高考猜题预测-数列大题训练-2022届高三数学二轮复习

2022届高三数学二轮复习大题训练(14)

(数列)

1.已知等差数列｛4｝中，前〃项和为S“，4=1,｛么｝为等比数列且各项均为正数，仇=1,且满

足%+=7,&+S3=22.

(1)求凡与或;

(2)设q,=&,4,=(-1)，"+2小，求的前2〃项和成.

"2"-34(%+l)c,

2.已知数列｛七｝的前"项和为S"，q=l,Sn+I=2Sn+n+i.

(1)证明：数列｛a,,+l｝为等比数列；

(2)在4和4+1(keN")中插入左个数构成一个新数列｛c“｝：4,4，a2,b2,b3,生，“，

b5,b6,a4,其中插入的所有数依次构成数列｛2｝,通项公式〃,=(-1)"2”.求数列

｛c“｝的前30项和

3.己知数列｛a,J满足q=1,a„>0,a^-a^=2n-l(n..2).

(1)求｛4｝的通项公式.

(2)证明：4+,++工＜2.

4一勺-a；

4.已知正项数列｛4｝满足2点=a.+l,

(1)求〃"；

(2)将数列｛%｝分组：(4),(4，。3)，(〃4，a59。6)，(〃7，。8，。9，@)，...，记第〃

组的和为4.

(i)求数列｛4｝的通项公式2；

(ii)求数列｛(-1)"%｝前2”项的和.

5.已知数列｛c,,｝满足q=工一室一=—4一,〃€N',Sn为该数列的前〃项和.

2Ui3-1

（1）求证：数列为递增数列;

(2)求证：5„<1.

6.已知数列｛4｝的前〃项和S“=〃2+〃，数列｛»｝满足伉=1,bn+l-b„=2-3"'.

（1）求数列｛”"｝与数列｛々｝的通项公式；

(-1)”(2+1)

(2)记c“=+I0g3（〃用一白）,求数列｛<?,,｝的前〃项和7；.

2022届高三数学二轮复习大题训练(14)

(数列)

1.已知等差数列｛%｝中，前〃项和为S“，4=1,｛么｝为等比数列且各项均为正数，4=1,且满

足%+=7,&+S3=22.

(1)求〃〃与"；

(2)设c.=&，d,=(-1)-a+2%),求4,的前2"项和心.

2q,(4+l)c“

【解答】

(1)由题意，设等差数列｛〃“｝的公差为4,等比数列｛〃,｝的公比为式4>0),

则+々

S2=42=2q+d=d+2,S3=ax+a2+a3=3q+3d=3d+3,

b、=b、q=q,b?=b、q--Cj~,

々+

b2+S2=7tS3=22,

.Jq+d+2=7[q+d=5

,•"+3"3=22，'[12+3d=[“

解得[二1(舍去),或

[d=6[d=1

二%=1+5—1)x1=〃，nGN"

a=1.4'i=4"T,nwN*.

h4"T

(2)由⑴，可得£，=备=£=2""

则y5箫梨=5-需修

(一1)”•[------+---------------]

n-T(〃+1)・2〃川

*,•岂“=4+&+4+…+d2n

11

---------------T----------1-+---…---+----------2-n--+------2,,+l

1.212-222-223-233-234-242n-2(2n+l)-2

(2/?+1)-22N+,2

2.已知数列｛q｝的前“项和为S”,q=l,S„+l=2Sn+n+i.

(1)证明：数列｛4+1｝为等比数列；

(2)在仁和a*+|(AwN*)中插入左个数构成一个新数列｛c“｝:q,a，a2,b2,4，生，%，

b5,bb,«4,其中插入的所有数依次构成数列g,J,通项公式〃=(T)"2〃.求数列

｛<•“｝的前30项和心.

