高二理科数学秋季讲义第7讲椭圆基本量问题

NT第7讲椭圆

基本量问题

,加\【满分晋级

解析几何10级

考点1:椭圆及其标准方程

暑假知识回顾

1.已知点A(-2,1),8(2,1),动点尸(x,y)满足|网+|冏=4,则动点尸的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

【解析】C

【点评】椭圆的定义的集合语言叙述为；点集尸={ML|+|M段=2。，2〃>|百用}

注意，“2a>恒周”这一条件,若2a=恒可,则动点M轨迹为线段忻图；若2a<|耳玛则

其轨迹不存在.

2.求经过两点4(2,-1),B-V2,的椭圆的标准方程.

->2

【解析】—+^-=1.

82

【点评】椭圆的焦点总在长轴上，因此可通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看产y2的分母

的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是

在x轴上还是y轴上，那么方程还可以设为=1（/n>0,z?>0,加工〃），进而求解.

知识点睛二

1.椭圆的定义：平面内与两个定点可，鸟的距离之和等于常数（大于I片鸟|）的点的轨迹（或集合）

叫做椭圆.

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

集合语言叙述为；点集尸={M帆用+阿玛=勿，2a>\FxF^

2.椭圆的标准方程：

22

①二+4=1（。>匕>0）,焦点是月（-c,0）,Qc,0）,且02=/-〃.

ab~

22

②与+I=l（a>6>0）,焦点是£（0,-c）,K（o,c）,且<?=储-/.

a~h~

22

3.椭圆的几何性质（用标准方程「+2=1（。>6>0）研究）：

a-b-

⑴范围：-aWxWa,-bWyWZ?；

⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心;

⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的4,42，4，鸟；

【例1】⑴**（2010丰台二模理11文12）椭圆宗+£=1的焦点为月，丹，过尸2垂直于x轴的直

线交椭圆于一点P，那么|产用的值是.

⑵★★已知3是圆尸:卜-3+/=4（尸为圆心）上一动点，线段的垂直

平分线交BF于P,则动点尸的轨迹方程为.

⑶门如图，把椭圆工+二=1的长轴45分成8等份，过每n„

2516

个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于片，鸟，鸟，

P「P5,Ph，舄七个点，尸是椭圆的左焦点，则\厂

+++

l^l+M+M+IMMMl^l=-A\^）B"

【解析】⑴—--------/

5

88

⑵x2+-y2=1

3

⑶35

考点2:椭圆的离心率问题

暑假知识回顾

3.⑴已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为正，且G上一点到G的两个焦点的距

2

离之和为12,则椭圆G的方程为.

⑵经过点（2,0）且与椭圆工+二=1的离心率相同的椭圆的标准方程为

6416

【解析】（1）二+二=1

369

⑵兰+y?=l或

+—=1.

4'164

.答注经典精讲

提高班学案1

22

【铺1】⑴椭圆\+营=1上一点到两焦点的距离分别为4，%,焦距为2c,若4，2c,4成等

差数列，则椭圆的离心率为（）

A1B&C&n3

2234

（2）直线/:x-2y+2=0过桶圆的左焦点耳和一个顶点B,该椭圆的离心率为一.

22

（3）已知椭圆［+A=1（a>b>0）的左焦点为尸，右顶点为A,点8在椭圆上，且轴,

ab

直线45交y轴于点P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是（）

A&Rac1口1

2232

【解析】⑴A

⑵型

5

（3）D

【例2】⑴*★32江西理⑶椭圆丁看I（a>6>0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点

分别是耳，耳，若|A用，忻旦|,|耳四成等比数列，则此椭圆的离心率为

⑵**（2010全国卷16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段B尸的延

长线交C于点。，且B户=2FD,则C的离心率为

22

⑶内（2010朝阳二模理7）已知椭圆与+乐=1（4>匕>0）,A是椭圆长轴的一个端点，B是

椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点.若45_LBF,则该椭圆的离心率为（）

7一

AK.B.2[).

