单样本非参数检验

第二章单样本非参数检验第一节符号检验

第二节中位数的置信区间

第三节Wilcoxon符号秩检验第一节符号检验符号检验（SINGTEST）是利用正号和负号的数目对某种假设做出判定的非参数方法。

符号检验虽然是最简单的非参数检验，但它体现了非参数统计的一些基本思路．首先看一个例子。

平均数mean(包括切尾平均数)中位数median和众数mode都可用来表示数据的中心位置，参数数据分析中总体的中心位置常用均值表示，例如当总体服从正态分布时，使用检验方法检验均值。而非参数数据分析方法中，总体的中心位置常用总体的中位数表示，故关于中心位置的检验问题就是关于中位数的检验问题。例1联合国人员在世界上66个大城市的生活花费指数(以纽约市1996年12月为100)按自小至大的次序排列如下(这里北京的指数为99)：

66757880818182838383838485858686868687878888888888898989899090919191919293939696969799100101102103103104104104105106109109110110110111113115116117118155192

这个总体的中间水平是多少？北京市在该水平之上还是之下？（北京为99）这个例子经过简单计算，得到样本均值为96.45，而样本中位数为91；它们都可作为总体的中心的估计，除此之外，众数(频率最大的点，本例是88)可作为中间位置．在本例中，总体分布是未知的，为此从看该数据的直方图中很难说这是什么分布。

假定用总体中位数M来表示中间位置，就意味着样本点取大于M的概率应该与取小于M的概率相等。所研究的问题可以看作是只有两种可能“成功”或“失败”。成功为“+”，即大于中位数M；失败为“-”，即小于中位数M。令S+=得正符号的数目S—=得负符号得数目可以知道S+或S—

均服从二项分布B（66，0.5）。则S+和S—可以用来作检验的统计量.左侧检验，当零假设为真的时，S+应该不大不小。当S+过小，即只有少数的观测值大于99，则认定中位数99可能太大，实际总体的中位数可能要小一些。对于右侧检验，当零假设为真的时，S+应该不大不小。当S+过大，即有多数的观测值大于99，则认定中位数99可能太小，目前实际总体的中位数可能要大一些。双侧检验对备择假设H1来说关心的是等于正的次数是否与等于负的次数有差异。一般情况，备择假设采用我们觉得有道理的方向。上面的例题采用左侧检验，备择检验：M<99。因为只有一点为99，舍去这一点，于是从66减少到65。而s+=23在零假设下(下面概率p=0.5)，二项分布的概率

就是该检验的p值。P（S+<23）=0.0124。也就是说，在零假设下，目前由该样本所代表的事件的发生的概率仅为0.0124，所以不大可能。也就是说，北京的生活指数(99)不可能小于世界大城市的中间水准．

对于双边假设检验，为计算方便，一般取S+和S—中较小的一个做检验统计量；如用K表示，则K=min(S+,S—)。在本例子中，若是双边检验，P值应该二倍于单侧检验的。检验统计量

（s+=23）

S+（s+=23）P-值

P（S+<23）=0.01242P（S+<23）=0.0248检验的结果

拒绝零假设拒绝零假设结论

中位数小于99中位数不等于99[例]生产过程是否需要调整。某企业生产一种钢管，规定长度的中位数是l0米。现随机地：从正在生产的生产线上选取10根进行测量，结果：9.810.19.79.99.810.09.710.09.99.8

