人教版七年级数学下册全套教学设计

人教版初中数学七年级下册5.1.1相交线教学设计一、教学目标：1.理解两条直线相交的特征及邻补角与对顶角的概念.2.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单的实际问题.二、教学重、难点：重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.难点：理解对顶角相等的性质.三、教学过程：情境引入你能在身边找出一些相交线的实例吗？知识精讲思考：作过程，你能发现它的角有什么变化？如果把剪刀的构造看做两条相交的直线，你们想想它是一种怎样的几何结构？如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交；公共点叫做这两条直线的交点.

上图的几何描述为：直线AB、CD相交于点O.探究：任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角.图中还有哪些角也是邻补角呢？形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.图中还有哪些角也是对顶角呢？∠1与∠3在数量上又有什么关系呢？对顶角相等∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角的定义)

∴∠1=∠3(同角的补角相等)(注：“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”.)典例解析例1.下列四个图形中，∠1和∠2是对顶角的是（

）．【分析】解：A.两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；B.两角没有公共顶点，两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；C.两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；D.两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；故选：D．【针对练习】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（

）例2.如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数.解：由邻补角的定义，得

∠2=180°-∠1=180°-40°=140°

由对顶角相等，得

∠3=∠1=40°

∠4=∠2=140°【针对练习】如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.你能说出其中的一些邻补角与对顶角吗？如果∠α=35°，其他三个角各是多少度？如果∠α等于90°、115°、m°呢？解：∠1与∠α，∠3与∠α，∠1与∠2，∠2与∠3是邻补角；∠1与∠3，∠2与∠α是对顶角.

当∠α=35°时，∠1=145°，∠2=35°，∠3=145°；

当∠α=90°时，∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°；

当∠α=115°时，∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°；

当∠α=m°时，∠1=(180-m)°，∠2=m°，∠3=(180-m)°.例3.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.解：∵∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，∴∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.又∵∠BOF＝∠2(对顶角相等)，∴∠2＝70°(等量代换)．【针对练习】1.如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1+∠5=180°,找出图中与∠1相等的角.解：∵∠1=∠3（对顶角相等）∠5+∠8=180°且∠1+∠5=180°∴∠8=∠1∵∠8=∠6（对顶角相等）∴∠6=∠1.2.如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，找出图中与∠2互补的角.解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠2的补角有∠1和∠3∵∠5+∠8=180°，∠5+∠6=180°且∠2=∠5∴∠2的补角有∠6和∠8例4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE=28°，且OE⊥OF．求∠AOC和∠AOF的度数．解：∵OE平分∠BOD，∠DOE=28°，∴∠DOE=∠EOB=28°，又∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠DOE+∠EOB=28°+28°=56°，∵EO⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-28°=62°，∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-62°=118°．【针对练习】如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠DOE．若∠DOE：∠EOC=2：3，求∠AOC的度数．解：∵∠DOE+∠EOC=180°，且∠DOE：∠EOC=2：3，∴∠DOE=2∵OB平分∠DOE，∴∠BOD=1∴∠AOC=∠BOD=36°．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。人教版初中数学七年级下册5.1.2垂线教学设计一、教学目标：1.理解垂线的有关概念、性质及画法；2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.二、教学重、难点：重点：垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解.三、教学过程：情境引入观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？知识精讲在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角∠α也会发生变化.当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b.当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.如上图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是O；

直线m与直线n垂直，记作：m⊥n；

“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；

而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.垂直的定义有以下两层含义：1.∵AB⊥CD(已知)2.∵∠1=90°(已知)

∴∠1=90°(垂直的定义)∴AB⊥CD(垂直的定义)日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的木条.你能再举出其他例子吗？做一做1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？2.如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？3.利用下面的方法可以折出互相垂直的线，你试试看!探究：1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？

2.经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？

3.经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.典例解析例1.如图所示，P是∠AOB的边OB上一点.(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C;(2)过点P画OA的垂线，垂足为H.解:(1)直线PC为所求;(2)直线PH为所求.【针对练习】画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线.知识精讲思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使渠道最短？探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.我们如何测量立定跳远的成绩？典例解析例2.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【针对练习】1.如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（）A．点A到BC的距离是AD的长度 B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度 D．点B到AC的距离是AB的长度2.已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离为(