【解答】

(1)由题意，当〃=1时，S,=25,+2»得4+02=24+2,解得4=3,又

又S“M=2S,,+"+l①，当〃..2时，S,,=2S,i+〃②，

①-②得4+i=2a“+1(〃..2),

因为％=3=24+1,所以all+I=2an+1(/?..1),

则%+1=24+2=2(4+1)，

所以｛4+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列；

(2)由(1)知q+1=2",a„=2"-l,

在数列｛%｝中，项%之前(含%)共有1+2+3+4+5+6+7=28<30,

所以数列｛%｝的前30项中包含了数列｛an]的前7项及数列｛a｝的前23项，

所以=q+a,+•••+%+A+b-,+,,•+b2=2,-1+2~-1+,,,+27-1+(-2+4-6+8—。,-46)

-7+[-2+(-2)xll]=223.

2-1

3.已知数列｛%,｝满足a,=1,a„>0,=2n-l(n..2).

(1)求｛q｝的通项公式.

(2)证明：--H+H<2.

«ra；an

【解答】

(1)由a：-a1]=2〃-1(”..2),

得-。3=2n-3,

<2-<3=2n-5,

a；—a；=3，

(2/7-1+3)(M-1)

上述式子累力口可得a：-。；=(2〃-1)+(2"-3)+...+5+3="1,

2

所以d=/(〃.⑵，

又4=1满足所以

因为q>0,所以%=〃.

(2)证明：当〃=1时，二=1<2成立，

当儿.2时，因为―!—(〃..2),

所以士+—y+1111

a；a2a；r22AT

<i+-L+-L+1

H-------

1x22x3(n-l)72

=1+1--<2,

n

1

综上所述,―+―+H—$<2.

q%

4.已知正项数列｛《,｝满足2底=《,+1,

(1)求。“；

(2)将数列伍“｝分组：(q),(a2,a3),(a4,a5,a6),(%,4，/，4o)......记第月

组的和为6“.

(i)求数列｛4｝的通项公式》;

(ii)求数列｛(-1)"&｝前2〃项的和.

n

【解答】

(1)当〃=1时，4+1=2yJ~S^=2y[a^,解得4=1,

(a+2

当〃..2时，Sn,="-'0,又$=(%+1厂，

两式相减可得a“=S„-S„.,=-(%；',

化为(4-1)2=&T+1)2,

由勺＞0可得a“-a“T=2,即数列｛《｝是首项为1,公差为2的等差数列，

所以。“=1+2(〃-1)=2«-1.

(2)(i)由题意可得6,=5“(向)-5,“,,+|)，而S,,=:〃(1+2"-1)=〃2，

224

所以仇,=(如电了-(如电-研=心

“22

A

(ii)(-1)"Z=(-1)"W,

n

所以数列｛(-1)"4｝前2n项的和为：

n

-1+22-32+42-52+6?-...-(2n-l)2+(2n)2

=1+2+3+4+...+(2/7—1)+2〃

=g•2〃.(2鹿4-1)

=2n2+n.

5.已知数列｛%｝满足q=——力+1”为该数列的前八项和.

2c.-13-1

(1)求证：数列为递增数列;

(2)求证：Sn<1.

【解答】

2

(1)证明：由一如£N”,

两边取倒数可得：I-—

c„c；

11

化为:—-2x—+1=(__I)2>0,。尸1),

爆c„cn

数列为递增数列.

(2)数列［为递增数列，可得数列｛%｝为单调递减数列,

由口,neN*,c,=-

c”+i_1C"T'2

可得,2」,

，可得。否则得出矛盾.

由，211_=」L,变形为C〃+[T+1=C；T+1,化为：1+—1-=C“+1+—―

%+|Tc,,Tc,+「l%-1C"+ITC“一1

1

G+i-lc,T

1111

=--------------------H-------------------------F…+

Q-]q—1q—1t*2—1

=2-------<2+----=1.

*-10-1

6.已知数歹|J｛%｝的前”项和S“=〃2+〃，数列｛%｝满足伪=1,bn+i-b„=2-y-'.

(1)求数列伍“｝与数列仍“｝的通项公式；

(2)记％=(一"(%+1)+1%(加-2),求数列｛c,J的前八项和

/?(«+!)

【解答】

(1)Sn=/T+n