考研数学各个科目的考点详解

考研数学各个科目的考点详解考研数学三大科目考点解析

一、高等数学

高数是考研数学的重中之重。高数真题体现出以下规律：侧重对数学(一)、(二)、(三)独有学问的考查。多元积分部分的曲线积分、曲面积分及几大公式(格林、高斯和斯托克斯)是数学(一)的独有内容，也是必考内容。今年有一道考查三重积分计算的填空题和考查曲线积分的解答题;曲率、形心质心和其他物理应用是数学(二)常考内容，今年就考了一道关于温度变化的解答题;数三的特色是经济应用建立收益、成本、销量、价格等经济变量的函数关系、边际收益和边际成本、弹性问题，今年考了经济应用的解答题。

考查考生运用数学学问分析问题、解决问题的力量。上文提到的几何应用、物理应用和经济应用即为证明。

考点掩盖较全。上表列出的数学(三)的高数考点即为例证。提示考生不要心存侥幸心理，要全面复习。

二、线性代数

线代的规律若用两个关键字概括，为"综合'和"敏捷'。线代这门学科的学问结构是一个网状结构，学问点之间的联系特别多。请思索一个问题：矩阵可逆有哪些等价条件?从行列式的角度，为矩阵的行列式不等于零;从向量组的角度，是矩阵的行向量组或列向量组线性无关;从线性方程组的角度，是以矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解或矩阵为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解;从秩的角度，是矩阵满秩;从特征值的角度，是矩阵的特征值不含零;从二次型的角度，为矩阵的转置乘矩阵这个新矩阵正定。不难看到，从一个核心概念"矩阵可逆'动身，可以把整个线性代数的五章全串起来。既然学问点的联系如此之多，那么一道题联系多个考点或需考生从不同角度考虑就很自然了。这提示考生复习线代时，不仅要注意基本学问点的复习，也要重视学问点之间的联系。

三、概率论

概率是三科中题型最固定的：哪考大题哪考小题特别清晰。依据对历年真题的分析，不难发觉，概率常考大题的点有：边缘分布和条件分布，随机变量函数的分布和参数估量。其他考点考小题或大题的一问，如随机大事与概率，数字特征，常用统计量及统计分布。既然概率规律如此明显，那考生复习时可以在打牢基础的前提下关注意点。

考研数学通过做题提高成果的三点建议

1.切忌眼高手低

眼高手低是许多考生在复习数学时易犯的错误，许多考生对基础性的东西不屑一顾，认为这些内容很简洁，用不着下劲复习，还有的考生只是看，认为看懂就行了，很少下笔去做题，结果在最终的考试中眼熟手生，难以取得好的成果。所以，在复习数学时肯定要脚踏实地，一步一个脚印，就像下象棋，要取敌方老帅，就要老狡猾实战败全部兵卒，稳扎稳打，步步为营，这样的话，才能以不变应万变，在最终的实考中占据主动!

2.基础是提高的`前提

基础的重要性已不言而喻，但是只注意基础，也是不行的。太注意基础，就会拘泥于书本，难以适应考研试题。打好基础的目的就是为了提高。但太重提高就会基础不牢，导致头重脚轻，力不从心。考生要明白基础与提高的辩证关系，依据自身状况合理支配复习进度，处理好打基础和提高力量两者的关系。一般来说，基础与提高是交叉和分段进行的，在一个时期的某一个阶段以基础为主，基础扎实了，再行提高。然后又进入了另一个阶段，同样还要先扎实基础再提高水平，如此反复循环。考生在这个过程中简单遇到这样的问题，就是感觉自己经过基础复习或一段时间的提高后几乎不再有所进步，甚至感到越学越退步，遇到这种状况，考生千万不要气馁，要坚信自己的力量，只要复习方法没有问题，就应当坚持下去。虽然表面上感到没有进步，但实际水平其实已经在不知不觉中提高了，由于在这个时期考生已经熟悉到了自己的不足，正处于调整和进步中。这个时候需要的就是考生的意志力，考研原来就是一场意志力的竞赛，不仅需要丰富的学问和较高的力量，更要有顽强的意志力。只要坚持下去，就有胜利的盼望。

3.按题型分类进行

解题训练最好按题型进行分类复习，对于任何一个同学而言，都可能有自己很擅长的某些类型的题，相反的，也有一些不太熟识或者不会做的题型，这在复习的过程中也当有所侧重。例如复习大全当中的典型例题解析部分，就对各个章节的题目都进行了细致划分，且在题目解答部分给出一题多解的多种解题方法，极大程度拓宽同学们的思路，把握多种解题方法和要领。第一遍复习的时候，需要仔细讨论各种题型的求解思路和方法，做到心中有数，同时对自己的强项和薄弱环节有清晰的熟悉，其次遍复习的时候就可以有针对性地加强自己不擅长的题型的练习了，经过这样两边的系统梳理，信任解题力量肯定会有飞跃性的提高。

考研数学必考的4个定理证明

一、求导公式的证明

20xx年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟识，而对它怎么来的较为生疏。实际上，从授课的角度，这种在20xx年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。假如这个阶段的考生带焦急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关怀结论怎么来的，那很可能从未仔细思索过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2023考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以根据导数定义写出一个极限式子。该极限为"0分之0'型，但不能用洛必达法则，由于分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个"无中生有'的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。

二、微分中值定理的证明

这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马引理的条件有两个：1.f(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f(x0)=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以根据导数定义写出f(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看其次个条件怎么用。"f(x0)为f(x)的极值'翻译成数学语言即f(x)-f(x0)0(或0)，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

费马引理中的"引理'包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要争论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟识。条件有三："闭区间连续'、"开区间可导'和"端值相等'，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。该定理的证明不好理解，需仔细体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在争论该定理的证明是"马后炮'式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解把握。假如在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。

闲言少叙，言归正传。既然我们争论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发觉是全都的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简洁。起码要说清一点：费马引理的条件是否满意，为什么满意?

前面提过费马引理的条件有两个"可导'和"取极值'，"可导'不难推断是成立的，那么"取极值'呢?好像不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。留意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清晰，由于直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种状况争论即可：若最值取在区间内部，此种状况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，留意到已知条件第三条告知我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。把握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造帮助函数的过程看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：依据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造帮助函数远比破案要简洁，简洁的题目直接观看;简单一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。

三、微积分基本定理的证明

该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。留意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区分对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思索的权利了。单侧导数类似考虑。

"牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明白微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从今微积分成为一门真正的学科。'这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能娴熟运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟识的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难推断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。留意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。依据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

四、积分中值定理

该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以根据此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。

若我们选择了用连续相关定理去证，那么究竟选择哪个定理呢?这里有个小的技巧看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自明白。

若顺当选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的