)A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.【针对练习】如图，AB交CD于O，OE⊥AB．若∠AOC:∠BOC=1:2，求∠EOD的度数．解：∵∠AOC:∠BOC=1:2，∠AOB=180°，∴∠AOC=1∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠DOE=180°-90°-60°=30°．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方人教版初中数学七年级下册5.1.3同位角、内错角、同旁内角教学设计一、教学目标：1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；3.从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简，化难为易的化归思想.二、教学重、难点：重点：理解同位角、内错角、同旁内角的概念.难点：能在图形中识别同位角、内错角、同旁内角.三、教学过程：问题引入三线八角如果有两条直线和另一条直线相交，可以得到几个角？八个角通常说：两条直线被第三条直线所截.如：直线a、b被直线c所截.知识精讲同位角观察图中∠1和∠5的位置关系.

两角的位置分别在直线AB，CD的同一方(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.∠2和∠6是同位角吗？图中还有没有其他的同位角？标记出它们.∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角.内错角观察图中∠3和∠5的位置关系.

两角的位置都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.图中还有其它内错角吗？∠4和∠6是内错角同旁内角观察图中∠3和∠6的位置关系.

两角的位置都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.图中还有其它同旁内角吗？∠4和∠5是同旁内角同位角、内错角、同旁内角的结构特征：注：上述三类角类似于对顶角都是成对出现.不能说哪个角是同位角、内错角、同旁内角.典例解析例1.(1)若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角；(2)若ED,BC被AF所截，则∠2与______是内错角；(3)∠1与∠2是AB和AF被______所截构成的______角；(4)∠B与∠4是_____和_____被BC所截构成的_______角.【针对练习】1.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.解:(1)同位角:∠1和∠5；∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8.内错角:∠3和∠5；∠4和∠6.同旁内角:∠3和∠6；∠4和∠5.(2)同位角:∠1和∠3；∠2和∠4.同旁内角:∠2和∠3.2.如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论.解：∠B与∠DAB是内错角，∠B与∠EAB是同旁内角，它们都是直线DE，BC被直线AB所截形成的；∠B与∠BAC是同旁内角，它们是直线BC，AC被直线AB所截形成的；∠B与∠C是同旁内角，它们是直线AB，AC被直线BC所截形成的.例2.如图，直线DE，BC被直线AB所截.

(1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？

(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？答：(1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角.

(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.

∵∠4和∠3互补，即∠4+∠3=180°

又∵∠1=∠4

∴∠1+∠3=180°，即∠1与∠3互补.【针对练习】两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角．（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；（2）若∠1=3∠2、∠2=3∠3，求∠1，∠2的度数.解：（1）如图，下图为所求作．（2）∵∠1=3∠2，∠2=3∠3，∴∠1=9∠3，又∵∠1+∠3=180°，∴9∠3+∠3=180°，∴∠3=18°，∴∠1=162°，∠2=54°．例3.如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？∠1和∠2；∠2和∠6；∠6和∠A；∠3和∠5；∠3和∠4；∠4和∠7.解：∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截而产生的内错角；∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截而产生的同位角；∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截而产生的同旁内角；∠3和∠4是直线ED和直线BC被直线EC所截而产生的内错角；∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截而产生的同旁内角.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。人教版初中数学七年级下册5.2.1平行线教学设计一、教学目标：1.理解平行线的定义；2.掌握平行线的画法及平行公理及其推论.二、教学重、难点：重点：能借助三角板，方格纸等画平行线并探索平行线的基本事实及推论.难点：探索平行线的基本事实及推论.三、教学过程：情境引入你喜欢滑雪运动吗？早在5000年前，人们就把滑雪作为雪上旅行的一种方式，今天滑雪在许多国家和地区都是一项十分普及的运动.你知道滑雪运动最关键是什么吗？滑雪运动最关键是要保持两只雪橇板的平行!知识精讲思考：如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动直线a，想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．(在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.)平行线在生活中是很常见的，你能在下面的图片中找出平行线吗？我们知道了平行线的定义后，如何用几何语言来描述平行线呢？

通常用“∥”表示平行，读作“平行于”.