T

【解析】⑴K

T

⑵

⑶B

尖子班学案1

【拓2】⑴在中，ZA=90°,tanB=-.若以A,8为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心

4

率c=.

22

（2）（2012新课标理4改编）设大，工是桶圆氏£+£=1（。＞6＞0）的左、右焦点，P为直

线》=,上一点，△工/Y；是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为.

【解析】⑴1

2

3

(2)-

4

目标班学案1

【拓3】如图，已知为正六边形，若以C,尸为焦点的椭圆恰好经过A,B,D,E四点,

则该椭圆的离心率为.

【解析】6-1

【例3】⑴门如图，在平面直角坐标系x0y中，％,A2,用，4为椭圆

22

马+2=1（”＞人＞0）的四个顶点，尸为其右焦点，直线A/,与直线与尸相交于点T,线

a-b"

段or与椭圆的交点M恰为线段or的中点，则该椭圆的离心率为.

90

r22

⑵就己知椭圆-y+斗•=l（a>b>0）的左、右焦点分别为6（-c,0）,E（c,o）,若椭圆上存

ab

在一点P使―-—，则该椭圆的离心率的取值范围为

sinZPFlF2sinNP6耳

【解析】⑴2不-5；

(2)(V2-1,1)

考点3：椭圆的焦点三角形问题

知识点睛二|

椭圆的焦点三角形：以椭圆的两个焦点耳、行与椭圆上任意一点P（非长轴顶点）组成的三角形.

注：下面介绍的焦点三角形面积公式与椭圆中的两个最大张角的结论可以直接用来做选择填空题，会

省去类似的推导过程，但它们的原理与推导过程是需要了解的，后面的例题都给出了不用结论，

直接解决的过程，同时也说明了直接套用结论的过程.希望通过这些例题，学生可以更好地理解

这些椭圆中的结论与性质.

〈教师备案〉楠圆的焦点三角形的周长为2«+2c,面积为S/、­=6.tan小：.证明如下:

已知椭圆=+当=1（">%>0）,P为椭圆上任一点（非长轴顶点），NF；PF,=6,求△耳尸居

才b~

的周长和面积.

由椭圆第一定义有：归耳|+|尸居|=2〃，

△写尸鸟的周长/=|尸耳|+忸用+|耳用|=2a+2c=2（a+c）,

而在△耳P鸟中由余弦定理有：|尸耳『+归行「-2|/7讣归尸2|・cos0=|耳=4（?,

22

:.(\PF,\+\PF2\)-2\PF,\-\PF2\-2\PFt\-\PF2\-cos0=4c,

即4(/_。2)=2|尸耳卜|尸闾.(1+cos。).从而周、真光了

。.ee

S&PFF=3P耳“P用7抽。=层-»—=b2-------j^=ZAtan—.

△出与2.................1+cos。、[02

2cos—

2

椭圆中的两个最大张角

在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴的顶点到两焦点的张角，另一个是短轴的顶点到长轴

的两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角.

具体结论及证明如下（其中结论1与焦点三角形相关，更为常用）：

22

结论1：如图：已知K、K为椭圆二+2=1（。>6>0）的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则当

a'b~

点P为椭圆短轴的端点时，NFfF2最大.

分析：^-FyPF2e（0,7t）,而丫=8$了在（0,兀）为减函数，

只要求y=COsNf；PE的最小值.

又知|M|+|PR|=2a,恒用=2c,利用余弦定理可得.

证明：如图,由已知|P四+|尸国=2〃，闺用=2c,

所以|尸用.|「周W在用？尸型=々2,当归团=|尸周时取等号.

由余弦定理得：C“FL叫粤*1-幽加哈毕华上皿

22|产用.尸用2附卜|尸周

=产：产।-1=।*~।-1》与2-1,当1|咫1|=1仍用1时取等号，

2\PFt\-\PF2\2|尸用疗用a-

所以当I尸用=归段时，COS/耳尸居€（0,兀）的值最小，因为N耳尸鸟€（0,兀），所以此时

N£Pg最大.即点P为椭圆短轴的端点时/耳尸用最大.

