湖南省衡阳市鼎兴实验学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市鼎兴实验学校2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则

（

）A.{(－1,1),(1,1)} B.[0,2] C.[0,1]

D.{1}参考答案：B，，，故选B.

2.O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（

）

A．一定不共面

B．一定共面

C．不一定共面

D．无法判断参考答案：B3.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是(

)A．96

B．16

C．24

D．48

参考答案：D略4.已知为自然对数的底数，设函数，则A．是的极小值点 B．是的极小值点C．是的极大值点 D．是的极大值点参考答案：B

5.某商场有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有40种、30种和20种,现采用分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取8种，则奶制品类应抽取的种数为A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C6.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y对x的线性回归方程为A．

B．

C．

D．父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177

参考答案：C7.双曲线的渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.在等差数列中，，则数列的前11项和等于A．

B．

C．

D．参考答案：D9.下列命题中的假命题是

A.

B.

C.

D.参考答案：C,所以C为假命题.10.在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为（）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣参考答案：A【考点】几何概型．【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S三角形=×4=．满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1﹣．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，是圆的切线，为切点,是圆的割线．若，则______．参考答案：12.设x，y满足约束条件，则的取值范围为

.参考答案：[－1，6]13.已知，函数在区间单调递减，则的最大值为

.参考答案：-1614.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=

．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PEA1C，QFA1C，RGA1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．15.以下四个命题中：

①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；

②直线y=kx与圆恒有公共点；

③在某项测量中，测量结果服从正态分布N(2，)(>0)．若在(-∞，1)内取值的概率为0．15，则在(2，3)内取值的概率为0．7；

④若双曲线的渐近线方程为，则k=1．

其中正确命题的序号是

．参考答案：②16.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a7的值为

．参考答案：﹣13．【分析】由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组由通项公式可得．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=7，S7=﹣7，∴，解方程组可得，∴a7=a1+6d=11﹣6×4=﹣13故答案为：﹣13．17.一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是．参考答案：40【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图：内接于⊙O，AB=AC直线MN与⊙O于点C，弦BD//MN，AC与BD相交于点E。

（I）求证：≌△ACD；

（II）若AB=6，BC=4，求线段AE的长．

参考答案：19.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，，求的值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系，从而可凑得的形式，得到，进而得到；（Ⅱ）由正弦定理求得，利用同角三角函数关系得到；再利用二倍角公式得到；通过两角和差正弦公式求得结果.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得：，化简得：又

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，由正弦定理得：又

【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用问题，属于常规题型.20.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：∥平面．参考答案：（1）证明：∵为菱形，且，

∴△为正三角形．

…2分是的中点，∴．

∵，是的中点，∴．

…4分，∴平面．

…6分∵平面，∴平面平面．

…8分（2）证明：连结，设，连结．∵三棱柱的侧面是平行四边形，∴为中点．

…10分在△中，又∵是的中点，∴∥． …12分∵平面，平面，∴∥平面．

…14分略21.（本小题满分10分）已知，对，恒成立，求的取值范围．参考答案：-7≤x≤11∵a＞0，b＞0且∴+=(a+b)(+)=5++≥9，故+的最小值为9，……5分因为对a，b∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9，

7分当x≤-1时，2-x≤9，∴-7≤x≤-1，当-1＜x＜时，-3x≤9，∴-1＜x＜，当x≥时，x-2≤9，

∴≤x≤11，∴-7≤x≤11

……10分22.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得异面直线与所成角余

弦值等？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（I）如图建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，