如下图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD.

如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m平行记作l∥m.思考：在图中转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与b平行？平行线画法一放一靠一推一画思考：如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(平行公理的推论)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.典例解析例1.下列说法中，错误的有（

）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与c相交，b与③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】根据平行线公理及推论可知，①正确；若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，②错误；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．故错误的有3个，故选：A．【针对练习】下列说法中，正确的是（

）A．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行B．不相交的两条直线一定平行C．有且只有一条直线垂直已知直线D．连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短例2.如图,在∠AOB内有一点P.(1)过点P画l1//OA;(2)过点P画l2//OB;(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎么关系?解:(1)、(2)如图所示，(3)相等或互补.【针对练习】如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列问题：(1)过点P作AB的垂线，垂足为点D；(2)过点P作BC的平行线，交AB于点E；(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由.解：(1)如图所示：PD即为所求；(2)如图所示：PE即为所求；(3)PD＜PE，理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．例3.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②AB=MN；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有个．解:(1)(2)作图如下;(3)如图,符合题意的点F有6个.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。5.2.2平行线的判定教学设计一、教学目标：1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判断两条直线是否平行；2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.二、教学重、难点：重点：理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进行简单的推理应用.难点：平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.三、教学过程：复习回顾1.平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.记作：a∥b.2.基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.3.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.(也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.)如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.知识精讲思考：在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别起着什么样的作用？可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2相等的∠1，而∠2和∠1正是直线AB，CD被直线EF截得的同位角，这说明，如果同位角相等，那么AB∥CD.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.几何语言：∵∠1=∠2∴AB∥CD如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？∵∠BEF=∠ECD∴CD∥EF(同位角相等，两直线平行)思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角.由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么，能否利用内错角，或同旁内角来判定两直线平行呢？猜一猜：(1)内错角满足什么关系时？两直线会平行？(2)同旁内角满足什么关系时？两直线会平行？如图，如果∠2=∠3，你能得出a∥b吗？解：a∥b∵∠2=∠3(已知)∠1=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠2(等量代换)∴a∥b(同位角相等，两直线平行)判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.几何语言：∵∠1=∠2∴AB∥CD如图，如果∠2+∠4=180°，你能得出a∥b吗？解：a∥b∵∠2+∠4=180°(已知)∠1+∠4=180°(邻补角定义)∴∠1=∠2(同角的补角相等)∴a∥b(同位角相等，两直线平行)还有其他的方法吗？判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.几何语言：∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD感悟：遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的(或已经解决的)问题来解决.这一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”得到了“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”.因此，在解题的过程中，可以用这种思路去分析实际问题，从而解决问题.【归纳】同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.几何语言：判定1：∵∠1=∠2∴AB∥CD判定2：∵∠1=∠4∴AB∥CD判定3：∵∠1+∠3=180°∴AB∥CD典例解析例1.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？解：BM∥DN∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)，∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．【针对练习】已知：如图，CF平分∠ACM，∠1=72°，∠2=36°，判断CM与DN是否平行，并说明理由．解：CM∥DN

