假期作业三+函数的基本性质-2022-2023学年高一数学暑假作业

假期作业三函数及其性质一、单选题1．已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知函数是定义在上的奇函数，且，则（

）A． B．2 C．0 D．53．设，，，则（

）A． B．C． D．4．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

5．已知，则（

）A． B．C． D．6．下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．7．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．8．下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（

）

A． B． C． D．9．已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．10．在中，内角，，，．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．11．已知函数则（

）A． B． C． D．212．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（

）A． B．C． D．13．已知集合，，则（

）A． B．C． D．14．函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

15．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．二、填空题16．已知集合,，则__________．17．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______．18．函数的最小值为________．19．定义域为的函数满足，当时，当时，恒成立，则实数t的取值范围是______．20．已知函数，且，则______．三、解答题21．函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，(1)求和；(2)若集合，且，求实数P的取值范围．22．已知向量，且函数．(1)求函数图象的对称轴和对称中心；(2)把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．23．设是R上的奇函数，，当时，.(1)的值；(2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积.24．对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有≥成立，则称函数为理想函数.(1)判断函数()是否为理想函数，并予以证明；(2)若函数为理想函数且，求的值；(3)已知函数为理想函数，若，使得，求的值.25．给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.(1)若，判断集合是否为空集，并说明理由；(2)若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；(3)若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.参考答案：1．B【分析】分析出函数为奇函数，利用导数分析可知函数在上为增函数，由可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，其中，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，又因为，故函数为奇函数，由可得，所以，，所以，，令，因为，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.2．D【分析】由题意可得函数的周期为6，然后利用周期和，可求得结果.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以，所以的周期为6，所以，故选：D3．B【分析】根据题意，由，得，先构造函数，利用导数分析其单调性，得到，再构造函数，，利用导数分析其单调性，得到，即可得到，最后构造函数，利用导数分析其单调性，得到，进而得到，进而求解即可.【详解】由，得，令，则，所以在上单调递减，所以，即，令，，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，即，所以.由，得，，设，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以时，，所以，即，所以，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.4．B【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC，再比较出，排除B，得到正确答案.【详解】由题知，的定义域为，因为，∴是奇函数，排除A，C，因为，排除D.故选：B.5．B【分析】由题意分析函数的单调性，可得，，，即可得答案.【详解】因为函数在上单调递增且,所以，所以，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，所以，所以.故选：B.6．C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.7．C【分析】根据，构造函数，利用其单调性比较.【详解】解：令，则，因为，所以，则在上单调递减.所以，故，，故选：C8．B【分析】利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.【详解】当时，，.排除A；由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；当时，.排除D；为奇函数，且当时，，当时，.B均符合题给特征.故选：B.9．C【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.【详解】设，则，原命题等价于：任意，使为真命题，所以，其中设，则函数，的最大值为与中的较大者，所以，∴，解得，故选：C.10．D【分析】根据题意原不等式可转化为，恒成立，由的取值范围即可求出的最小值，即可解出答案.【详解】因为对于任意实数，不等式恒成立，所以，即,等价于恒成立，又，即，即，，，所以，解得.故选：D11．C【分析】根据分段函数的解析式，即可根据自变量的范围代入求值.【详解】,,故，故选：C12．D【分析】根据题意画出函数的草图，再由奇函数化简不等式为，结合图象即可选出答案.【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，又在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示．

由可得，，由于在分母位置，所以，当时，只需，由图象可知；当时，只需，由图象可知；综上，不等式的解集为．故选：D13．C【分析】分别求出集合和，根据交集和并集的定义，即可得出答案．【详解】因为，所以，即，由得，所以，，故选：C．14．A【分析】先利用导数求出函数的单调区间，再根据时，函数值的符号，利用排除法即可得解.【详解】，当或时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故排除B；当时，，所以，故排除CD.在A中：单调性满足，当时满足，令即有两个正根，且时，当或时，以上性质图象均满足，故A正确.故选：A.15．C【分析】根据常见函数的奇偶性与单调性，及函数奇偶性的定义判断即可.【详解】为非奇非偶函数，故A错误；为非奇非偶函数，故B错误；在其定义域内既是奇函数又是增函数，故C正确；记，其定义域为，，则为偶函数，故D错误.故选：C.16．【分析】求出定义域和值域得到，从而得到交集.【详解】因为，，所以．故答案为：17．【分析】利用偶函数定义可求解.【详解】当时，，故，所以，所以故答案为：18．2【分析】(方法1：单调性法)：求得函数的单调性，从而可得最小值；(方法2：换元法)：令，结合二次函数的性质求出最小值．【详解】(方法1：单调性法)：显然函数的定义域为，因为函数与在定义域上均是增函数，故在上是增函数，所以当时，，即函数的最小值为2．(方法2：换元法)：令，则，所以原函数转化为，易知在时，函数单调递增，所以当时，，故函数的最小值为2．故答案为：2．19．【分析】先求出上的值域，根据可以求出上的的值域，然后只需，解不等式即可.【详解】时，，则当，，而，则，由于是当时，因此当时，．而当时，恒成立，等价于，即，由得，即，由可得，于是.故答案为：20．2024【分析】根据已知条件构造函数，然后利用函数的奇偶性可求得结果.【详解】构造具有奇偶性的函数，由，得，构建函数，定义域为，因为所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又，因此.故答案为：202421．(1)，(2)【分析】（1）解不等式求出，进而求和；（2）根据可得满足的不等式，其解即为实数p的取值范围.【详解】（1）对于集合A：由，解得或，∴，对于集合B：由，解得，∴，所以，，；（2），因为，所以，解得，，所以，实数p的取值范围为：．22．(1)对称轴为，对称中心为(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简，再由三角函数的性质求解即可；（2）由三角函数的平移、伸缩变换可求出，再由三角函数的性质求出在的最大值，可得，解不等式即可求出答案.【详解】（1）因为向量，所以，令，得；令，得，所以的图象的对称轴为，对称中心为；（2）把的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，则．当，即时，．因为不等式在上恒成立，所以，即，解得或．所以实数的取值范围为．23．(1)(2)4【分析】（1）根据已知可得函数的周期为4，再由奇偶性与给定范围的表达式即可求解；（2）由已知可得函数的图象关于直线x＝1对称，又当时，，且的图象关于原点成中心对称，再结合的图象求解即可．【详解】（1）由，得，所以是以4为周期的周期函数，又为奇函数，所以；（2）由是奇函数且，得，即．故函数的图象关于直线x＝1对称．又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则的图象如图所示．

当时，设的图象与x轴围成的图形面积为S，则.24．(1)不是，证明见解析(2)(3)或【分析】（1）不妨取验证判断；（2）由，，，都有成立，令求解，在由，令求解；（3）根据（2），分析和矛盾求解.【详解】（1）解：不妨取，则，，与矛盾，故该函数不是理想函数；（2）由，，，都有成立，知，又，所以，综上，；（3）由（2）知，当时，有与矛盾，同理当时，有与矛盾故，即为方程在区间上的根，易知或者.25．(1)不存在，理由见解析(2)证明见解析，(3)【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾，即可判断；（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解；（3）依题意不存在图像上的点，使得该点是“正交点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得到方程对无解，结合二次函数的性质计算可得.【详解】（1）假设存在“正交点”，则存在两条相互垂直的切线，设为和处的切线，因为，所以，所以，所以不存在“正交点”，所以.（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，因为，所以，所以在和处的切线方程为：，，联立，解得，即，因为两条切线互相垂直，所以，所以，所以的所有“正交点”在一定直线上.（3）因为，所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”.先证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本