利用上面的面积公式可以快速得到这个结论，s△町4=层.tan笥2=g.2c-|丹］,

又y=tanx在（0,上单调递增，故|力|越大，焦点三角形面积越大，tan23区的值越

大，N耳桃越大.

从而，当点P是短轴顶点时，对焦点的张角有最大值.

结论2:如图：已知A,8为楠圆5+与=1（。>人>0）长轴上的两个顶点，。为椭圆上任意一点,

ab

则当点。为椭圆短轴的端点时，NAQ8最大.

分析：当NAQB最大时，NAQB一定是钝角，而y=tanx在"上

是增函数，利用点Q的坐标，表示出tanAAQB,再求tanZAQB

的最大值.

证明：如图，不妨设Q（x,y）（0Wx<a,0<yWb）,

记Q在x轴上的投影为Q',

则AQ'=a+x,BQ'=a-x,QQ'=y,

所以tanZAQQr=,tanNBQQ'=,

yy

2a

tan/AOB=tanZAQQ'+tanNB。。'=J=2ay

21-tanZAQQ'-tanZBQQ'~,a2-x2~x2+y2-a2

一

2

又寸=/一,,2,所以tanZAQB=2a丁，因为1-3<0,

-)

CT

y

故T

—是关于y的增函数，NAQBcg71

y

所以当y=6时，tanNAQB取得最大值，此时NAQ3最大,

所以当点Q为椭圆短轴的端点时，NAQ8最大.

也可用此思路证明结论1.

经典精讲

22

【例4】⑴内（2010东城一模14）点P是椭圆会+氏=1上一点，耳，鸟是椭圆的两个焦点，且

92

的内切圆半径为1,当P在第一象限时，P点的纵坐标为___________.

⑵由已知P为椭圆会+得=1上一点，片、入是椭圆的焦点，^F]PF2=60°,求用的

面积.

Q

【解析】⑴I

小256

4

【点评】在处理椭圆上的点与两焦点组成的三角问题时，常由余弦定理或正弦定理列出I尸甲与|尸用

的关系式，并给合椭圆的定义列出|「耳|+|「乙|=2〃，利用这两个关系式求得结果.

提高班学案2

【拓1】椭圆三+汇=1的左、右焦点分别为耳，居，过焦点6的直线交椭圆于A、5两点，则△48Q

的周长为;若A、B两点的坐标分别为(占，%)和(々，为)，且用的面积是4,

贝11%一yI的值为•

【解析】16,也.

7

【例5】⑴由已知冗、尸2是椭圆的两个焦点，满足M耳-g=0的点/总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范雨是()

A.(0)1)B.(o,；C.0,D.1>1

22

⑵用椭圆]+5=1的左、右焦点分别为6、居，点P为其上的动点，当为钝角时,

P点横坐标的取值范围是.

【解析】⑴C

⑵卜衿河,

尖子班学案2

22

【拓2】设椭圆C：「+马=1(a>6>0)的左右焦点分别为小K，若椭圆上存在一点Q,使

ab"

/耳。8=120。，试求该椭圆离心率e的取值范围.

【解析】

2

目标班学案2

【拓3】(1)已知椭圆靠+三=1的左、右焦点分别为片、玲，点尸在椭圆上，若尸、耳、工是一个

直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()

9口9不忐9「9山门9

AA.-B.----或一C.----D.一

57474

r22

⑵(2012四川理15)椭圆一+匕v=1的左焦点为尸，直线x=,”与椭圆相交于点A、B,当

43

△K4B的周长最大时，的面积是.

【解析】⑴D

(2)3;

考点4：椭圆的中点弦问题

暑假知识回顾

〈教师备案》中点弦问题在暑假预习时介绍过，这里再总结一下与弦的中点有关问题的求解方法：

⑴中点弦问题求解的关键是充分利用好“中点”这一条件，善于把斜率与中点联系起来，会

灵活运用中点坐标公式和一元二次方程根与系数的关系.

⑵处理这种问题的方法主要有三种：

①通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式

进行求解.