∵CF平分∠ACM∴∠ACM=2∠1∵∠1=72°∴∠ACM=2∠1=144°∴∠BCM=180°-144°=36°∵∠2=36°，∴∠2=∠BCM．∴CM∥DN例2.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(___________)，所以∠BAG=∠AGC(_______________)．因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG因为FG平分∠AGC，所以∠2=12得∠1=∠2(等量代换)，所以_________(________________________)．【针对练习】已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥解：理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝12∠EAC∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠C＝12∠EAC∴∠C＝∠1，∴AD∥BC．例3.如图，已知∠1=∠3，∠1+∠2=180°．(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若BF⊥AC，∠2=140°，求∠AFG的度数．（1）解：BF∥DE，理由如下：∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°．∴∠3+∠2=180°．∴BF∥DE；（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=140°，∴∠1=40°，∵BF⊥AC，∴∠AFB=90°，∴∠AFG=∠AFB-∠1=50°．【针对练习】如图，已知∠A=∠C，∠1与∠2互补，试说明AB和CD的位置关系并说明理由．解：AB∥CD，理由如下：∵∠1与∠2互补，即∠1+∠2=180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测5.2.3平行线判定方法的综合运用教学设计一、教学目标：1.进一步掌握平行线的判定方法，并会运用平行线的判定解决问题；2.掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行.二、教学重、难点：重点：灵活选用平行线的判定方法进行证明.难点：掌握平行线的判定在实际生活中的应用.三、教学过程：复习回顾忆一忆：两直线平行的判定方法有哪些？(1)在同一平面内，两条不相交的直线互相平行；

(2)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行；

(3)同位角相等，两直线平行；

(4)内错角相等，两直线平行；

(5)同旁内角互补，两直线平行.试一试：1.如图，如果∠1=∠2，则___∥___；如果∠1=∠3，则___∥___；如果∠C+______=180°，则AB∥CD.2.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB∥AC的条件：______________.典例解析例1.同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？答：这两条直线平行.理由如下：如图，

∵b⊥a，c⊥a(已知)

∴∠1=∠2=90°(垂线定义)

