广州市越秀区高三上学期摸底考试数学理试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2014届越秀区高三摸底考试试卷数学（理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后,将试卷和答题卷一并交回．参考公式:圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（).A。B.C.D。2。已知，则(）.A。B。C。D。3.设，则“"是“直线与直线平行"的(）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（）。A.B.C.D。5.在△ABC中，，,则△ABC的面积为(）。A.3B.4C.6D.6.函数的零点所在的一个区间是（）。A.B.C.D。7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）。A。B。C.2D.8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（）。A.2或B.3或C。2D.二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题，每小题5分,满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若复数满足，则复数的实部是.10。的展开式中的常数项是.（用数字作答)11.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是。12。已知实数满足，则的最大值是.13。在区间上随机取一个数,在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是。（二）选做题（14～15题,考生只能从中选做一题）14．(几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径,弦AC、BD相交于点P,若，，则的值为.15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是。三、解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分）已知函数,的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点．（1)求的解析式；（2）设、、为△ABC的三个内角，且，，求的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量（件）1≤n≤34≤n≤67≤n≤910≤n≤12n≥13顾客数(人）20105结算时间(分钟/人）0.511。522。5已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80％.（1）确定与的值；（2)若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望;（3）在（2）的条件下,若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率。18。（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4,，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证:平面；（2)求证:平面平面；（3）求二面角的余弦值。19。（本小题满分14分）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列｛bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明。20．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为。（1）求椭圆的方程;（2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积。21。(本小题满分14分)已知函数。（1)是否存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由；(2)定义，其中,求；（3）在（2)的条件下,令,若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.2014届越秀区高三摸底考试数学(理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案BDCDACBA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9.110.11。12。13。14.15。三、解答题:本大题共6小题,满分80分．16。（1）依题意得。由，解得。所以。因为函数的图像经过点，所以，即.因为，所以。所以。（2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为△ABC的三个内角，所以。17.（1）依题意得，，,解得，。（2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，，，,，.所以的分布列为0.511。522。50.20.40。20.10.1的数学期望为。（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立,且的分布列都与的分布列相同，所以为所求.18。（1)因为O为AC的中点,M为BC的中点，所以。因为平面ABD，平面ABD，所以平面.（2)因为在菱形ABCD中，，所以在三棱锥中,.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，,所以BD＝4.因为O为BD的中点,所以。因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以。因为，所以，即。因为平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.因为平面DOM,所以平面平面.(3)作于，连结DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.因为，所以平面ODE.因为平面ODE，所以.所以是二面角的平面角.在Rt△DOE中，，，，所以.所以二面角的余弦值为。19。(1）当时，。又也适合上式，所以。（2)由（1）得，所以。因为①，所以②。由①－②得，,所以.因为,所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，;当时，；……，可猜想当时，。证明如下：当时，。综上所述，当或时,；当时，.20.（1）因为P是椭圆上一点，所以.在△中,，由余弦定理得。因为，当且仅当时等号成立.因为，所以。因为的最小值为，所以，解得。又,所以。所以椭圆C的方程为.（2）设,则矩形ABCD的面积.因为，所以.所以。因为且，所以当时，取得最大值24。此时,.所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为。21.(1)假设存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为。由，