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文档简介

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:

定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.

证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ=

,则显然有ρ≥

,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.

定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.

证明:设抛物线极坐标方程为ρ=

,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有

│AB│=ρ1+ρ2=

+

=

≥2p=通径长,

其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦AB为通径时.证毕.

定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则

│MA│min=

证明:由│MA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2

=[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.

定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,

F是焦点,M是抛物线上的动点,则

y

(│MA│+│MF│)min=a+p/2.

Q

M

A(a,b)

证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知

O

F

x

(│MA│+│MF│)min=│AQ│

=a-(-p/2)=a+p/2.证毕.

图1

定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2.

证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)

于是利用(1)式由两切线方程

y

AM:y1y=p(x+x1),

A

BM:y2y=p(x+x2),

M

F

x

易得M的坐标(x,y)适合:

B

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