∴b∥c(同位角相等，两直线平行)你还能利用其它方法说明b∥c吗?【总结提升】判定方法：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.几何语言：∵b⊥a,c⊥a(已知)∴b∥c(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.)例2.如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由.解：方法1：测出∠3=90°，理由是同位角相等，两直线平行.方法2：测出∠2=90°，理由是同旁内角互补，两直线平行.方法3：测出∠5=90°，理由是内错角相等，两直线平行.方法4：测出∠2,∠3,∠4,∠5中任意一个角为90°，理由是同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.【针对练习】1.在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的.如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？2.如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分.其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？例3.如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【分析】因为∠1=∠2，所以DE∥BC，故A不符合题意；因为∠3=∠4，不能判断DE∥BC，故B符合题意；因为∠5=∠C，所以DE∥【针对练习】如图,给出下面的推理:因为∠B=∠BEF,所以AB//EF;因为∠B=∠CDE,所以AB//CD;因为∠DCE+∠AEF=180°，所以AB//EF;因为∠A+∠AEF=180°,所以AB//EF.其中正确的推理是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④例4.完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝（）．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝（）．∴AB∥CD（【针对练习】如图，∠BAM=75°，∠BGE=75°，∠CHG=105°.可推出AM//EF，AB//CD，完成下列空白:解:∵∠BAM=75°，∠BGE=75°(已知)∴∠BAM=∠BGE(__________)∴____//_____(_______________________)∵∠AGH=∠BGE=75°(__________)∴∠AGH+∠CHG=180°(等式的性质)∴____//_____(________________________)例5.如图,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F.试说明:EC//DF.解:∵BD平分∠ABC，∴∠DBF=12∠ABC∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=12∠ACB∵∠ABC=∠ACB，∴∠DBF=∠ECB.∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F.∴EC//DF.【针对练习】如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？解：（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；解：（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法5.3.1平行线的性质教学设计一、教学目标：1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补；2.能够根据平行线的性质进行简单的推理.二、教学重、难点：重点：理解平行线的性质难点：能运用平行线的性质进行推理证明.三、教学过程：复习回顾根据右图，填空：①如果∠1＝∠C，那么____∥____（）②如果∠1＝∠B那么____∥____（）③如果∠2＋∠B＝180°，那么____∥____（）问题：通过上题可知平行线的判定方法是什么？思考：反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?知识精讲探究：利用坐标纸上的直线或者用直尺和三角尺画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：猜一猜：两条平行线被第三条直线所截，同位角______，内错角______，同旁内角______.平行线的性质性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.几何语言：性质1：∵a∥b∴∠1=∠3性质2：∵a∥b∴∠2=∠4性质3：∵a∥b∴∠2+∠3=180°思考：如图，你能根据性质1，说出性质2成立的道理吗？∵a∥b(已知)∴∠1=∠2(_______________________)又∵∠1=____(对顶角相等)∴∠2=∠3(_________)如图，你能根据性质1，说出性质3成立的道理吗？∵a∥b(已知)∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠3=180°(邻补角定义)∴∠2+∠3=180°(等量代换)典例解析例1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？解：如图，因为梯形上、下两底AB与CD互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.【针对练习】小明在纸上画了一个∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A的度数？【总结提升】平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？例2.如图，直线AB//CD,∠EMB=100°,MF平分∠AME交CD于F,求∠EFM的大小.解:∵∠EMB=100°，∠EMB+∠AME=180°，∴∠AME=80°.又∵MF平分∠AME，∴∠AMF=40°.又∵AB//CD，∴∠EFM=∠AMF=40°.【针对练习】如图,直线AB//CD,∠1=65°，∠2=50°,试说明BC平分∠ABD.解:∵AB//CD,∴∠ABC=∠1=65°,∠DBE=∠2=50°.∴∠CBD=180°-∠ABC-∠DBE=65°.∴∠ABC=∠CBD,即BC平分∠ABD.例3.如图,AB//DE//GF,∠1:∠D:∠B=2:3:4,求∠1的度数.解:∵∠1:∠D:∠B=2:3:4,∴设∠1=2x°,∠D=3x°，∠B=4x°.∵AB//GF，∴∠GCB=(180-4x)°.∵DE//GF，∴∠FCD=(180-3x)°.∴∠1+∠GCB+∠FCD=180°，∴2x+180-4x+180-3x=180.解得x=36.∴∠1=72°.例4.如图，EF//AD,EF//BC,CE平分∠BCF，∠DAC=120°.(1)求∠ACB的度数;(2)若∠ACF=20°,求∠FEC的度数.解:(1)∵EF//AD,EF//BC，∴AD//BC.∴∠ACB+∠DAC=180°.∵∠DAC=120°，∴∠ACB=60°.(2)∵∠ACF=20°，∴∠FCB=∠ACB-∠ACF=40°∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=20°.∵EF//BC，∴∠FEC=∠ECB=20°.【针对练习】如图,AB//CD,∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E,求∠1+∠2的度数.解:∵AB//CD，∴∠ABD+∠CDB=180°.∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=12∵DE是∠BDC的平分线，∴∠2=12∴∠1+∠2=12∠ABD+12∠CDB=12课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。5.3.3命题、定理与证明教学设计一、教学目标：1.理解命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.二、教学重、难点：重点：1.理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；2.证明的步骤和格式.难点：了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例.三、教学过程：问题引入描述与判断我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：

(1)中华人民共和国的首都是北京.……()

(2)我们班的同学多么聪明!……………()

(3)浪费是可耻的.………()

(4)春天到了，花儿开了.………………()

在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：

(1)画线段AB=3厘米.……()

(2)两条直线相交，只有一个交点.……()知识精讲观察下列语句，它们有什么共同点？(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.像上面这样，判断一件事情的语句，叫做命题.命题的组成一般地，命题由题设和结论两部分组成.

题设：是已知事项；

结论：是由已知事项推出的事项.

数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____.例如，命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平行”是_____，“这两条直线也互相平行”是_____.(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如果……，那么……”的形式.例如，命题(3)“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；______________________________________________________________________________(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.______________________________________________________________________________真假命题真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；

假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.典例解析例1.指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.

(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；

(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；

(3)两直线平行，同位角相等.

解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；

(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；

(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.

如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.例2.判断下列命题是真命题还是假命题.(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；(3)相等的角是对顶角.解：(1)假命题，反例：如图∠1=60°，∠2=120°，∠1与∠2互补，但它们不是邻补角.(2)假命题，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.(3)假命题，反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.【针对练习】命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.

