一点，且当轴时，|P^|=y,

（1）求C的方程；

（2）设C在点尸处的切线交x轴于点0,证明：|P耳卜|。闾=忸巴卜|。耳|.

【解析】（1）由题意知，/>8,得a>20，

当PF}_Lx轴时，设P（-c,y0）（y0>0）,

代入椭圆方程，得超=1,解得%=白，即同|=£

a8aa

由椭圆的定义知，|M|+|P周=2a,又|P周=],

Q1n

所以&+；=2。，由”>20,解得。=3,

a3

故椭圆C的方程为《+1=1；

9o

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为x=±3,此时点尸与点。重合，等式成立;

当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；

当切线斜率存在时，设P（x。,%）,

则，，苦

由WI，2当g

所以切线的斜率为k=-22x°,得切线方程为丫=-2产。/）