②点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点

坐标与它和原点连线的斜率的关系.

③中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去

二次项.

4.已知椭圆/+2丁=8,过点尸(2,1)引一条弦，且弦被点P平分，求弦所在直线的方程.

【解析】x+y-3=0.

多A经典精讲

【例6】内已知椭圆工+汇=1,求：

164

⑴以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程；

⑵斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；

⑶过。(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.

【解析】⑴x-2y-4=0.

(2)x+8y=0(在椭圆内的部分).

22

⑶(X-4)+4(>'-1)=20(在椭圆内的部分).

【备注】轨迹问题的边界范围通常比较复杂，在不容易直接求出范围时可加上文字说明.

94

22

【点评】椭圆中点弦的斜率公式：设椭圆的方程为三十与=1,A,8两点在椭圆上，M是4?的中点,

atr

O为坐标原点，则kAB-kOM=——.

a

利用这个结论可以得到另一个结论：

r2*42

若B、9是椭圆：J+与v=1上关于原点对称的两点，A是椭圆上任

a~b~

b2

意一点，有心屋⑥8=-/(在斜率存在时).

这是因为，当加为AB的中点时，有。A/〃AB',kAB.=k

特别，当5、4为长轴顶点时，此结论也成立，这个特例更为常见.

考点5：椭圆中的最值问题

、房色经典精讲□

〈教师备案〉例7是借助于椭圆的几何性质解决的最值问题；例8是通过坐标运算解决的最值问题.一

般来说，我们优先考虑椭圆的几何性质解题，节省计算量，特别是遇到与焦点相关的问

题，优先考虑椭圆的定义与相关结论.

22

【例7】⑴★♦椭圆土+&=1外有一点A(2,5),内有一点8(3,0),P为椭圆上任意一点，若要求

2516

1PAi+|尸网最小，则这最小值是()

A.10-屈B.10-475C.726D.5+2应

⑵内已知A(3,2),F(-4,0),P是椭圆会+三=1上一点，则照+|PF|的最大值为.

【解析】(DC

(2)10+V5

本题也可以求得它们的最小值，为10-逐，后面的演练4可以用来作为配套练习.

提高班学案3

r22

【铺1】椭圆=+以v=1(。>6>0)上任一点尸到两焦点耳，居的距离之积|尸耳|口居|的最大值是

a"h~

，最小值是.

【解析】a2,b--.

2,2

【例8】⑴由(2010福建11)若点O和点尸分别为椭圆土+匕=1的中心和左焦点，点尸为椭圆上

43

的任意一点，则的最大值为()

A.2B.3C.6D.8

⑵联已知点P在圆C：x?+（y-4）2=1上移动，。点在椭圆不+丁=1上移动，求|PQ|的最

大值.

【解析】⑴C

（2）6;

尖子班学案3

【拓2】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=等，已知点尸（0,g）到这个椭圆上的

点的最远距离是小，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于近的点的坐标.

【解析】椭圆方程为工+y2=l.

4-

点P的坐标为（_g,-g）矛口（6，-g）

22

【拓3】椭圆M:0+2=1（4>匕>0）的左、右焦点分别为耳、心，P为椭圆M上任一点，且IPKEPKI

ab~

的最大值的取值范围是[2c?,3c2],其中c=V7彳，则椭圆M的离心率e的取值范围是（）

【解析】A

【备选】设P为椭圆S+y2=lm>i）短轴上一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值.

a

\a2-]>6

【解析】同L=下丁’"•

2,1<”垃

华山论剑

2^2

设E、鸟分别是椭圆/+£=l（a>b>0）的左、右焦点，若直线x=：上存在点P，使线段

尸片的中垂线过点居，则椭圆离心率的取值范围是（）

ABfo网CM11DN11

2323

96

【解析】D

2

如图，设直线x=里与X轴的交点为〃，

C

则玛又耳玛RPKL

2

|耳凡闫”8|,即2c》--一c.

C

：.3c2^a2,：.e2^-,：.e^—,

33

...「61

又・Ovevl,••eE—,1.

3

实战演练