解：命题“同位角相等”是假命题.反例：如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是同位角，且∠1=90°，∠2=110°，但它们不相等.知识精讲定理、证明如何证实一个命题是真命题呢？我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实(公理)，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.典例解析在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.例3.如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c.证明：∵a⊥b(已知)

∴∠1=90°(垂直的定义)又b∥c(已知)

∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)

∴∠2=∠1=90°(等量代换)

∴a⊥c(垂直的定义)例4.如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面四个式子中,请你选择其中三个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①AB⊥BC;②CD⊥BC;③BE//CF;④∠1=∠2.题设(已知):________________. 结论(求证):________________.①②③→④证明:∵AB⊥BC,CD⊥BC(已知)∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定义)∵BE//CF(已知)∴∠EBC=∠FCB(两直线平行，内错角相等)∵∠1+∠EBC=∠ABC=90°∠2+∠FCB=∠DCB=90°(已知)∴∠1=∠2(等角的余角相等)①②④→③证明:AB⊥BC，CD⊥BC(已知)∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定义)∵∠1=∠2(已知)∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2(等式的性质)即∠EBC=∠FCB∴BE//CF(内错角相等，两直线平行)②③④→①证明:BE//CF(已知)∴∠EBC=∠FCB(两直线平行，内错角相等)∵∠1=∠2(已知)∴∠EBC+∠1=∠FCB+∠2(等式的性质)即∠ABC=∠DCB∵CD⊥BC(已知)，∴∠DCB=90°(垂直定义)∴∠ABC=90°(等量代换),即AB⊥BC(垂直定义)5.4平移教学设计一、教学目标：1.理解平移的概念及决定因素.2.会找出平移前后图形中对应点、对应角和对应线段.3.掌握平移的性质及其运用.二、教学重、难点：重点：探索并理解平移的性质.难点：对平移的认识和性质的探索.三、教学过程：情境引入图片欣赏仔细观察下面一些美丽的图案，它们有什么共同的特点？能否根据其中的一部分绘制出整个图案？知识精讲探究如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如下图的雪人呢？思考如图，在所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点(例如，它们的鼻尖A与A′，帽顶B与B′，纽扣C与C′)，连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长短有什么关系？AA′∥BB′∥CC′AA′=BB′=CC′再作出连接一些其他对应点的线段，它们是否仍有上述的关系？归纳1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.图形的这种移动，叫做平移.【针对练习】下图中的变换属于平移的有哪些?图形平移的方向，不限于是水平的，如下图平移在我们日常生活中是很常见的，利用平移也可以制作很多美丽的图案.你能举出生活中一些利用平移的例子吗？平移在我们日常生活中是很常见的，利用平移也可以制作很多美丽的图案.你能举出生活中一些利用平移的例子典例解析例1.如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′.分析：图形平移后的对应点有什么特征？作出点B和点C的对应点B′，C′，能确定三角形A′B′C′吗？解：如图，连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的对应点.类似地，作出点C的对应点C′，进一步连接A′B′，B′C′，C′A′就得到平移后的三角形A′B′C′.例2.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△ABC；（2）作出中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）在平移过程中，线段AB扫过的面积为．解：（1）如图所示，△ABC即为所求：（2）如图所示，线段CD即为所求；解：（3）如图所示，线段AE即为所求；（4）SΔABC∴2S即线段AB扫过的面积为16.例3.如图是一块长方形的草地,长为21m,宽为15m.在草地上有两条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?解：长草部分的面积=(21-1)×(15-1)=280(m2).【针对练习】如图是一块长方形的草地,长为21米.宽为15米.在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?解：长草部分的面积=(21-1)×15=300(m2).课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。6.1.1算术平方根教学设计一、教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．二、教学重、难点：重点：根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根，明白算术平方根是一个非负数.难点：理解算术平方根的概念.三、教学过程：情境引入同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围吗？大于第一宇宙速度v1：v12=gR:小于第二宇宙速度v2：v22=2gR(其中g是物理中的一

个常数(重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m.)知识精讲学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