分析：中位数是这个问题中所关心的一个位置参数。若产品长度真正的中位数大于或小于10米，则生产过程需要调整。故做双侧检验，建立假设为了胁对假秆设作排出判源定，那先要锦得到叹检验过统计射量S+或S—。将闸调查及得到生数据饶分别巴与1柄0比有较，伟算出坛各个陪符号闷的数船目：s+=1当，s—=7限，n奸=8番。p大兴于显臂著性跪水平古0.驰05贪。表扮明调王查数董据支企持原柳假设拢。即匠生产季过程财不需道要调龙整。第二越节基于淘符号炕检验体的中梦位数临置信宅区间例确我霉国国鸦有经严济1腹5个界行业追的1双99骑6年螺职工抓平均迟工资伐按从抹小到漏大的选次序亦为（次单位剃：元泽）40蚀38捆4蝇94洞0徐57巡寿98运6题16串1贪63懂44辱6称61筒0魂66奋95暗6旦70薄969车67避6银99查2施78茅97郊7逐98纽奉7平85阅46习8耍67液9面87尸01求中壤位数肃的置彻信区东间。定义兔2.币1把n察个样担本点辆按从惠小达馒到的定顺序去排列序，得假设片顺序掩统计蜜量芽,普由谷构成底区间敬作为蓬中位农数的榴置信努区间思。由于猪大于纱和小佣于中糠位数披M的妇样本灭点数晓服从算B(蹈N,明0.网5)由于抽得到骡的区贸域是皂以中宣位数悬位对席称的板，故kP(K<k)1-2×P(K<k)置信区间区间长00.00000001.0000000[4038,8701]466310.00003050.9999390[4940,8679]373920.00048830.9990234[5789,8546]275730.00369260.9926147[6161,7987]182640.01757810.9648438[6344,7897]64850.05923460.8815308[6610,6992]357第三高节慢W纹il略co粪xo杜n符革号秩铃检验Wi余lc耍ox右on扰符号兔秩检塞验是斑对符拌号检爹验的孝一种痕改进即，前价面的餐符号蓬检验伏只利抄用了闻样本诊差异冠方向纲上的庙信息石，并懒未考币虑到秀差别汗的大锻小，苍所以健Wi壶lc候ox群on笋符号诸秩检今验弥捡补了摸符号恩检验辞的不掘足。一、钞Wi堆lc临ox似on嫂符号艺秩检鼻验的蝇思想Wi甘lc遇ox兵on掌符号锅秩检炭验是造检验弯关于自中位册数对桑称的茧总体吵的中巾位数自是否洞等于株某个森特定独值。为了死对假茎设作跳出判张定，品需要莲从总药体中冒随机衰抽取窗一个开样本绪得到沫n个做观察名值。协这n府个数睬据记兄作x1，x2，…强，xn它们抚分别四与M0的差候值记稀为Di，Di潮=Xi-M0（i概＝l拴，2示，…堡，n蛇）。障如果辆原假搜设为冠真，僚那么哄观察统值围筋绕M0对称圣分布赢。对于计Di群来说鲜，正的隶差值抚和负披的差印值应扰近似五地相汁等。取匪绝对宅值|共Di伙|，忽对|窃Di棕|按大大小寺顺序帜排序鹊。再至按本为身符沫号的语正、带负分虾别加帖总它藏们的撕秩次是，得统到正跨等级判的总浪和W举+与察负等犯级的耀总和鞭W-天。为服假设价为真贺时，刃正等半级的诊总和仓与负竭等级孩的总陕和应天该近避似相覆等。如果搬正等涛级的梁总和贺远远僻大于多负等絮级的裤总和挺，表宋明大董部分匆大的格等级降是正始的差葛值，肺这时裁，数抛据支锯持备个择假亿设M见>M词0，珍即实赞际的侦中位涉数比聋M0大。如果开负等滥级的螺总和仆远远棉大于宋正等木级的麻总和牙，表悼明大瘦部分组大的暗等级倒是负槐的差垫值，亚这时沿，数绩据支及持备耳择假扔设M主<M划0，惑即实愁际的企中位批数比枪M0小。因为老正等隐级和纯负等纵级的唐总和惭是个判恒定械的值对，即椅l纱+2届+…宣+n疯＝n图(n赴+1背)／眉2，泛因此未对于国双侧抚备择纸M≠醋M0滔来说铺，两困个中生无论江哪一寒个太剃大，妇都可玻以被伶支持福。二、刃检验奸的步拒骤(1劝)计算择︱Xi-M0︳，倒它们纺代表填这些欺样本倚点到宰M0的距顾离；(2净)把上失面的狂n个替绝对俊值排礼序，屋并找鞋出它肉们的膝秩；揪如果交有相唉同的敏样本壳点，前每个匙点取解平均锣秩(龄如1蕉，4例，4悔，5谈的秩披为1擦，2练.5冬，2桑.5固，4苹)；(3说)计算正等子级的链总和铸W+与负症等级赚的总晶和W结-(4盾)选择葬检验弯统计绑量。创对双疏边检遣验，朴在零侦假设行下，W+哥与W-应大壁小差昌不多尸．因耽而，启当其语中之表一非胖常小难时，猴应怀避疑零次假设钟；在斧此，取取检印验统刊计量咬W=单mi值n(W+，W-)。浮类似疯地，仿对左杨侧检箩验，陕取W宅=W+。对林右侧文检验括，取验W=W-。(5备)根据谢得到递的W聚值，方查W择il榜co蜂xo艺n符禽号秩敌检验段的分旁布表馅以得土到在灵零假其设下乐P—汪值．稿如果盆n很辜大要正用正私态近夺似，壳得到匹一个捆与W切有关扬的正御态随呼机变刮量Z裹的值蔽，再猪查表产得P法—值记。。(6诱)如P床值较愿小(鸡比如忍小于足或等挺于给裹定的掠显著汁性水托平0铸.0赠5)身则可韵以拒液绝零射假设确。注意塌：Wi颤lc问ox帐on炭符号凉秩检僻验利忙用符蚊号检候验没断有用察数据糖大小污的信循息，丝式但W束il任co撒xo沟n符王号秩誉检验路假设酿分布乱是对洒称的睡，如有果对塌称性练不成袄立，涛则还训是符跑号检璃验好凉。特别您，当虑样本惠容量刑很大增时，男可利妈用正民态近赴似，速利用养线性禁符号假秩的乱概念院有于是痛统计遥量为做为盏比较香，现混在利他用正毙态近臭似对凭世界壁大城滥市再佩做Wi表lc胞ox秩on符号谊秩检师验检验统计量Z=-2.5725Z=-2.5725P-值=0.0052=0.01检验的结果拒绝零假设拒绝零假设结论中位数小于99中位数不等于99注意：该观例利辛用Wi切lc劫ox丢on符号业秩检店验所眠得得赛结论渐与符掘号检劈燕验结末论一塌样，苍但P正值是栗符号酱检验牛的一漂半，识这是纷因为Wi执lc判ox垒on符号处秩检股验利列用符据号检感验没勺有用索的信聚息，晌但Wi纳lc忽ox述on符号帜秩检昨验假旨设分劳布是哥对称退的，坊如果堪对称捏性不霜成立间，则训还是金符号偿检验册好。需要膜说明撇的是隔，这蚕里看申上去不是按灿照备踢择假杨设的呜方向勉选检粗验统疼计量机。但币是实哗际上炎往往竹是按欧照实鲜际观孔