解：∵52=25

∴这个正方形画布的边长应取5dm.填表：算术平方根像52=25，那么5叫做25的算术平方根；

102=100，那么10叫做100的算术平方根；

∵32=9，∴9的算术平方根是3.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.即x2=a(x>0)

x叫做a的算术平方根，记作：x=.规定：0的算术平方根是0.记作:=0.典例解析例1.求下列各数的算术平方根:(1)100(2)4964解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即100=10；(2)因为，所以的算术平方根是，即；(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即0.0001=0.01.不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【针对练习】求下列各数的算术平方根：(1)0.0025(2)81(3)32解：(1)因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术平方根是0.05，即0.0025=0.05；(2)因为92=81，所以81的算术平方根是9，即81=9；(3)因为32=32，所以32的算术平方根是3，即32例2.化简：(1)11125(2)(-1.3)解：【针对练习】化简：(1)1(2)925(3)2解：【总结提升】算术平方根的性质：1.一个正数的算术平方根有几个？一个正数的算术平方根有1个2.0的算术平方有几个？0的算术平方根有一个，是0.3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?负数没有算术平方根.知识精讲探究：1.算术平方根中，a可以取任何数吗？被开方数a是非负数，即a≥0.2.是什么数？是非负数，即≥0.算术平方根具有双重非负性典例解析例3.若，求m+n的值.解:因为|m-1|≥0，≥0，又.所以|m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.【点睛】几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.【针对练习】若(x-4)2+y+3解：∵(x-4)2+y+3=0，且∴x-4≥0，y+3≥0∴x-4=0，y+3=0，∴x=4，y=-3，把x=4，y=-3代入，(x+y)2019∴(x+y)2019的算术平方根是1例4.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2hg（不考虑风速的影响，g≈9.8m/s解：将h=78.4,g≈9.8代入公式t=2h得：t=答：落到地面所用时间为4s．【针对练习】如图，从一个大正方形中裁去面积为4cm2和解：∵大正方形的边长=4∴大正方形的面积为49cm∴阴影部分的面积=49-4-25=20cm课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。6.1.3平方根教学设计一、教学目标：1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系;2.会求非负数的平方根．二、教学重、难点：重点：理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根.难点：理解平方根的意义.三、教学过程：复习回顾1.什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根表示为:(a≥0)，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.2.25的算术平方根是_____，13的算术平方根是_____.知识精讲思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？由于(±3)2=9，所以这个数是3或-3.3是前面学习过的9的算术平方根，-3与9的算术平方根有什么关系？(与算术平方根互为相反数.)归纳平方根的概念填表：如果我们把±1，±4，±6，±7，±分别叫做1，16，36，49，的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.

例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.观察下图，你发现了什么？平方与开平方互为逆运算典例解析例1.求下列各数的平方根：(1)100；(2)；(3)0.25.解：(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10；(2)因为=，所以的平方根是；(3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.即(1)；(2)；(3).【总结提升】数的平方根的特征：正数的平方根有什么特点？(正数有两个平方根，它们互为相反数)

0的平方根是多少？(0的平方根是0)

负数有平方根吗？(负数没有平方根)【针对练习】判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）49的平方根是7；……()（2）2是4的平方根；……()（3）-5是25的平方根；……()（4）64的平方根是±8；……()（5）-16的平方根是-4．……()知识精讲平方根的表示我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.

正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．

例如，±=±3，±=±5.典例解析例2.求下列各式的值：(1)；(2)-；(3)±.解：(1)因为62=36，所以=6；(2)因为0.92=0.81，所以-=-0.9；(3)因为=，所以±=±.【针对练习】计算下列各式的值：

(1)(2)-(3)±解：(1)=3；(2)-=-0.7；(3)±=±.例3.已知一个正数m的平方根为2n+1和4-3n．(1)求m的值；(2)a-1+b+（1）解：∵正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4-3n=0，解得：n=5，∴2n+1=11，∴m=11（2）由（1）得：n=5，∵a-1+∴a-1=0，b=0，c-n=0，∴a=1，b=0，c=n=5，∴a+b+c=1+0+5=6，∴a+b+c的平方根是±6【针对练习】一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.例4.已知2a-1的算术平方根是3，b-1的平方根是±4，c是13的整数部分，求a+2b-c解：∵2a-1的算术平方根是3；b-1的平方根是±4∴2a-1=9，b-1=16，∴a=5，b=17．∵c是13的整数部分，3<∴c=3．∴a+2b-c=5+17×2-3=36．∵36的平方根是±6∴a+2b-c的平方根为±6【总结提升】平方根与算术平方根的联系与区别：课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。 6.2立方根教学设计一、教学目标：1.了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根；2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．二、教学重、难点：重点：立方根的概念与性质.难点：会用开立方运算求一个数的立方根.三、教学过程：问题引入问题：制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？设这种包装箱的棱长为xm，则x3=27因为33=27，所以x=3.因此这种包装箱的棱长为3m.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.知识精讲探究：据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？

因为23=8，所以8的立方根是()；

因为()3=0.064，所以0.064的立方根是()；

因为()3=0，所以0的立方根是()；

因为()3=-8，所以-8的立方根是()；

因为，所以的立方根是().正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.例如，表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2.中的根指数3不能省略.注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2.因此，也可读作“二次根号a”.你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？【总结提升】平方根与立方根的区别和联系：探究：因为=___，-=___，所以___-；因为=___，-=___，所以___-.一般地，=_____.典例解析例1.列各式的值：(1)；(2)；(3).解：(1)=4；(2)=-5；(3)=.【针对练习】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)=10；(2)=-0.1；(3)=-1；(4)=.实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.

一些计算器设有健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).

例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行：依次按键1845=，显示：12.2649408147445.这样就得到的近似值12.2649408147445.

有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求，可以依次按键2ndF1845=，显示：12.2649408147445.【针对练习】用计算器求下列各式的值：(1)=____；(2)=____；(3)±=____.知识精讲探究：计算器计算…，=_____，=____，=____，=____，…，你能发现什么规律？规律：______________________________________________________.用计算器计算≈____，(精确到0.001)，并利用你发现的规律求≈_______，≈_________，≈______.典例解析例2.比较下列各组数的大小.（1）与2.5; （2）与.解：（1）因为2.53=15.625，所以<，所以<2.5.(2)因为，所以<，所以<.【针对练习】1.比较3，4，的大小.解：∵33=27，43=64，∴＜＜，即3＜＜4.2.已知（n为正整数），则2n的立方根为______.例3.求满足下列条件的x的值(1)

2x-13+16=0解:(1)2(x-1)(x-1)3开方得：x-1=-2，x=-1．解：(2)x-x-解得x=9【针对练习】求满足下列条件的x的值(1)25x-1（1）解：x-12x-1=±7解得x=125或（2）解：(x-1)3开立方，得：x-1＝解得：x＝例4.已知a2=16,|b|=9,3c=-2，且ab解：∵a2∴a=±4，∵ab<0，bc∴b与c同号，a与b、c异号．∴a=4∴a-b+c=4-(-9)+(-8)=5．例5.对于结论：当a+b=0时．a3+b3=0也成立．若将a看成a3的立方根，b(1)举一个具体的例子进行验证；(2)若37-y和32y-5互为相反数，且x-3的平方根是它本身，求（1）解：举例：a3则38+3-8=2+(-2)=0所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．（2）解：∵37-y和3∴7-y与2y-5互为相反数，∴7-y+2y-5=0，解得y=-2，∵x-3的平方根是它本身，∴x-3=0，解得x=3，∴x+y=3-2=1，∴x+y的立方根是1．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。6.3.1实数的相关概念及分类教学设计一、教学目标：1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行分类；2.熟练掌握实数大小的比较方法；3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.二、教学重、难点：重点：了解无理数和实数的概念；对实数进行分类；会求实数的绝对值与相反数.难点：了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.三、教学过程：知识精讲有理数我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？，，，，.=0.4，=-0.6，=6.75，=1.，=0..它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？3=3.0任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.无理数通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.

无限不循环小数又叫做无理数.例如，-，，等都是无理数.π是无理数吗？1.01001000100001…是无理数吗？π=3.14159265…，1.0100100010000